Actualité et culture mathématique

Quelle est la taille de l’infini ?


L’infini, c’est la limite ou l’échec de nos facultés d’appréciation et de mesure.

Pierre Reverdy

Compter sur ses doigts puis sur la droite graduée

C’est en comptant sur ses doigts, puis en récitant la litanie des nombres, que les jeunes enfants prennent conscience du caractère infini des nombres entiers. Non, cela ne s’arrête pas quand on essaye de compter, on peut aller jusque l’infini… ou l’au delà. Cette conception d’un infini conceptuel défini comme le bout inaccessible de la litanie des nombres entiers reste longtemps ancré dans les esprits de nos élèves.

Puis en fin de cycle 3 et au collège, l’infini se rencontre sur la droite graduée. On zoome peu à peu sur les nombres et on remarque assez vite qu’il y a beaucoup de nombre entre 3,1 et 3,2 puis entre 3,14 et 3,15 et …. L’infini vient alors se loger entre chacun des nombres rencontrés.

Le mot utilisé est le même : infini. Il y a une infinité de nombres entiers. Il y a une infinité de nombres entre 3,1415 et 3,1416. La pauvreté de notre langage a forcé les mathématiciens à définir précisément ces deux idées de l’infini et à se poser des questions quant à leur taille respective.

L’infini peut-il être plus grand qu’un autre ? Tous les infinis ont-ils la même taille ? Combien y-a-t’il d’infini ?

Ces questions sont… infiniment complexes… et loin de moi ici d’écrire un article de mathématicien professionnel sur ces problématiques qui ont occupé des générations de chercheurs au cours du XVII ème au XXème siècle. Tentons cependant un petit peu de vulgarisation à destination d’un public de collégiens.

 

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L’infini dénombrable : les nombres entiers

Quand on compte sur ses doigts puis quand on récite la longue litanie des nombres entiers positifs, l’idée fondamentale est celle de successeur.

Aussi étrange que cela puisse paraître, cette notion tellement évidente de nombres entiers n’a été définie rigoureusement que vers la fin du XIXème siècle par Richard Dedekind et indépendant par Giuseppe Peano.

Voici de manière très simplifiée quelques idées de Peano :

Le nombre 0 correspond à l’ensemble vide. C’est le plus proche de rien : l’ensemble qui ne contient rien.

Par la suite, les nombres entiers seront identifiés à des ensembles : cela formalise l’idée selon laquelle compter 3 sucres, 3 lapins, 3 maisons ou 3 idées revient à compter le nombre d’éléments de collections le plus hétéroclite possible : un sucre, un lapin et une guerre mondiale, cela fait aussi trois “objets’ d’une étrange collection !

Plus formellement :

1={Ø} : l’ensemble qui contient un élément : l’ensemble vide ;

2={Ø;{Ø}} : l’ensemble qui contient 0 et 1

3={Ø;{Ø};{Ø;{Ø}}} : l’ensemble qui contient 0, 1 et 2

L’idée de successeur est fondamentale : 3 est le successeur de 2 au sens où il contient 0, 1 et 2. Chaque entier possède donc un successeur, il contient tous les nombres entiers précédemment défini.

Peano met alors en place 5 axiomes :

  1. L’élément zéro est un entier naturel ;
  2. Tout entier naturel a un unique successeur ;
  3. Aucun entier naturel n’a zéro comme successeur ;
  4. Deux entiers ayant le même successeur sont égaux ;
  5. Si un ensemble contient 0 et l’ensemble de ses successeurs alors il s’agit des nombres entiers.

Cette construction formelle de 1889 correspond bien à l’idée que l’on se fait des entiers avec lesquels nous comptons es collections d’objets. L’idée de successeur conduit à cette idée d’infini : on peut continuer à déterminer le successeur d’un nombre indéfiniment. Cette notion induit un ordre sur les entiers, chaque nombre étant inférieur à son successeur. Un plus grand nombre n’existe pas, car son existence supposerait celle de son successeur… et nous voilà près de cet infini !

