%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\setlength\parindent{0pt}% Halte à l'indentation

\psset{PointSymbol=+}

\include{Macros}

\title{\Titre}
\author{ARNAUD Fabrice}
\date{\today}

\makeindex


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\vspace*{10cm}

\centerline{\Huge Contrôle commun}

\vspace{1cm}

\centerline{\Huge \textsc{Mathématiques}}

\vspace{1cm}

%\centerline{\large Lundi 2 février 2015}

\vspace{2cm}

%\centerline{\Large Collège Nicolas Vauquelin}

\vspace{1cm}

\centerline{Épreuve sur 30 points dont 3 points de présentation et de rédaction}

\vfill

Durée de l'épreuve : 1~h~30

\bigskip

La calculatrice est autorisée.

Aucun prêt de matériel n'est permis pendant l'épreuve.

Ce sujet est constitué de 5 exercices.


\newpage

\textbf{\large \textsc{Exercice 1}} \hfill \textbf{$5$ points}

\bigskip

Ceci est un questionnaire à choix multiples. 

On ne demande aucune justification. 

Pour chaque question, \textbf{une ou plusieurs} affirmations sont exactes. Indiquez les sur votre copie.

\vspace{1cm}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
		&		&	&	&	\\
		& Réponse A	& Réponse B 	& Réponse C 	& Réponse D	\\
		&		& 		&		&		\\
\hline
		&	&	&	&	\\
\textbf{1.} L'écriture scientifique de $0,000~025$ est :& $2,5 \times 10^{-5}$ & $2,5 \times 10^{5}$ & $2,5 \times 10^{-6}$& $25 \times 10^{-6}$	\\
		&	&	&	&	\\
\hline
		&	&	&	&	\\
\textbf{2.} $(-1)^{-7}=$	& $1$	& $-1$	& $-7$	& $-0,000~000~1$	\\
		&	&	&	&	\\
\hline
		&	&	&	&	\\
\textbf{3.} $\dfrac{0,002~\times 10^6}{400~000 \times 10^{-5}}=$   & $5\times 10^2$ & $500$ &$0,05$ &$50 \times 10^1$  \\
		&	&	&	&	\\ 	
\hline
		&	&	&	&	\\
\textbf{4.} $\dfrac{4}{3}-\dfrac{4}{3} \div \dfrac{2}{5}=$	& $-\dfrac{6}{3}$ & $-2$ & $0$ & $\dfrac{4}{5}$	\\
		&	&	&	&	\\
\hline
		&	&	&	&	\\
\textbf{5.}     $(1-3\times 4)(2^3+4\times(-2))=$	& $-176$	& $0$ & $176$	& $-1$	\\
		&	&	&	&	\\
\hline 
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{2cm}


\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\bigskip

\textbf{1.} Tracer un triangle $RUT$ tel que $RU=7~cm$, $RT=8~cm$ et $UT=9~cm$

\bigskip

\textbf{2.} Placer $K \in [RU]$ tel que $RK=4,2~cm$.

\bigskip

La parallèle à la droite $(UT)$ passant par $K$ coupe le segment $[RT]$ en $P$.

\bigskip

Compléter la figure.

\bigskip

\textbf{3.} Calculer en justifiant votre raisonnement les longueurs $RP$ et $KP$.

\bigskip

\textbf{4.} La perpendiculaire à $(RT)$ passant par $K$ coupe $(RT)$ en $H$.

\bigskip

La perpendiculaire à $(RT)$ passant par $U$ coupe $(RT)$ en $V$.

\bigskip

Compléter la figure.

\bigskip

\textbf{5.} Expliquer pourquoi les droites $(KH)$ et $(UV)$ sont parallèles.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\bigskip

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{ecoli}
\end{center}

\bigskip

Un laboratoire fait des recherches sur une population de Escherichia Coli : une bactérie urinaire responsable de gastro-entérites, de cystites et de méningites.

