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         }

\setlength\parindent{0pt}% Halte à l'indentation

\psset{PointSymbol=+}


\title{\Titre}
\author{ARNAUD Fabrice}
\date{\today}



\begin{document}

\newpage

\pagestyle{empty}

\centerline{\Huge Correction}

\bigskip

\centerline{\Large Polynésie - Rattrapage - Septembre 2017 - Mathématiques}

\vspace{1cm}

\textit{Ce document est une correction commentée du sujet de brevet. Les commentaires ne font pas partie de la rédaction demandée lors de l'épreuve. Pour certains exercices plusieurs solutions sont proposées. Au brevet une seule solution est demandée et parfois même sans justification quand c'est précisé dans le sujet !}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1}

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Tableur ;
\item Statistiques : moyenne, étendue, pourcentages ;
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

\textbf{1.} La \textbf{Formule A} donne $121$ mais si elle est recopié vers le bas elle répétera $121$. La \textbf{Formule C}  ne contient pas le symbole $=$ donc elle ne fonctionne pas.

\bigskip

\fbox{Formule B}

\bigskip

\textbf{2.a} Les États-Unis sont en tête avec $46$ médailles. L'Australie et l'Italie sont derniers avec $8$ médailles.

\bigskip

\fbox{L'étendue de cette série vaut $46-8=36$}

\bigskip

\textbf{2.b} Il faut calculer : $frac{46+27+26+19+17+12+10+9+8+8}{10}=\frac{182}{10}=18,2$

\bigskip

\fbox{La moyenne de cette série est $18,2$ médaille d'or.}

\bigskip

\textbf{3.} Sur les $182$ médailles d'or la France en a remportées $10$ soit une fréquence de $\frac{10}{182} \approx 0,055$

\bigskip

\fbox{La France a remporté $5,5\%$ des médailles d'or.}

\bigskip

\textbf{4.} On constate que l'Italie qui a obtenu $28$ médailles au total contre $29$ pour l'Australie est classé devant l'Australie.

\bigskip

\fbox{On classe les pays dans l'ordre des médailles d'or puis en cas d'égalité on compare les médailles d'argent.}

\bigskip

\textbf{5.} Pour la France calculons : $3~pt \times 10 + 2~pt \times 18+14~pt \times 1=80~pt$

Pour le Japon calculons : $3~pt \times 12 + 2~pt \times 8 + 21~pt=73~pt$

\bigskip

\fbox{Oui, avec cette règle la France aurait dépassé le Japon ! }

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Lecture de tableau ;
\item Représentation graphique d'un tableau ;
\item Lecture graphique ;
\item Fonction linéaire.
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

\textbf{1.} \fbox{Au bout de $2~h~30~min$ de course il a parcouru $80~km$}

\bigskip

\textbf{2.} La troisième heure de course débute après $2~h$ de course et s'achève au bout de $3~h$. Il avait parcouru $70~km$ au bout de $2~h$ et $100~km$ au bout de $3~h$ de course.

\bigskip

\fbox{Il a parcouru $30~km$ durant la troisième heure de course.}

\bigskip

\textbf{3.} Avec le même raisonnement on constate qu'il a parcouru $35~km$ durant la quatrième heure de course.

\bigskip

\fbox{Il a donc été plus rapide durant la quatrième heure de course ! }

\bigskip

\textbf{4.ab}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(12,12)
\psgrid[gridlabels=0, subgriddiv=5, gridwidth=0.1pt, gridcolor=gray, xunit=5, yunit=1](-0.2,-0.5)(2.2,10)
\psaxes[Dx=1, Dy=20, xunit=2, yunit=0.05]{->}(0,0)(-0.4,-0.01)(5.5,200)
\psline[linewidth=1pt](0,-0.2)(0,0.2)(0,0)(0.2,0)(-0.2,0)
\psline[linewidth=1pt](1,0.75)(0.8,0.75)(1.2,0.75)(1,0.75)(1,0.95)(1,0.55)
\psline[linewidth=1pt](3,2.75)(2.8,2.75)(3.2,2.75)(3,2.75)(3,2.95)(3,2.55)
\psline[linewidth=1pt](4,3.5)(3.8,3.5)(4.2,3.5)(4,3.5)(4,3.3)(4,3.7)
\psline[linewidth=1pt](5,4)(4.8,4)(5.2,4)(5,4)(5,3.8)(5,4.2)
\psline[linewidth=1pt](6,5)(5.8,5)(6.2,5)(6,5)(6,4.8)(6,5.2)
\psline[linewidth=1pt](7,5.5)(6.8,5.5)(7.2,5.5)(7,5.5)(7,5.3)(7,5.7)
\psline[linewidth=1pt](8,6.75)(7.8,6.75)(8.2,6.75)(8,6.75)(8,6.95)(8,6.55)
\psline[linewidth=1pt](9,8)(8.8,8)(9.2,8)(9,8)(9,7.8)(9,8.2)
\psline(0,0)(1,0.75)(3,2.75)(4,3.5)(5,4)(6,5)(7,5.5)(8,6.75)(9,8)


