Mathématiques quatrième : le théorème de Pythagore

Publié le Publié dans Espace et géométrie

Dernière mise à jour : mardi 14 février 2017, 17h10
État : ajout des programmes et du nouveau diaporama avec sa fiche actualisée
À faire : lire, relire et corriger

Dans les nouveaux programmes de mathématiques du collège de 2016, le théorème de Pythagore est abordé en classe de quatrième. Ainsi vous trouverez dans cet article quelques éléments de ma préparation du cour pour cette séquence : vidéos, fiche de synthèse, activités, évaluations corrigées.

Le théorème de Pythagore dans les nouveaux programmes du collège

Voici ce que disent les nouveaux programmes à ce sujet :

Cycle 4
Thème D : Espace et Géométrie

Au cycle 3, les élèves ont découvert différents objets géométriques, qui continuent à être rencontrés au cycle 4. Ils valident désormais par le raisonnement et la démonstration les propriétés qu’ils conjecturent. Les définitions et propriétés déjà vues au cycle 3 ainsi que les nouvelles propriétés introduites au cycle 4 (relations entre angles et parallélisme, somme des angles d’un triangle, inégalité triangulaire, caractérisation de la médiatrice, théorèmes de Thalès et de Pythagore) fournissent un éventail d’outils nourrissant la mise en œuvre d’un raisonnement. Les transformations font l’objet d’une première approche, consistant à observer leur effet sur des configurations planes, notamment au moyen d’un logiciel de géométrie.

Attendu de fin de cycle
  • Représenter l’espace
  • Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer.

 

Connaissances et compétences associées  Exemples de situations, d’activités et
de ressources pour les élèves 
 Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer
 Théorème de Pythagore et sa réciproque Distinguer un résultat de portée générale d’un cas particulier observé sur une figure.

Démontrer, par exemple, que des droites sont parallèles ou perpendiculaires, qu’un point est le milieu d’un segment, qu’une droite est la médiatrice d’un segment, qu’un quadrilatère est un parallélogramme, un rectangle, un losange ou un carré.

Étudier comment les notions de la géométrie plane ont permis de déterminer des distances astronomiques (estimation du rayon de la Terre par Eratosthène, distance de la Terre à la Lune par Lalande et La Caille, etc.). 

Repères de progressivité

Les problèmes de construction constituent un champ privilégié de l’activité géométrique tout au long du cycle 4. Ces problèmes, diversifiés dans leur nature et la connexion qu’ils entretiennent avec différents champs mathématiques, scientifiques, technologiques ou artistiques, sont abordés avec les instruments de tracé et de mesure. Dans la continuité du cycle 3, les élèves se familiarisent avec les fonctionnalités d’un logiciel de géométrie dynamique ou de programmation pour construire des figures.

La pratique des figures usuelles et de leurs propriétés, entamée au cycle 3, est poursuivie et enrichie dès le début et tout au long du cycle 4, permettant aux élèves de s’entraîner au raisonnement et de s’initier petit à petit à la démonstration. Le théorème de Pythagore est introduit dès la 4e , et est réinvesti tout au long du cycle dans des situations variées du plan et de l’espace. 

Les programmes du collèges sont disponibles à cette adresse.

Je vous conseille aussi la lecture des documents maître publié sur Eduscol.

Vidéos sur le théorème de Pythagore

Pour commencer une petite pastille de 3 min, les petits contes mathématiques de France TV.


Le théorème de Pythagore : Petits contes mathématiques

Une seconde mini série animée de France TV, la série Simplex, sur le théorème de Pythagore

Épisode de Simplex France TV sur le théorème de Pythagore
Épisode de Simplex France TV sur le théorème de Pythagore

Activités de découverte du théorème de Pythagore

Etape n°1

On demande de tracer des triangles rectangles à partir de la connaissance de deux côtés. Pour commencer je propose les deux côtés de l’angle droit puis l’hypoténuse. On mesure la mesure du troisième côté puis on complète un tableau de mesure à la recherche d’une relation entre les trois côtés.