Les bactéries ont la capacité de se multiplier très rapidement. Les chercheurs ont observés que les bactéries les plus virulentes sont capables de multiplier leur population par 2 toutes les $2~h~40~min$.

Par combien le nombre de bactéries a-t-il été multiplié au bout de 24 heures ?

\bigskip

Présenter votre démarche et vos calculs sur votre copie.

\bigskip

Toutes les traces de recherches seront prisent en compte.

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\bigskip

Voici deux programmes de calcul :

\begin{multicols}{2}

\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{8cm}


$\bullet$ Choisir un nombre

\bigskip

$\bullet$ Enlever $6$

\bigskip

$\bullet$ Multiplier cette différence par le nombre de départ

\bigskip

$\bullet$ Ajouter $9$

\end{minipage}

}
\end{center}

\columnbreak

\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{8cm}


$\bullet$ Choisir un nombre

\bigskip

$\bullet$ Enlever $3$

\bigskip

$\bullet$ Mettre cette différence au carré.

\end{minipage}
}
\end{center}

\end{multicols}

\bigskip

\textbf{1.} Tester ces deux programmes de calcul avec les nombres suivants :

\bigskip

Vous justifierez vos calculs et écrirez votre résultat sous forme d'une fraction si c'est nécessaire !

\bigskip

\hspace{3cm} \textbf{a.} \ \ $-3$

\bigskip

\hspace{3cm} \textbf{b.} \ \ $5$

\bigskip

\hspace{3cm} \textbf{c.} \ \ $0,1$

\bigskip

\hspace{3cm} \textbf{d.} \ \ $\dfrac{1}{3}$

\bigskip

\textbf{2.} Tester à nouveau ces deux programmes avec \textbf{deux nombres entiers positifs} de votre choix.

\bigskip

Indiquer tous les calculs sur votre copie.

\bigskip

\textbf{3.} Quelle conjecture pouvez-vous faire ?

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 6 points}

\bigskip

Le document ci-dessous indique les tarifs postaux pour un envoi depuis la France métropolitaine d'une lettre ou d'un paquet en mode \og lettre prioritaire \fg. 

\bigskip

Ces tarifs sont fonction du poids de la lettre.

\begin{center} 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2)
\psframe(10,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4,2)
\rput(2,1){LETTRE PRIORITAIRE}\rput(7,1){service urgent d’envoi de courrier}
\end{pspicture} 
\end{center}

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \textbf{Pour les envois vers :} La France, Monaco, Andorre et secteurs postaux (armée). Complément d’affranchissement aérien vers l'Outre-mer pour les envois de plus de 20~g 
\item[$\bullet~~$] \textbf{Service universel:} Jusqu'à 2~kg 
\item[$\bullet~~$] \textbf{Délai:} J + 1,  indicatif 
\item[$\bullet~~$] \textbf{Dimensions:} Minimales : $14 \times 9$ cm, maximales : L + l + H = 100 cm, avec L $< 60$ cm 
\item[$\bullet~~$] \textbf{Complément aérien :} 
		\begin{itemize}
			\item Vers zone OM1 : Guyane, Guadeloupe, Martinique, La Réunion, St Pierre et Miquelon, St-Barthélémy, St-Martin et Mayotte : 0,05~\euro{} par tranche de 10~g. 
			\item Vers zone OM2 : Nouvelle-Calédonie, Polynésie française, Wallis-et~Futuna, TAAF. : 0,11~\euro{} par tranche de 10~g
		\end{itemize}
		 \item[$\bullet~~$] \textbf{Exemple de complément :} Pour un envoi de 32~g vers la Guadeloupe : 1,10\euro{} + $4 \times 0,05$\euro{} = 1,3\euro. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l *{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{POIDS JUSQU'À}&TARIFS NETS\\ \hline
20~g	&     	&0,66\euro \\ \hline  
50~g	&     	&1,10\euro \\ \hline   
100~g	&     	&1,65\euro \\ \hline   
250~g	&     	&2,65\euro \\ \hline   
500~g	&     	&3,55\euro \\ \hline   
1~kg	&     	&4,65\euro \\ \hline   
2~kg	&     	&6,00\euro \\ \hline   
3~kg	&   	&7,00O\euro \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}   

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi le coût d'un envoi vers la France Métropolitaine, en \og lettre prioritaire \fg, d'une lettre de 75~g est de 1,65\euro. 