On nomme l’infini des nombre entiers, l’infini dénombrable.

Quelques paradoxes de l’infini dénombrable

Comment comparer des ensembles infinis : la bijection

Considérons les nombres entiers : les uns sont pairs et les autres sont impairs. Sur un ensemble fini, par exemple les nombres entiers de 1 à 10 {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} il y a 5 nombres pairs {2;4;6;8;10} et 5 nombres impairs {1;3;5;7;9}. Ainsi 10 nombres entiers dont 5 pairs et 5 impairs : on peut ajouter sans difficulté !

Considérons maintenant l’ensemble N de tous les nombres entiers naturels {0;1;2… } et les ensembles de tous les nombres pairs {0;2;4…} et impairs {1;3;5…}. Ces trois ensembles contiennent une infinité de nombres. Ces infinis sont-ils de la même taille ? Qu’est-ce que cela peut bien signifier ?

De prime abord, il semble qu’il y a deux fois moins de nombres pairs que de nombres entiers, et autant de nombres pairs que de nombres impairs.

C’est à Georg Cantor que l’on doit en 1874 une idée géniale pour comparer la taille des infinis.

L’idée parait simple, on appelle cela une bijection. De manière très grossière si vous avez un sac de billes rouges et un autre de billes vertes, pour savoir dans lequel il y en a le plus il est inutile de compter ! Il suffit de sortir les billes une par une de chaque sac: une rouge, une verte. Quand un des sacs est vide on a trouvé celui qui en avait le moins ! À chaque bille verte une bille rouge : c’est ce que l’on appelle une bijection. Si chaque bille rouge est associée à une bille verte alors les deux sacs sont en bijection, ils sont équipotents… bref, il y en a autant !!

Autant de nombres entiers pairs que de nombres entiers ?

Reprenons l’ensemble des entiers naturels et les entiers pairs, sortons les de leurs sacs respectifs un par un.

À 0 on associe 0. À 2 on associe sa moitié 1. À 4 sa moitié 2. Etc…  On numérote ainsi tous les nombres pairs à l’aide des nombre entiers : il y en a donc autant !!

Pour les nombres impairs, il suffit de numéroter chacun en lui retirant 1 puis en le divisant par 2.

Ainsi 1 est associé à 0, 3 est associé à 1… 

Finalement, il y a autant de nombres pairs que d’entiers, autant de nombres impairs que d’entiers et pourtant l’ensemble formés par les nombres pairs et impairs est aussi de la taille de celui des nombres entiers. Ètrange ensemble infini : sa partie est aussi grande que sa totalité !

Autant de nombres premiers que de nombres entiers ?

Euclide a démontré vers -300 qu’il y avait une infinité de nombres premiers. Pour cela il a imaginé qu’il n’y en avait qu’un nombre fini par exemple ceux-ci {2;3;5;7;11;… P} où P est le plus grand nombre premier.

Alors le nombre Q=1 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times ... \times P+1 est forcément premier. En effet il n’est divisible par aucun des nombres premiers de l’ensemble puisqu’il reste 1 et ce nombre est supérieur à P : d’où la contradiction.

Mais si il y a une infinité de nombres premiers, on peut les numéroter comme les nombres pairs ou impairs puisqu’il s’agit du partie des nombres entiers. Il y a donc autant de nombres premiers que de nombres entiers…

L’hôtel de Hilbert

David Hilbert utilisait souvent de ces conférences l’exemple de cet hôtel ayant une infinité de chambres numérotées par les entiers.

Cet hôtel infini est complet. Un nouveau client arrive. Que faire ?

L’hôtelier doit simplement demander au client de la chambre 1 de passer dans la chambre 2 ; à celui de la chambre 2 de passer dans la chambre 3 … et il ne reste plus qu’à placer le nouveau client dans la chambre 1. Le tour est joué !

Et maintenant il arrive un bus contenant une infinité de clients qui souhaitent dormir dans l’hôtel complet de Hilbert ?

