\documentclass[10pt]{article}

\pagestyle{empty}

\usepackage[francais]{layout}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{etex}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{pstricks, pstricks-add,  pst-eucl, multido, pst-plot}
\usepackage{tikz}
\usepackage{multicol}
\usepackage{graphics}
\usepackage{pslatex}
\usepackage{lscape}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{array}
\usepackage{calc}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{scratch}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{eurosym}
\hypersetup{colorlinks, citecolor=black, filecolor=black, linkcolor=black, urlcolor=black} 


\geometry{      verbose,
                a4paper,        % a4
                tmargin=1cm,    % Marge haute
                bmargin=1cm,    % Marge basse
                lmargin=1cm,    % Marge gauche
                rmargin=1cm,    % Marge droite
                headheight=1cm, % Entête
                headsep=0cm,    % Séparateur entête
                footskip=1cm    % Pied de page
         }

\setlength\parindent{0pt}% Halte à l'indentation

\psset{PointSymbol=+}


\title{\Titre}
\author{ARNAUD Fabrice}
\date{\today}



\begin{document}

\newpage

\pagestyle{empty}

\centerline{\Huge Correction}

\bigskip

\centerline{\Large France - Juin 2018 - Mathématiques}

\vspace{1cm}

\textit{Ce document est une correction commentée du sujet de brevet. Les commentaires ne font pas partie de la rédaction demandée lors de l'épreuve. Pour certains exercices plusieurs solutions sont proposées. Au brevet une seule solution est demandée et parfois même sans justification quand c'est précisé dans le sujet !}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1} : Martin Fourcade à Pyeonchang

\bigskip

\textit{Un exercice qui demande de connaître les coordonnées géographiques. C'est la première fois au brevet. Le reste est assez classique. Les formules sont rappelées dans l'énoncé.}

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Coordonnées sur la sphère terrestre ;
\item Volume de la boule ;
\item Volume du cylindre.
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

\textbf{1.} \fbox{La latitude est approximativement $35^o$ Nord}

\fbox{La longitude est approximativement $127^o$ Est}

\bigskip
En regardant les coordonnées GPS de Pyeonchang on trouve $37^o~26'$ Nord et $128^o~32'$ Est.

\bigskip

\textbf{2.} Cette boule a un diamètre de $23~cm$ et donc un rayon de $11,5~cm$

$V=\frac{4}{3} \pi \times (11,5~cm)^3=\frac{4}{3} \pi \times 1~520,875~cm^3\approx 6~371~cm^3$

\bigskip

\fbox{La boule a bien un volume d'approximativement $6~371~cm^3$}

\bigskip

\textbf{3.} Calculons le volume du cylindre. C'est un cylindre dont la base à un diamètre de $6~cm$, donc un rayon de $3~cm$ et une hauteur de $23~cm$

$V'=\pi \times (3~cm)^2 \times 23~cm=9\pi \times 23~cm^3=207\pi~cm^3 \approx 650~cm^3$

\bigskip

Le volume total du trophée est donc de $650~cm^3+6~371~cm^3=7~021~cm^3$

\bigskip

Il reste à calculer les $90~\%$ de $7~021~cm^3$ soit $7~021~cm^3 \times \frac{90}{100}=6~318,9~cm^3$

$6~318~cm^3$ est assez proche de $6~371~cm^3$

\bigskip

\fbox{Le volume de la boule représente bien $90~\%$ du volume total du trophée.} 

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2} : la pollution à Lyon et à Grenoble

\bigskip

\textit{Exercice de statistiques assez facile qui teste les connaissances du cour ! Deux séries statistiques à comparer, une donnée de manière exhaustive, l'autre à l'aide des éléments statistiques.}

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Statistiques
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

\textbf{1.} À Lyon la concentration maximale est $107~\mu g/m^3$.

À Grenoble la concentration maximale est de $89~\mu g/m^3$ le 25 janvier.

\bigskip

\fbox{La plus forte concentration de PM10 est à Lyon sur cette période.}

\bigskip

\textbf{2.} La concentration minimale à Lyon est $22~\mu g/m^3$ et la concentration maximale est $107~\mu g/m^3$

L'étendue de la concentration en PM10 à Lyon est $107~\mu g/m^3-22~\mu g/m^3=85~\mu g/m^3$

\bigskip

La concentration minimale à Grenoble est $32~\mu g/m^3$ et la concentration maximale est $89~\mu g/m^3$

L'étendue de la concentration en PM10 à Lyon est $89~\mu g/m^3-32~\mu g/m^3=57~\mu g/m^3$

\bigskip

\fbox{L'étendue la plus importante est à Lyon.}

\bigskip

C'est à Lyon qu'il y a les plus grands écarts de pollution.

\bigskip

\textbf{3.} Entre le 16 et le 25 janvier il y a 10 jours.

La médiane de la concentration de PM10 à Lyon est de $83,5~\mu g/m^3$.

Cela signifie que la concentration de PM10 a été supérieur ou égale à $83,5~\mu g/m^3$ pendant 5 jours et inférieure pendant les 5 autres jours.

\bigskip

\fbox{L'affirmation est donc exacte ! }

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3} : Théo écoute de la musique

\bigskip

\textit{Une expérience aléatoire à une épreuve qui ne doit pas poser de difficultés ! }

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Probabilités
\end{itemize}
}

\normalsize


\textbf{1.} Il y a $375$ morceaux de musique et l'expérience aléatoire consiste à en choisir un au hasard. C'est une situation d'équiprobabilité.

Il y a $125$ morceaux de rap.

\bigskip

\fbox{La probabilité cherchée est $\frac{125}{375}=\frac{1}{3}$ soit environ $33~\%$}

\bigskip

\textbf{2.} $\frac{7}{15}$ des $375$ morceaux sont des morceaux de rock.