\psline[linewidth=1pt](4.5,3.75)(4.3,3.75)(4.7,3.75)(4.5,3.75)(4.5,3.55)(4.5,3.95)
\psline[linewidth=1pt, linestyle=dashed](4.5,3.75)(4.5,0)
\psline[linewidth=1pt, linestyle=dashed](4.5,3.75)(0,3.75)

\psline[linewidth=1pt](2,1.75)(1.8,1.75)(2.2,1.75)(2,1.75)(2,1.55)(2,1.95)
\psline[linewidth=1pt, linestyle=dashed](2,1.75)(2,0)
\psline[linewidth=1pt, linestyle=dashed](2,1.75)(0,1.75)

\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{5.} \fbox{Par lecture graphique on lit $2~h~15~min$ pour $75~km$}

\bigskip


\textbf{6.} \fbox{Par lecture graphique on lit $35~km$ pour $1~h~$}

\bigskip

\textbf{7.} On constate que les points ne sont pas alignés avec l'origine du repère.

\bigskip

\fbox{Cette fonction n'est pas linéaire ! }

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3} : 

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Tâche complexe ;
\item Temps, volume.
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

Il y a $12$ circuits indépendants ayant chacun $4$ arroseurs soit $12 \times 4=48$ arroseurs. Le débit d'un arroseur est de $0,4~m^3$ par heure. Le système d'arrosage a donc un débit total de $0,4~m^3 \times 48=19,2~m^3$ à l'heure. Le système se déclenche $15~min$ le matin et $15~min$ le soir, soit $30~min$ par jour ou encore $0,5~h$ par jour. Il y a 31 jours en juillet, $31 \times 0,5~h=15,5~h$

\bigskip

Le système va fonctionner $15,5~h$ en juillet à un débit de $19,2~m^3$ à l'heure.

\bigskip

$15,5 \times 19,2~m^3=297,6~m^3$. Or $1~m^3=1~000~L$.

\bigskip

\fbox{Le club aura consommé $297~600~L$ d'eau en juillet.}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 4}

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Théorème de Pythagore ;
\item Trigonométrie ;
\item Théorème de Thalès.
\end{itemize}
}

\normalsize

\textit{Une difficulté de cet exercice est le nombre important d'informations qu'il contient ! }


\bigskip

\textbf{1.} Dans le triangle $ABC$ rectangle en B, utilisons la trigonométrie.

$$tan~\widehat{CAB}=\frac{CB}{AB}$$

$$tan~30^o=\frac{CB}{11~m}$$

$$CB=11~m \times tan~30^o$$

$$CB \approx 6,35~m$$

\bigskip

\fbox{La hauteur de la tribune mesure environ $6,35~m$ au centimètre près.}

\bigskip

\textbf{2.} Les droites $(AC)$ et $(RT)$ sont parallèles. On peut donc affirmer que les angles correspondants $\widehat{CAB}$ et $\widehat{BRT}$ sont égaux.

\bigskip

\textit{On peut aussi affirmer que les triangles $ABC$ et $RBT$ sont semblables ! }

\bigskip

\fbox{$\widehat{BRT}=30^o$}

\bigskip

\textbf{3.} \textit{Nous sommes dans une situation de Thalès qui correspond à deux triangles semblables. On peut donc adopter l'un ou l'autre point de vue pour résoudre cette question.}

Pour calculer $RA$ nous allons calculer $BR$ puisque nous connaissons $BA=11~m$

\bigskip

\textit{Version Thalès}

\bigskip

Les droites $(RA)$ et $(CT)$ sont sécantes en $B$.

Les droites $(RT)$ et $(AC)$ sont parallèles.

