Troisième – Le calcul des probabilités – Le blog de Fabrice ARNAUD

Dernière mise à jour : mardi 24 mars 2020, 8h54
État : mise à jour des programmes officiels, mise à jour des Scratch
À faire :

Les nouveaux programmes de mathématiques et les probabilités

Voici l’extrait du programme officiel de mathématiques qui correspond au cours de probabilités enseigné au collège depuis la réforme de 2016. Il se trouve dans les programmes officiels de 2016 en page 374 et 375.

Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

Connaissances et compétences associées

Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève

Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités.

Aborder les questions relatives au hasard à partir de problèmes simples.

Calculer des probabilités dans des cas simples. Notion de probabilité.

Quelques propriétés :
– la probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1 ;
– probabilité d’évènements certains, impossibles, incompatibles, contraires.

Faire le lien entre fréquence et probabilité, en constatant matériellement le phénomène de stabilisation des fréquences ou en utilisant un tableur pour simuler une expérience aléatoire (à une ou à deux épreuves).

Exprimer des probabilités sous diverses formes (décimale, fractionnaire, pourcentage).

Calculer des probabilités dans un contexte simple (par exemple, évaluation des chances de gain dans un jeu et choix d’une stratégie).

Dès le début et tout au long du cycle 4 sont abordées des questions relatives au hasard, afin d’interroger les représentations initiales des élèves, en partant de situations issues de la vie quotidienne (jeux, achats, structures familiales, informations apportées par les médias, etc.), en suscitant des débats. On introduit et consolide ainsi petit à petit le vocabulaire lié aux notions élémentaires de probabilités (expérience aléatoire, issue, probabilité).

Les élèves calculent des probabilités en s’appuyant sur des conditions de symétrie ou de régularité qui fondent le modèle équiprobable. Une fois ce vocabulaire consolidé, le lien avec les statistiques est mis en œuvre en simulant une expérience aléatoire, par exemple sur un tableur. À partir de la 4e , l’interprétation fréquentiste permet d’approcher une probabilité inconnue et de dépasser ainsi le modèle d’équiprobabilité mis en œuvre en 5e .

À lire également pour préparer cette leçon, le document maître sur Eduscol.

La structure du cours de probabilités en cycle 4

I Vocabulaire : expérience aléatoire, issue, événement, notion de probabilité

II Approche fréquentiste

III Expérience aléatoire à une épreuve : le modèle d’équiprobabilité

IV Expérience aléatoire à deux épreuves

Fiche de synthèse sur les probabilités

Simulateur d’expériences aléatoires avec Scratch

Lancer de pièces de monnaie

Expérience aléatoire : on lance une pièce de monnaie

Issues possibles : 2 issues , Pile ou Face

Approche fréquentiste : on propose à chaque élève de lancer 20 fois de suite une pièce de monnaie. On récolte l’ensemble des résultats de la classe pour évaluer une fréquence d’apparition des deux issues.

Scratch : voici un programme permettant de simuler un nombre important de lancers de pièces. On peut aller jusque plusieurs millions de lancers dans un temps raisonnable. Il permet de confirmer que la probabilité d’une issue peut être considéré comme la fréquence théorique obtenue par un nombre très importants de lancers.

Lien direct vers l’application pour le plein écran

Lancer d’un dé cubique

Expérience aléatoire : on lance un dé cubique

Issues possibles : 6 issues , 1, 2, 3, 4, 5 ou 6

Approche fréquentiste : on propose à chaque élève de lancer 20 fois de suite un dé cubique. On récolte l’ensemble des résultats de la classe pour évaluer une fréquence d’apparition des six issues.

Scratch : voici un programme permettant de simuler un nombre important de lancers de dé cubique. On peut aller jusque plusieurs millions de lancers dans un temps raisonnable. Il permet de confirmer que la probabilité d’une issue peut être considéré comme la fréquence théorique obtenue par un nombre très importants de lancers.

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Lancer de deux dés cubiques

Expérience aléatoire : on lance deux dés cubiques et faire la somme

Issues possibles : 11 issues , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ou 12

Approche fréquentiste : on propose à chaque élève de lancer 20 fois de suite deux dés cubiques. On récolte l’ensemble des résultats de la classe pour évaluer une fréquence d’apparition des onze issues.

Scratch : voici un programme permettant de simuler un nombre important de lancers de deux dés cubiques. On peut aller jusque plusieurs millions de lancers dans un temps raisonnable. Il permet de confirmer que la probabilité d’une issue peut être considéré comme la fréquence théorique obtenue par un nombre très importants de lancers.

Lien direct vers l’application pour le plein écran

Le jeu du franc carreau

Voici une simulation du fameux jeu de Buffon : le franc carreau. Dans cette simulation (approximative) ma pièce de 5 centimes est environ trois fois plus petites que le côté d’un carré.

Ressources vidéos pour débuter en probabilités

Voici un problème ouvert proposé par Maths et Tiques. Il s’agit à partir d’un plateau de Monopoly de déterminer la probabilités de tomber sur une case contenant un hotel.

Voici une proposition de solution.

Nous faisons l’hypothèse que les dès ne sont pas truqués, nous sommes donc dans une situation d’équiprobabilité.

Chaque dé possède 6 faces, il y a donc 36 possibilités de sommes de deux dés que l’on peut représenter dans un tableau

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Il y a donc 36 cas possibles et 8 cas favorables.

La probabilité de tomber sur un hôtel est donc $latex \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} \approx 0,22$ soit 22%.

Simulateur de lancer de pièces

Si vous souhaitez simuler le tirage du Loto je vous propose aussi cet exceptionnel article sur ce blog.

Contrôle corrigé sur les problèmes de probabilités

Je vous propose un contrôle sur les probabilités constitués de 4 exercices issues des brevet des collèges récents et d’un dernier sur les identités remarquables.