Culture mathématique

Historique des records de calcul des décimales de Pi

 

À l’approche de l’exceptionnel jour de pi le 14 mars 2015 ( en effet le 14 mars 2015 à 9 h 26 min 53 s nous aurons devant nous : 3 , 14 15 9 26 53 ), il était temps sur ce blog de faire un rapide historique des records de calcul des décimales de Pi. Cette balade à travers le temps est aussi une balade autour du monde qui nous fait visiter à chaque époque les pôles mathématiques d’une époque. J’ai aussi essayé de faire une liste qui ne sera jamais exhaustive des formules célèbres permettant de calculer Pi.

Le dernier record : novembre 2014

Les quatre derniers records ont été obtenus grâce au programme y-cruncher crée en 2009 par Alexander J. Yee. Ce programme libre et gratuit disponible sous tous les systèmes d’exploitation permet d’approcher quelques constantes mathématiques. Son usage permet de tester les capacités d’une machine en lui proposant un stress test qui consiste à calculer un maximum de décimales de \pi.

Y-cruncher utilise 2 méthodes pour calculer chacune des constantes, une pour calculer et une autre pour vérifier. En ce qui concerne \pi il s’agit d’une formule de Ramanujan de 1910 et une autre des frères Chudnovsky de 1989 :

\dfrac{1}{\pi}=\dfrac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(4k)!}{k!^4} \dfrac{1103+26090k}{396^{4k}}  Ramanujan (1910)

\dfrac{1}{\pi}=\dfrac{\sqrt{10005}}{4270934400}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{(6k)!}{k!^3(3k)!}\dfrac{13591409+545140134k)}{640320^{3k})} Chudnovsky (1989)

Le dernier record date de novembre 2014, un certain houkuonchi, j’imagine un pseudo, a réussi à calculer 13~300~000~000~000 de décimales de \pi. Pour effectuer ce calcul 208 jours ont été nécessaire avec un ordinateur muni d’un double processeurs 2,6Ghz Xeon E5-4650L , 192Gb DDR3 de mémoire vive accompagnés bien sûr de 24 disques durs de 4To et 30 disques durs de 3 To soit 192 To.

Il faut avouer que la seule contrainte est l’espace disque pour conserver le résultat !

Pour mémoire \pi \approx 3,141~592~653~589~793~238.

Si vous souhaitez plus de précisions consultez cette page pour en obtenir plusieurs millions ou plus. Vous pouvez aussi sur cette page vérifier si votre date de naissance ou votre numéro de téléphone est présent dans les décimales de \pi

Les records de calcul des décimales de Pi avant le Moyen-âge

DATE QUI et OÙ DÉCIMALES
-2500 Grande pyramide de Gizeh (Égypte) \dfrac{22}{7} \approx 3,14
-2000 Tablette Babylonienne découverte en 1936 \dfrac{25}{8} \approx 3,125
-1650 Le papyrus Rhind (Égypte)
Approximation du cercle par un octogone régulier.
\left(\dfrac{16}{9}\right)^2 \approx 3,16
-500 La Bible
I Roi 7:23 :Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d’un bord à l’autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées.
II Chroniques 4:2 :Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d’un bord à l’autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées.
3
-400 Platon
Il pensait que \pi=\sqrt{2}+\sqrt{3}
3,15
-434 Anaxagore (Grèce) 3,14
-250 Archimède (Grèce)
Approximation du cercle par un polygone régulier à 96 côtés.
\dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}{7}
-20 Vitruve (Rome) \dfrac{25}{8}=3,125
 5 Liu Xin (Chine) 3,1457
130 Zhang Heng (Chine) \sqrt{10} \approx 3,16
\dfrac{730}{323} \approx 3,1465
150 Claude Ptolémée (Grèce) Approximation du cercle par un polygone régulier à 120 côtés. \pi \approx 3+\dfrac{8}{60}+\dfrac{30}{60^2} \dfrac{377}{120} \approx 3,14166
250 Wang Fan (Chine) \dfrac{142}{45} \approx 3,15555
263 Liu Hui (Chine)Approximation du cercle par un polygone régulier à 192 côtés. \dfrac{3927}{1250}=3,1416
400 He Chang Tian (Chine) \dfrac{111035}{35239} \approx 3,1509
480 Zu Chongzhi (Chine) \dfrac{355}{113} \approx 3,141592
499 Aryabhata (Inde) \dfrac{62832}{20000} = 3,1416
640 Brahmagupta (Inde) \sqrt{10}
800 Al Khwârizmî (Irak) 3,1416
1150 Bhaskara II (Inde) 3,14156

L’usage des séries avant l’ordinateur pour calculer Pi

On passe de formules utilisant les polygones réguliers à celles de l’analyse et des séries.