Rien de plus simple : il suffit de demander au client de la chambre 1 d’aller dans la chambre 2 ; à celui de la chambre 2 d’aller dans la chambre 4; celui de la chambre 3 en 6… et ainsi toutes le chambres impairs sont libres pour accueillir une infinité de clients !

Plus fort encore, une infinité de bus numérotés par les entiers se présentent le lendemain et dans chaque bus il y a une infinité de clients numérotés aussi par des entiers. Mais comment remplir l’hôtel ?

C’est un peu plus dur, mais on va y arriver. Le client 1 du bus 1 va dans la chambre 1. Puis le client 2 du bus 1 et 1 du bus 2 prennent les chambres 2 et 3. Ensuite le client 3 du bus 1, le client 2 du bus 2 et le client 1 du bus 3 prennent les chambres 4, 5 et 6…. et on continue… tous les clients auront une chambre !

C’est grand l’infini !

Et les nombres entiers négatifs ?

L’ensemble des entiers relatifs que l’on note souvent Z={…; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1; 2 ; 3 ; … } est aussi un ensemble dénombrable au sens où on peut numéroter les nombres relatifs par les entiers naturels. Il suffit par exemple de numéroter les positifs avec les nombres pairs et les négatifs par les nombres impairs.

Pour mémoire Z est un nom donné par les mathématiciens français dit Bourbaki et vient du mot allemand Zahlen qui signifie nombres. 

L’ensemble Z découle naturellement de N par une symétrie autour du 0. Z contient N l’ensemble des entiers naturels.

Et les fractions dans tout cela ?

Les fractions forment un autre ensemble que l’on construit à partir des entiers naturels. Intuitivement, une fraction est constituée d’un numérateur et dénominateur entier. Le dénominateur est forcément non nul. Chaque fraction peut être écrit sous forme irréductible : il suffit de diviser numérateur et dénominateur par le plus grand diviseur commun de ces deux nombres.

L’ensemble des fractions, les nombres rationnels, se note Q ( Q comme quoziente, quotient en italien, initiale choisie par Peano ). Tous les nombres entiers sont des fractions ( leurs dénominateurs est 1 ) ainsi que tous les nombres décimaux ( leurs dénominateurs sont des puissances de 10 ).

Les nombres rationnels sont passionnants ! Entre deux nombres rationnels, aussi proches soient-il, on peut toujours trouver un autre nombre rationnels ! Par exemple entre \dfrac{2}{3} et \dfrac{3}{4}, comme \dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{16}{24} et que \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{18}{24} on trouve \dfrac{2}{3} \leqslant \dfrac{17}{24} \leqslant \dfrac{3}{4}

La question que l’on se pose est donc : combien y-a-t-il de nombres rationnels ? De quelle taille est cet infini ?

La réponse de Cantor est étonnante : Q est de la même taille que N !! Il y a autant de nombres entiers que de fractions ; chaque fraction peut être numérotée par un nombre entier !

Voici comment faire : il suffit de placer les fractions dans un repère, avec en abscisse les dénominateurs et en ordonnée les numérateurs, puis de compter les fractions en diagonales : 1-> 1/1 ; 2->1/2 ; 3-> 2/2 …

 

On peut donc mettre en bijection l’ensemble N des entiers naturels avec Q celui des nombres rationnels ! Il y a une infinité de telles nombres, mais il s’agit du même infini : le dénombrable.

L’infini dénombrable est-il le seul infini possible ?

Le continu : les nombres réels

Les nombres réels forment un ensemble que l’on note R. Grossièrement cet ensemble est constitué des nombres obtenus par une mesure : les grandeurs. Je laisse ici les constructions axiomatiques de R par Cantor ou Dedekind, consulter cette page pour plus d’informations.

Les grandeurs autour de nous, et en particulier les grandeurs géométriques ont réservé de nombreuses surprises. Une des premières est certainement celle qui concerne la racine carrée de 2.