\bigskip

\item Montrer que le coût d'un envoi à Mayotte, en \og lettre prioritaire \fg, d'une lettre de 109~g est de 3,20~\euro. 

\bigskip

\textbf{Dans la question ci-dessous, il sera tenu compte de toute trace de réponse même incomplète dans l'évaluation.}
 
\bigskip

\item Au moment de poster son courrier à destination de Wallis-et-Futuna, Loïc s'aperçoit qu'il a oublié sa carte de crédit et qu'il ne lui reste que 6,76~\euro{} dans son porte-monnaie. 

Il avait l'intention d'envoyer un paquet de 272 g, en \og lettre prioritaire \fg. 

Peut-il payer le montant correspondant ? 

\bigskip

\item Le paquet a les dimensions suivantes : L = 55~cm l = 30~cm et h = 20~cm. Le guichetier de l'agence postale le refuse. Pourquoi ? 
\end{enumerate}



\newpage

\begin{landscape}
\begin{multicols}{2}

\centerline{\Huge Correction du contrôle commun}

\bigskip

\centerline{Janvier 2015}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\bigskip

\textbf{1.} $0,000~025=2,5\times 10^{-5}$ \fbox{1. Réponse A}

\bigskip

\textbf{2.} $(-1)^{-7}=-1$ \fbox{2. Réponse B}

\bigskip

\textbf{3.} $\dfrac{0,002 \times 10^6}{400~000 \times 10^{-5}}=\dfrac{2~000}{4}=500$

Or $500=5 \times 10^2=50 \times 10^1$

\bigskip

\fbox{3. Réponse A, B et D}

\bigskip

\textbf{4.} $\dfrac{4}{3}-\dfrac{4}{3} \div \dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{4}{3} \times \dfrac{5}{2}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{10}{3}=-\dfrac{6}{3}=-2$

\bigskip

\fbox{4. Réponse A et B}

\bigskip

\textbf{5.} $(1-3\times 4)(2^3-4\times(-2))=(1-12)(8-8)=-11 \times 0=0$

\bigskip

\fbox{5. Réponse B}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\bigskip

\textbf{1.2.4}

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,7)
\pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){U}(9,0){T}(1.47,2.39){K}(6.87,2.39){P}
\pstGeonode[PosAngle=90](3.67,5.96){R}(4.47,5.07){H}
\pstGeonode[PosAngle=0](5,4.47){V}
\pstLineAB{R}{T} \pstLineAB{T}{U} \pstLineAB{U}{R}
\psline(0,2.39)(8,2.39)
\psline(-0.4,-0.36)(5.65,5.05)
\psline(-0.93,0.24)(5.03,5.57)

\end{pspicture}

\end{center}

\bigskip

\textbf{3.} Dans le triangle $RUT$

$K \in [RU]$ et $P \in [RT]$

Les droites $(KP)$ et $(TU)$ sont parallèles.

D'après le \textbf{théorème de Thalès} on a :

$$\dfrac{RK}{RU}=\dfrac{RP}{RT}=\dfrac{KP}{UT}$$

$$\dfrac{4,2}{7}=\dfrac{RP}{8}=\dfrac{KP}{9}$$

Ainsi $RP=\dfrac{8 \times 4,2}{7}=4,8$ et $KP=\dfrac{9 \times 4,2}{7}=5,4$

\bigskip

\fbox{$RP=4,8~cm$ et $KP=5,4~cm$}

\bigskip

\textbf{5.} Les droites $(KH)$ et $(UV)$ sont perpendiculaires à la droite $(RT)$

\bigskip

On sait que \textbf{Si deux droites sont pependiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.}

\bigskip

\fbox{$(KH)$ et $(UV)$ sont donc parallèles.}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\bigskip

Toutes les $2~h~40~min$ la population de bactéries est multipliées par $2$.