1120 Fibonacci (Léonard de Pise) (Italie) 3,141818
1320 Zhao Youqin (Chine) 3,141592
1400 Madhava of Sangamagrama (Inde)\dfrac{\pi}{4}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-... 3,1415926535
1420 Jamshid Al-Kashi (Iran)Approximation du cercle par un polygone régulier à 3\times 2^{28} côtés.
\pi \approx 3+\dfrac{8}{60}+\dfrac{29}{60^2}+\dfrac{44}{60^3}+\dfrac{0}{60^4}+\dfrac{47}{60^5}+\dfrac{25}{60^6}+\dfrac{53}{60^7}+\dfrac{7}{60^8}+\dfrac{25}{60^9}
17 décimales
1573 Valentin Otho (Allemagne) \dfrac{355}{113}
1579 François Viète ( France)\dfrac{2}{\pi}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}... 9 décimales
1593 Adriaan Van Roomen (Pays-Bas) 15 décimales
1596 Ludolph Van Ceulen (Allemagne)
Approximation du cercle par un polygone régulier à 2^{31} côtés.
20 décimales
1615 Ludolph Van Ceulen (Allemagne)
Approximation du cercle par un polygone régulier à 3^{62} côtés.
32 décimales
1621 Willebrord Snell (Pays-Bas) 35 décimales
1630 Christopher Grienberger (Autriche) 38 décimales
1665 John Wallis (Angleterre)\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2\times 2 \times 4 \times 4 \times 6 \times 6...}{1 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 7...}
1665 Isaac Newton (Angleterre)
\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3 \times 2^3}+\dfrac{1 \times 3}{2 \times 4} \times \dfrac{1}{5 \times 2^5}+\dfrac{1\times 3 \times 5}{2\times 4 \times 6}\times \dfrac{1}{7 \times 2^7}...
16 décimales
1671 James Gregory (Écosse)
\dfrac{\pi}{4}=arctan(1)=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...
1681 Takakazu Seki (Japon) 16 décimales
1699 Abraham Sharp (Angleterre)
\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\left[1-\dfrac{1}{3\times 3}+\dfrac{1}{5\times 3^2}-\dfrac{1}{7\times 3^3}+...\right]
71 décimales
1706 John Machin (Angleterre)
\dfrac{\pi}{4}=4arctan\dfrac{1}{5}-arctan \dfrac{1}{239}
\pi=\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{239}\right)-\left(\dfrac{4}{3\times 5^3}-\dfrac{1}{3\times 239^3}\right)+\left(\dfrac{4}{5\times 5^5}-\dfrac{1}{5 \times 239^5}\right)...
100 décimales
1706 William Jones (Pays de Galles)
Il utilise pour la première fois le symbole \pi
1719 Thomas Fantet de Lagny (France) 112 décimales
1722 Toshikiyo Kamata (Japon) 24 décimales
1722 Katahiro Kenko (Japon) 41 décimales
1739 Yoshisuke Matsunaga (Japon) 51 décimales
1748 Leonhard Euler ( Suisse)
Il utilise la lettre grecque \pi
\dfrac{\pi^2}{6}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}..
\dfrac{\pi^2}{8}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+...
\dfrac{\pi^3}{32}=\dfrac{1}{1^3}-\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{5^3}-\dfrac{1}{7^3}...
\dfrac{\pi^4}{90}=\dfrac{1}{1^4}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{5^4}
\dfrac{\pi^6}{945}=\dfrac{1}{1^6}+\dfrac{1}{2^6}+\dfrac{1}{3^6}+\dfrac{1}{4^6}+\dfrac{1}{5^6}+...
\dfrac{\pi^8}{9450}=\dfrac{1}{1^8}+\dfrac{1}{2^8}+\dfrac{1}{3^8}+\dfrac{1}{4^8}+\dfrac{1}{5^8}+...
\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2\times 4 \times 6 \times 8 ...}{3\times 5 \times 7 \times 9...}
1761 Johann Heinrich Lambert (Allemagne)Il prouve que \pi est irrationnel, il suggère qu’il est transcendant sans le prouver.
1775 Leonhard Euler (Suisse)
Il conjecture que $\pi$ est transcendant.
1789 Jurij Vega (Slovénie)
\dfrac{\pi}{4}=5arctan\dfrac{1}{7}+2arctan\dfrac{3}{79}
\dfrac{\pi}{4}=5arctan\dfrac{1}{3}+arctan\dfrac{1}{7}
126 décimales
1792 Jurij Vega (Slovénie) 136 décimales
1794 Adrien Marie Legendre (France)
Il montre que \pi^2 est irrationnel et conjecture la transcendance de \pi
1797 Manuscrit anonyme 152 décimales
1841 William Rutherford (Angleterre)
\dfrac{\pi}{4}=4arctan \dfrac{1}{5}-arctan\dfrac{1}{70}+arctan \dfrac{1}{99}
 152 décimales
1844 Johann Dase (Allemand)
Calculateur prodige, il utilise la formule de Machin
 200 décimales
1847 Thomas Clausen (Danemark)
\dfrac{\pi}{4}=2arctan \dfrac{1}{3}+arctan \dfrac{1}{7} (Hutton)
248 décimales
1853 Lehmann
\dfrac{\pi}{4}=arctan \dfrac{1}{2}+arctan \dfrac{1}{3} (Euler)
261 décimales
1855 Richter  500 décimales
1874 William Shanks (Angleterre)
Il passe 15 ans à calculer 707 décimales de \pi mais seule les 527 premières sont justes. Il utilise la formule de Machin
527 décimales
1882  Von Lindemann (Allemand)
Il prouve que \pi est transcendant.