Objectifs :
  • le vocabulaire : côtés de l’angle droit et hypoténuse ;
  • tracé des triangles rectangles connaissant deux côtés de l’angle droit et/ou l’hypoténuse ;
  • émettre une conjecture.
Consignes :
  1. Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que AB=3 cm et AC=4 cm ;
  2. Tracer un triangle DEF rectangle en D tel que DE=6 cm et EF=10 cm ;
  3. Tracer un triangle GHI rectangle en G tel que GH=5 cm et GI=12 cm ;
  4. Tracer un triangle JKL rectangle en L avec les mesures de votre choix.
Conjectures :

Les élèves vont émettre plusieurs conjectures, rarement l’égalité de Pythagore dans la mesure où penser à passer au carré n’est pas très intuitif.

Une des conjectures concerne le triangle 3, 4 et 5. Un triangle dont les côtés sont consécutifs est-il rectangle ? Cela vaut le coup de faire tester cette conjecture.

Etape n°2

Pour passer au carré des mesures des côtés, j’utilise l’activité suivantes.

Objectif :
  • calculer par comptage l’aire de carré ;
  • revenir sur la différence entre aire et périmètre ;
  • montrer des stratégies de calcul d’aires ;
  • permettre une conjecture du théorème de Pythagore
Consigne :
  1. Compléter le tableau des aires des petits, moyens et grands carrés
  2. Émettre une conjecture

Voici la fiche au format pdf.

triangle_pointe
Fiche pdf sur papier quadrillé
Une démonstration : le puzzle de Périgal

Henry Périgal était un agent de change et mathématicien anglais du XIX e siècle ( 1801 – 1898 ). Dans un brochure datant de 1891, il montre un pavage permettant de démontrer le théorème de Pythagore. On sait que cette remarquable dissection lui servait de carte de visite et qu’elle est gravée sur sa tombe.

henry_perigal
Henry Perigal

Il cherche aussi une méthode de dissection du disque pour démontrer la quadrature. On lui doit aussi la première trissection du carré en 6 pièces.

Vous trouverez ci-dessous une fiche permettant aux élèves de vérifier le puzzle de Périgal pour démontrer le théorème de Pythagore. Cette fiche contient aussi la solution à diffuser en classe.

puzzle_de_perigal
Fiche élève sur le Puzzle de Périgal

Je vous propose aussi une animation Geogebra pour illustrer cette dissection. J’ai ajouté un point E variable pour modifier les pièces.

Fiche de synthèse

Voici une fiche bilan sur le théorème de Pythagore pour la classe de quatrième de collège. Il s’agit d’un diaporama vectoriel construit avec Inkscape et Sozi. Vous trouverez aussi la fiche au format pdf pour impression.

 

 
 Diaporama Sozi animé   Fiche de synthèse à imprimer  Source des deux fichiers


Un contrôle corrigé sur le théorème de Pythagore

Voici un contrôle corrigé de mathématiques pour la classe de quatrième de collège sur le théorème de Pythagore. Il comprend quatre exercices et il est fait pour être rédigé en 50 minutes.

Description des exercices sur le théorème de Pythagore

  • Exercice 1 : Trois constructions, théorème de Pythagore et sa réciproque ;
  • Exercice 2 : Le théorème et sa contraposée dans deux triangles ;
  • Exercice 3 : Un carré, trois triangles rectangles et une réciproque ;
  • Exercice 4 : La grande diagonale d’un pavé droit.

Le sujet du contrôle corrigé de mathématiques à télécharger

Voici ce contrôle à télécharger au format pdf avec sa correction détaillée. Il peut aussi être utile aux élèves de troisième qui préparent l’épreuve de mathématiques du brevet des collèges.

Controle_corrige_mathematiques_quatrieme_corrige

Et si le théorème de Pythagore était faux !

Pour finir une petite provocation…

Étienne Ghys remet en question les axiomes, les fondements des mathématiques. Il raconte comment, en oubliant leurs a priori, et en changeant les lois, les mathématiciens ont créé de nouveaux mondes.

Source: www.les-ernest.fr

 

 

Les fiches de synthèses de mathématiques

Pour réviser le brevet des collèges, préparer un contrôle, se remettre à niveau, ou faire cours, voici quelques fiches de synthèse sur le cours de mathématiques du collège :

Voici les mots clés les plus courants pour accéder à cet extraordinaire article

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