Combien de vendredis 13 cette année et autres questions de calendrier

Publié le Publié dans Culture mathématique

Aujourd’hui vendredi 13 novembre 2015, les joueurs de Loto et d’Euromillions s’en donnent à cœur joie, de pronostic en pronostic…

Jouons un peu avec le calendrier. Quel lien entre les mathématiques et les jours de la semaine ? Combien une année peut-elle avoir au maximum de vendredis 13 ? Pourquoi quand le 1er mai est un dimanche, Noël aussi ? Quel jour de la semaine suis-je né ?

Toutes ces questions sont liés à la nature de notre calendrier, à la table de 7 et aux années bissextiles….

Les jours de l’année et le reste par 7

Il y a bien sur 7 jours dans une semaine. Ainsi il suffit d’ajouter 7 à la date du jour pour retomber sur le même jour de la semaine. Plus généralement, il suffit de diviser la date du jour par 7 et d’observer le reste pour retrouver les jours de la semaine identique.

Par exemple comme le 4 novembre était un mercredi, le 11, le 18 et le 25 aussi. On constate que 4=7\times 0+4, $11=7\times 1+4$, $18=7\times 2+4$ et $25=7\times 3+4$.

Ces égalités sont ce que l’on appelle des divisions euclidiennes, les divisions que nous faisions à l’école avec un quotient et un reste. Elles disent que 4, 11, 18 et 25 ont pour reste 4 quand on les divise par 7.
On dit souvent en mathématiques que 4, 11, 18 et 25 sont congruent à 4 modulo 7 et on note 11 \equiv 4 \pmod 7

Bien sur, comme novembre n’a que 30 jours, il faut faire un peu de gymnastique pour passer en décembre. Une autre idée qui évite de s’occuper de la longueur des mois, consiste à numéroter les dates de 1 à 365 ( ou 366 les années bissextiles ). On peut ainsi affirmer :

Deux dates dont le numéro annuel à le même reste dans la division par 7 correspondent au même jour de la semaine.

Liste des jours particuliers d’une année

Date Numéro normal Reste Numéro bissextile Reste
1er janvier
Jour de l’an
1  1 1 1
14 février
Saint Valentin
45  3 45 3
8 mars
Journée de la femme
67  4 68 5
1er avril
Jour des poissons
91  0 92 1
1er mai
Fête du travail
121  2 122 3
8 mai
Armistice de 1945
128  2 129 3
21 juin
Fête de la musique
172  4  173  5
14 juillet
Fête nationale
195  6 196  0
31 octobre
Halloween
304  3 305  4
1er novembre
La Toussaint
305  4 306  5
11 novembre
Armistice de 1918
315  0 316  1
25 décembre
Noël
359  2 360  3
31 décembre
Saint Sylvestre
365  1 366  2

 

En observant les restes de la division par 7 on constate que le 1er mai, le 8 mai, Noël et Nouvel-An de l’année suivante ont le même reste 2 ou 3 quand on divise par 7 : ils correspondent au même jour de la semaine !

Il suffit de regarder le reste du premier jour de l’année pour en déduire les jours cherchés.

Par exemple, quand l’année normale commence un samedi ou un vendredi les années bissextiles, 4 jours fériés tombent un dimanche. L’année 2016 débutera un vendredi et 2017 un dimanche puisque 2016 est bissextile. Ce sera au moins une catastrophe d’éviter pour 2017 !

Les vendredis 13 de l’année

On repart sur le tableau précédent mais en examinant seulement les 13 de chaque mois.