De Ramanujan aux ordinateurs

Srinivasa Ramanujan marque un tournant dans les formules permettant de calculer \pi. La plupart de ces très nombreuses formules mystérieuses servent enocre aujourd’hui à calculer les décimales de \pi avec un ordinateur.

DATE QUI et OÙ DÉCIMALES
1910  Srinivasa Ramanujan (Inde)
Il prouve de nombreuses formules dont vont se servir les calculateurs numériques par la suite.10-\pi^2=\dfrac{1}{1^3 \times 2^3}+\dfrac{1}{2^3 \times 3^3}+\dfrac{1}{3^3 \times 4^4}+\dfrac{1}{4^3 \times 5^3}+...$latex
1946 FergusonIl utilise pour la première fois un calculateur informatique, une calculatrice de bureau. 620 décimales
1947 FergusonIl prouve que Shanks avait commis une erreur. 710 décimales
1947 Ferguson 808 décimales
1949 Ferguson 1120 décimales
1949 John Wrench (États-Unis) Le premier à utiliser un ordinateur (l’ENIAC) en 70 heures. 2037 décimales
1953 Kurt Malher (Allemagne) Il prouve que \pi n’est pas un nombre de Liouville, il ne peut donc pas être approché finement par une suite de rationnels.
1954 Nicholson et Jeenel (États-Unis)Il calcule ces décimales en 13 minutes sur le NORC ( IBM) 3 093 décimales
1957 George E Felton (Angleterre)Concepteur de l’OS GEORGE il utilise le Ferranti Pegasus Computer 7 480 décimales
1958 François Genuys (France) IBM 704 en 1 h 42 min 10 000 décimales
1958 George E Felton (Angleterre) en 33 h 10 021 décimales
1959 François Genuys (France) IBM 704 en 4 h 20 min 16 167 décimales
1961 Daniel Shanks et John Wrench (États-Unis)Sur un IBM 7090 en 8 h 40 min 100 265 décimales
1966 Jean Guilloud et J. Filliatre (France)Sur un IBM 7030 en 28 h 250 000 décimales
1967 Jean Guilloud at M. Dichampt (France)Sur un  CDC 6600 en 28 h 500 000 décimales
1973 Jean Guilloud et Martin Bouyer (France)Sur un CDC 7600 en 23 h 20 min 1 001 250 décimales
1976 Richard Brent (Allemagne) et Eugène Salamin (Angleterre)Il démontre la convergence vers \pi de :u_n=\dfrac{4a_{n+1}^2}{1-\sum_{i=1}^{n}2^{i+1}(a_i^2-g_i^2)}

a_0=1, g_0=\dfrac{1}{\sqrt{2}} et a_{n+1}=\dfrac{a_n+g_n}{2} et g_{n+1}=\sqrt{a_ng_n}

1981 Kazunori Miyoshi et Yasumasa Kanada (Japon)Sur un FACOM M-200 2 000 036 décimales
1982 Yoshiaki Tamura (Japon)Sur un MELCOM 900II et la formule de Brent Salamin 2 097 144 décimales
1982 Yoshiaki Tamura et Yasumasa Kanada (Japon)Sur un  HITAC M-280H en 2 h 54 min et la formule de Brent Salamin 4 194 288 décimales
1982 Yoshiaki Tamura et Yasumasa Kanada (Japon)Sur un HITAC M-280H 8 388 576 décimales
1982 Kikuo Takano (1982)\dfrac{\pi}{4}=12arctan \dfrac{1}{49}+32arctan \dfrac{1}{57}-5arctan \dfrac{1}{239}+12arctan \dfrac{1}{110443}
1983 Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino and Yoshiaki Tamura (Japon)Sur un  HITAC M-280H 16 777 206 décimales
1985 Bill Gosper (États-Unis)Sur un Symbolics 3670 17 526 200 décimales
1986 David H. Bailey (Étas-Unis)Sur un CRAY-2 29 360 111 décimales
1986 Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura (Japon)Sur un HITAC S-810/20 33 554 414 décimales
1986 Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura (Japon)Sur un HITAC S-810/20 67 108 839 décimales
1987 Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo  (Japon)Sur un NEC SX-2 134 214 700 décimales
1988 Yasumasa Kanada and Yoshiaki Tamura (Japon)Sur un HITAC S-820/80 201 326 551 décimales
1989 Gregory V. Chudnovsky & David V. Chudnovsky (États-Unis)Sur un CRAY-2 & IBM 3090/VF 480 000 000 décimales
1946 FergusonIl utilise un calculateur informatique 620 décimales

Quand calculer Pi est à la portée de tout le monde… ou presque

Tous les records qui suivent ont été réalisé avec des ordinateurs du commerce.

Le calcul de \pi est sorti des laboratoires

DATE QUI et OÙ DÉCIMALES
2009 Grande pyramide de Gizeh (Égypte) \dfrac{22}{7} \approx 3,14

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