\bigskip

$2~h~40~min+2~h~40~min+2~h~40~min=8~h$

\bigskip

Ainsi toutes les $8~h$ la population de bactéries est multipliées par $2^3=8$

Comme $24~h=3\times 8~h$

\fbox{Au bout de $24~h$ la population de bactéries est multipliées par $8^3=512$}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\bigskip

\textbf{1.a} Avec le premier programme de calcul on obtient :

$-3-6=-9$, puis $-9 \times (-3)=27$ et enfin $27+9=$\fbox{$36$}

\bigskip

Avec le second programme de calcul on obtient :

$-3-3=-6$ puis $(-6)^2=$\fbox{$36$}

\bigskip

\textbf{1.b} Avec le premier programme de calcul on obtient :

$5-6=-1$, puis $-1 \times 5=-5$ et enfin $-5+9=$\fbox{$4$}

\bigskip

Avec le second programme de calcul on obtient :

$5-3=2$ puis $2^2=$\fbox{$4$}

\bigskip

\textbf{1.c} Avec le premier programme de calcul on obtient :

$0,1-6=-5,9$, puis $-5,9 \times 0,1=-0,59$ et enfin $-0,59+9=$\fbox{$8,41$}

\bigskip

Avec le second programme de calcul on obtient :

$0,1-3=-2,9$ puis $(-2,9)^2=$\fbox{$8,41$}

\bigskip


\textbf{1.d} Avec le premier programme de calcul on obtient :

$\dfrac{1}{3}-6=\dfrac{1}{3}-\dfrac{18}{3}=-\dfrac{17}{3}$, puis $-\dfrac{17}{3} \times \dfrac{1}{3}=-\dfrac{17}{9}$ et enfin $-\dfrac{17}{9}+9=-\dfrac{17}{9}+\dfrac{81}{9}=$\fbox{$\dfrac{64}{9}$}

\bigskip

Avec le second programme de calcul on obtient :

$\dfrac{1}{3}-3=\dfrac{1}{3}-\dfrac{9}{3}=-\dfrac{8}{3}$ puis $(-\dfrac{8}{3})^2=$\fbox{$\dfrac{64}{9}$}

\bigskip

\textbf{2.} On peut faire la conjecture selon laquelle \fbox{les deux programmes de calcul donnent le même résultat.}

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\bigskip

\textbf{1.} Une lettre de $75~g$ pèse moins de $100~g$ donc d'après la troisième ligne du tableau le coût de l'envoi est \fbox{$1,65$~\euro}

\bigskip

\textbf{2.} Mayotte est en zone OM1. $109~g$ correspond à $11$ tranche de $10~g$. $109~g$ est inférieur à $250~g$

\bigskip

Le coût d'envoi est : $2,65$~\euro$+11\times 0,05$~\euro$=2,65$~\euro$+0,55$~\euro$=$\fbox{$3,20$~\euro}

\bigskip

\textbf{3.} $272~g$ est inférieur à $500~g$ donc le tarif net est $3,55$~\euro.

Wallis et Futuna est en zone OM2. $272~g$ correspond à $28$ tranches de $10~g$.

Le coût d'envoi est : $3,55$~\euro$+28\times 0,11$~\euro$=3,55$~\euro$+3,08$~\euro$=6,63$~\euro

\bigskip

\fbox{Loïc a donc assez d'argent liquide pour faire son envoi ! }

\bigskip

\textbf{4.} La somme des trois dimensions ne doit pas dépasser $100~cm$

Or $55~cm+30~cm+20~cm=105~cm$

\bigskip

\fbox{Le guichetier refuse donc le colis car la règle de dimensions n'est pas respectée ! }



\end{multicols}
\end{landscape}



\end{document}
