Le théorème de Thalès et la Tour Eiffel

Publié le Publié dans Espace et géométrie

À quelle distance de la Tour Eiffel cette photo a-t-elle été prise ?

Perspective-Forcee-Tour-Eiffel

Les motivations

Voici un petit exemple d’illustration du théorème de Thalès qu’il est possible d’exploiter en quatrième et en troisième ( bientôt seulement en troisième avec les programmes de 2016 ! ).

Le théorème de Thalès est intimement lié à la notion d’agrandissement/réduction. Cette photo en est une illustration.

La modélisation géométrique et les données de départ

On peut faire l’hypothèse que la main et la tour Eiffel sont placées de manière parallèle.

Tour

O désigne l’objectif de l’appareil photo

[MA] la main grande ouverte

[TF] la tour Eiffel

On suppose que O, M et F ainsi que O, A et T sont alignés

On suppose aussi que (MA)//(TF)

Les conditions d’usage du théorème de Thalès sont donc bien réunies.

Enfin une recherche sur internet nous apprend que la Tour Eiffel mesure 324 m avec l’antenne.

Une main ouverte d’adulte mesure environ 20 cm et la longueur d’un bras semi-tendu presque 45 cm.

Les calculs et le résultat

On peut donc enfin écrire les trois quotients égaux issus du théorème de Thalès :

\dfrac{OM}{OF}=\dfrac{OA}{OT}=\dfrac{MA}{FT}

\dfrac{65~cm}{OF}=\dfrac{OA}{OT}=\dfrac{17~cm}{324~m}

Soit \dfrac{65~cm}{OF}=\dfrac{17~cm}{324~m}

On sait que deux fractions sont égales si et seulement si les produits en croix sont égaux.

45~cm \times 324~m=OF \times 20~cm

OH=\dfrac{45~cm \times 324~m}{20~cm} \approx 729~m

Nous serions donc environ à 729 m de la Tour Eiffel sur cette photo !

Remarquons enfin que dans le résultat final, la hauteur de la Tour Eiffel est multiplié par le coefficient \dfrac{45}{20} ce qui permet d’étudier les effets des variations de mesures anthropométriques sur le résultat final.

Par exemple un bras de 43 cm et une main de 17 cm donne 820 m. On obtient donc un ordre de grandeur du résultat très sensible aux données de départ.

Vérifications

On reconnaît l’esplanade du Palais de Chaillot. Avec Google Map et Géogebra on arrive à une distance à plat sur la carte d’environ 700 m.

Paris

D’aucun objecteront que le plan Google ne tient pas compte de l’altitude de la colline de Chaillot où se trouve le palais. Cependant avec ses 60 m de haut, et un peu d’aide du théorème de Pythagore on arrive à \sqrt{700^2+60^2} \approx 702~m… ce qui ne change pas grand chose !

Quelques photos supplémentaires

Internet regorge de jeux de perspectives, voilà une petite sélection !

Londre Perspective1 pise2 Paris2 Paris1

Enfin, on peut même la faire disparaître…

 

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