Date Numéro normal Reste Numéro bissextile Reste
13 janvier 13  6 13 6
13 février 44  2 44 2
13 mars 72  2 73 3
13 avril 103  5 104 6
13 mai 133  0 134 1
13 juin 164  3 165 4
13 juillet 194  5  195  6
13 août 225  1 226  2
13 septembre 256  4 257  5
13 octobre 286  6 287  0
13 novembre 317  2 318  3
13 décembre 347  4 347  5

Il y a donc 1, 2 ou 3 vendredis 13 chaque année. En effet tous les restes possibles sont visibles dans ce tableau. En année commune quand il y a 3 vendredis 13 il s’agit du 13 février, du 13 mars et du 13 novembre comme en 2015. En année bissextile quand il y a 3 vendredis 13 il s’agit du 13 janvier, du 13 avril et du 13 juillet.

Plus précisément, comme le reste est 2 dans le cas d’une année commune pour 3 vendredis 13, le reste 1 correspond à un jeudi. Ainsi, comme en 2015, lorsque le 1er janvier d’une année commune est un jeudi, alors il y a 3 vendredi 13. Pour une année bissextile, pour les mêmes raisons, il faut que le 1er janvier soit un mercredi.

Le premier jour de l’année

Comme nous l’avons vu, le premier jour de l’année détermine complètement la suite. Mais les années bissextiles viennent perturber le cycle de 7 jours par un cycle de 4 ans. Observons le cycle des premiers jours de l’année. Pour cela nous partons d’une année commune qui suit une année bissextile. On note 1 le reste du premier jour de cette année ( cela peut vouloir dire lundi ou le jour de notre choix ) puis décalons d’un jour par an après une année commune et de 2 jours après une année bissextile ( les années bissextiles sont en gras ). Voilà le résultat :
1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 0 – 1 – 2 – 4 – 5 – 6 – 0 – 2 – 3 – 4 – 5 – 0 – 1 – 2 – 3 – 5 – 6 – 0 – 1 – 3 – 4 – 5 – 6 – 1

C’est un cycle de 28 ans comme on pouvait s’y attendre ( 7 \times 4 ).
Ce cycle montre que le premier jour d’une année bissextile est 4 – 2 – 0 – 5 – 3 – 1 – 6. On constate en fait que l’on obtient ce cycle en ajoutant 5 à chaque reste puis en calculant le nouveau reste quand cela dépasse 7.
4+5=9 et 9 \equiv 2 \pmod 7 puis 2+5=7 et 7 \equiv 0 \pmod 7

Ainsi tous les 28 ans on se retrouve dans la situation initiale et le cycle des jours et des années bissextiles revient à l’identique. Tout cela est vrai depuis 1901 puisque 1900 n’était pas bissextile comme toute les fins de siècles non multiple de 400 conformément aux ajustement du calendrier grégorien.

Reste à savoir où nous en sommes dans ce cycle. Si on souhaite que 1 désigne le lundi par exemple, jeudi correspond au 4. 2015 a commencé un jeudi et 2016 est bissextile. 2016 est une année qui commence en 5. Nous sommes donc au 16eme terme de ce cyle.
Très joli résultat, 2001, la première année du troisième millénaire, première année du XXI eme siècle, a débuté un lundi. Le second millénaire s’est achevé un dimanche !
Ce cycle s’achèvera en 2028 pour reprendre en 2029…

On a vu que les années communes commençant par un samedi ou les années bissextiles commençant par un vendredi ne sont pas très sympathiques en terme de jours fériés puisque que dans ces cas le 1er mai, le 8 mai, Noël et le jour de l’an tombent des dimanche. Cherchons ces années dans le cycle de 28 ans.
On cherche des années communes commençant par 5 ou des années bissextiles par 4.
Il y a 3 années communes et une année bissextiles qui correspondent. Sur le cycle actuel cela correspond aux années : 2004 – 2010 – 2021 et 2027. Puis il faudra ajouter un multiple de 28 à chacune de ces dates jusque 2100 pour retrouver ce hasard de calendrier. Après 2100, il faut tenir compte du fait que 2100, 2200 et 2300 ne seront pas bissextile alors que 2400 oui, ce qui ajoute un cycle de 400 ans à notre étude précédente !

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