D'après \textbf{le théorème de Thalès} on a :

$$\frac{BA}{BR}=\frac{BC}{BT}=\frac{AC}{RT}$$

$$\frac{11~m}{BR}=\frac{6,35~m}{6,35~m+80~cm}$$

$$\frac{11~m}{BR}=\frac{6,35~m}{7,15~m}$$

En utilisant la \textbf{règle de trois} on trouve : $BR=\frac{11~m \times 7,15~m}{6,35~m} \approx 12,39~m$

\bigskip

\textit{Version triangles semblables}

\bigskip

Comme les droites $(RT)$ et $(AC)$ sont parallèles, les triangles $BAC$ et $BRT$ sont semblables.

Ainsi le triangle $BRT$ est un agrandissement du triangle $ABC$ sont le coefficient d'agrandissement est $\frac{7,15~m}{6,35~m} \approx 1,126$

Nous en déduisons que $BR\approx 1,126 \times BA \approx 12,39~m$

\bigskip

\textit{Attention ce raisonnement est sensible à l'arrondi du coefficient d'agrandissement ! }

\bigskip

\fbox{$RA=12,39~m-11~m=1,39~m$}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 5}

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Vitesse ;
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

\textbf{1.} Un Marathon correspond à environ $40~km$.

À $5~km/h$, comme $8 \times 5=40$, il faut environ $8~h$ pour parcourir $40~km$. À $10~km/h$, comme $4 \times 10=40$, il faut environ $4~h$ pour parcourir $40~km$. À $20~km/h$, comme $2 \times 20=40$, il faut environ $2~h$ pour parcourir $40~km$.

\bigskip

\fbox{Sa vitesse moyenne était donc environ $20~km/h$}

\bigskip

\textbf{2.} \textit{On peut utiliser plusieurs stratégie reposants sur la proportionnalité ! }

\bigskip

En remarquant que $2~h~15~min=2,25~h$ car $15~min$ correspond à $\frac{1}{4}$ d'heure soit $0,25~h$. Reste à effectuer $42,195~km /div 2,25 \approx 18,75~km$

\bigskip

On peut aussi utiliser un tableau de proportionnalité :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
	&									&				\\
Temps	&	$1~h=60~min$							&	$2~h~15~min=135~min$	\\
	&									&				\\
\hline
	&									&				\\
Distance&	$\frac{42,195~km \times 60~min}{135~min}\approx 18,75~km$	&	$42,195~km$		\\
	&									&				\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\fbox{Sa vitesse moyenne est d'environ $18,75~km/h$}

\bigskip

\textbf{3.a} Denis Kimetto met $2~h~2~min~57~s$ pour passer la ligne et Scott Overall $2~h~15~min$

\bigskip

\fbox{Scott Overall a donc courru $12~min~03~s$ de plus ! }

\bigskip

\textbf{3.b} Scott Overall a courru $12~min~03~s$ à $18,75~km/h$

On peut utiliser un tableau de proportionnalité :


\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
	&				&						\\
Temps	&	$1~h=60~min=3~600~s$	&	$12~min~03s=12\times 60s+3s=723~s$	\\
	&				&						\\
\hline
	&					&									\\
Distance&	$18,75~km$			& $\frac{723~s \times 18,75~km}{3~600~s} \approx 3,765~km$		\\
	&					&									\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\fbox{Il lui reste $3~765~m$ a parcourir ! }

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 6}

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Scratch
\item Programme de calcul
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

\textbf{1.} Si on choisit $2$ comme nombre de départ.

Alors la variable $x$ prend la valeur $2$ puis $y=2\times 2-9=4-9=-5$

\bigskip

\fbox{En prenant $2$ au départ on obtient $-5$}

\bigskip

\textbf{2.a} Si on choisit $5$ comme nombre de départ.

Alors la variable $x$ prend la valeur $5$ puis $y=5\times 5-9=25-9=16$

\bigskip

\fbox{En prenant $5$ au départ on obtient $16$}

\bigskip

\textbf{2.b} Si on choisit $-4$ comme nombre de départ.

Alors la variable $x$ prend la valeur $-4$ puis $y=(-4)\times (-4)-9=16-9=7$

\bigskip

\fbox{En prenant $-4$ au départ on obtient $7$}

\bigskip

\textbf{3.} Posons $x$ le nombre de départ, il faut donc résoudre :

$$x^2-9=0$$

$$x^2=9$$

Il y a donc deux solutions :

$$x=3\ et\ x=-3$$

\bigskip

\fbox{En prenant $3$ ou $-3$ au départ on obtient $0$ à la fin ! }




\end{document}