\sqrt{2} et les Pythagoriciens

La diagonale du carré de côté unité a posé bien des soucis aux mathématiciens grecs. Quand ceux-ci ne voulaient croire qu’en l’existence des nombres entiers crées par les dieux et des rationnels, les fractions, bâties par les hommes, l’existence de ce nombre étrange qui mesure la diagonale du carré a laissé bien des perplexités.

D’après le théorème du célèbre Pythagore, ce nombre a un carré exactement égal à 2. Les Pythagoriciens ont cherché la fraction dont le carré vaut exactement 2. Malheureusement pour eux, cette fraction n’existe pas ! Ils en ont trouvé une démonstration… convaincante… mais qui a plongé dans l’abîme les croyances de l’époque.

Pour prouver cette inexistence, il suffit d’imaginer son existence, c’est à dire celle d’une fraction irréductible \dfrac{p}{q} dont le carré vaut 2.

Ce nombre que nous notons aujourd’hui \sqrt{2} n’est donc pas rationnel : il est irrationnel ! Ce terme montre bien la manière déraisonnable de cette découverte.

L’écriture décimale des nombres réels et rationnels

Il est assez facile de constater que tous les nombres ayant une écriture décimale finie sont des nombres rationnels.

Par exemple 3,14159=\dfrac{314~159}{10~000}

Réciproquement, on peut se demander à quoi ressemble l’écriture décimale d’une fraction. En reprenant l’algorithme de sixième sur la division euclidienne, on remarque que quand la division ne tombe pas juste, il y a une répétition des décimales à partir d’un certain rang. C’est assez facile à comprendre quand on réfléchit sur le nombre de reste possible dans une division euclidienne : ce nombre est au maximum égal au diviseur ! Donc si une division ne se termine pas ( comme disent les enfants ) alors on va forcément retomber sur un reste déjà observé…

Par exemple : 

Ainsi les nombres rationnels ont une écriture décimale finie ou une écriture décimale périodique.

En utilisant l’écriture décimale des nombres rationnels on peut aussi trouver un moyen de les dénombrer en utilisant l’écriture décimale finie ou périodique. Peut-on faire pareil avec les irrationnels ?

Peux-on dénombrer tous les nombres réels ?

Je vous propose un raisonnement proposé par Cantor pour montrer qu’on ne peut pas dénombrer l’ensemble des nombres réels.

Contentons-nous de faire l’hypothèse que nous avons réussi à numéroté tous les nombres réels compris entre 0 et 1.

Imaginons que le premier est 0,23677…, le second 0,565635… etc…

On peut alors construire un nombre qui ne soit pas dans cette liste infinie. Nous allons le construire décimale, par décimale. Sa première décimale est un chiffre différent de 2 car 2 est la première décimale du premier nombre de la liste. Sa seconde décimale est un chiffre différent de 6 la seconde décimale du second nombre de la liste. Et on continue… La troisième décimale est un chiffre différent de la troisième décimale du troisième nombre. Et on poursuit la descente infinie.

Le nombre obtenu n’est pas dans la liste ! En effet, il n’est pas le premier nombre puisque sa première décimale n’est pas 2, il n’est pas le deuxième… il est aucun d’entre eux.

Qu’importe la manière d’avoir dénombré tous les nombres entre 0 et 1, ce nouveau nombre n’est pas dénombré !

C’est la méthode de la diagonale de Cantor inventée en 1874 pour démontrer la non dénombrabilité des nombres réels.

L’infini des nombres réels est donc différents et plus grand que celui des nombres entiers !!

Les infinis et l’hypothèse du continu

Nous venons de découvrir deux infinis : le dénombrable, l’infini des entiers, et le continu, l’infini des nombre réels.

Cantor a nommé \aleph_0 Aleph 0 le cardinal des ensembles dénombrables.

Les nombres réels sont un exemple d’ensemble dont le cardinal est plus grand que \aleph_0

Il existe de nombreux moyens pour créer des ensembles plus grands que ceux de taille \aleph_0

 

 



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