$\frac{7}{15} \times 375=175$

\bigskip

\fbox{Il y a $175$ morceaux de rock.}

\bigskip

\textbf{3.} $\frac{7}{15} \approx 0,47$ soit $47~\%$

\bigskip

\fbox{C'est Théo qui a le plus de chance de tomber sur un morceau de rock.}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 4} : Les triangles semblables

\bigskip

\textit{Un exercice assez difficile sur les nouveaux programmes. On part de la proportionnalité des côtés pour obtenir l'égalité des angles. Ce qui concerne Pythagore est assez classique.}

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Théorème de Pythagore et sa réciproque ;
\item Triangles semblables
\item Trigonométrie.
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

\textbf{1.} Dans le triangle $BCD$ rectangle en $B$, d'après \textbf{le théorème de Pythagore} on a :

$$BC^2+BD^2=CD^2$$
$$7,5^2+BD^2=8,5^2$$
$$56,25+BD^2=72,25$$
$$BD^2=72,25-56,25$$
$$BD^2=16$$
$$BD=\sqrt{16}$$
$$BD=4$$

\bigskip

\fbox{$BD=4~cm$}

\bigskip

\textbf{2.} Dans l'ordre croissant les mesures du triangle $CBD$ sont $4~cm$, $7,5~cm$ et $8,5~cm$.

Dans l'ordre croissant les mesures du triangle $BFE$ sont $3,2~cm$, $6~cm$ et $6,8~cm$.

\bigskip

Nous allons verifier que ces grandeurs sont proportionnelles. Il y a plusieurs méthodes :

\bigskip

1) Recherche du coefficient d'agrandissement/réduction.

$3,2~cm \div 4~cm=0,8$

Comme $7,5~cm \times 0,8=6~cm$ et $8,5~cm \times 0,8=6,8~cm$

\bigskip

Les grandeurs des deux triangles sont bien proportionnelles.

\bigskip

2) Vérification des égalités des produits en croix.

$4 \times 6=24$ et $3,2 \times 7,5=24$

$7,5 \times 6,8=51$ et $6\times8,5=51$

\bigskip

Les grandeurs des deux triangles sont bien proportionnelles.

\bigskip

\fbox{Les triangles $CBD$ et $BFE$ ont des mesures proportionnelles : ils sont semblables ! }

\bigskip

\textbf{3.} Comme les triangles $CBD$ et $BFE$ sont semblables, leurs angles sont égaux.

Les angles formés par les deux plus petits côtés de chacun des triangles, les angles $\widehat{CBD}$ et $\widehat{BFE}$ sont donc égaux.

On sait que $\widehat{CBD}$ est droit.

\bigskip

\fbox{Sophie a raison, $\widehat{BFE}$ est droit.}

\bigskip

\textbf{4.} $\widehat{ACD}=\widehat{ACB}+\widehat{BCD}$

Comme $\widehat{ACB}=61^o$ il faut vérifier que $\widehat{BCD}=29^o$

\bigskip

Dans le triangle $CBD$ rectangle en $B$

$cos~\widehat{BCD}=\frac{7,5}{8,5}$

À la calculatrice on trouve $\widehat{BCD} \approx 28^o$ au degré près

Comme $\widehat{ACD} \approx 61^o+28^o=89^o$ au degré près.

\bigskip

\fbox{Max a tord, l'angle $\widehat{ACD}$ n'est pas droit ! }

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 5} : Le programme de calcul

\bigskip

\textit{Les affirmations finales demandent de bonnes connaissances. Il faut trouver un contre exemple ou résoudre une inéquation pour la première et penser à factoriser pour la seconde et interpréter la forme littérale pour en déduire une réponse arithmétique. Pas simple ! }

\bigskip


{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Calcul littéral ;
\item Programme de calcul.
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

\textbf{1.} En prenant $-1$ comme nombre de départ on obtient successivement :

$-1 \times 4=-4$ puis $-4+8=4$ et enfin $4 \times 2=8$

\bigskip

\fbox{Pour $-1$ on obtient bien $8$}

\bigskip

\textbf{2.} On peut remonter le programme :

$30$ est le résultat final, $15$ est le nombre obtenu à l'étape 3.

$15-8=7$, $7$ est le nombre de l'étape 2.

$7 \div 4=1,75$ , $1,75$ est le nombre de départ.

En effet : $4 \times 1,75=7$ puis $7+8=15$ et enfin $15\times 2=30$

\bigskip

Même si la question suivante le demande, on pouvait passer par le calcul littéral et la résolution d'équation.

\bigskip

Posons $x$ le nombre de départ.

On obtient successivement $4x$ pus $4x+8$ et enfin $2(4x+8)=8x+16$

Il faut résoudre :

$$8x+16=30$$
$$8x=30-16$$
$$8x=14$$
$$x=\frac{14}{8}$$
$$x=1,75$$

\bigskip

\fbox{En prenant $1,75$ comme nombre de départ on obtient $30$.}

\bigskip

\textbf{3.} Développons $B=(4+x)^2-x^2$

$B=(4+x)(4+x)-x^2$

$B=16+4x+4x+x^2-x^2$

$B=16+8x$

\bigskip

Comme $A=2(4x+8)=8x+16$

\bigskip

\fbox{$A$ et $B$ sont égales pour toutes valeurs de $x$.}

\bigskip

\textbf{4. Affirmation 1} 

Il faut résoudre l'inéquation $8x+16>0$ ou trouver un contre exemple.

\bigskip

$$8x+16 >0$$
$$8x > -16$$
$$x > -\frac{16}{8}$$
$$x >-2$$

Cela signifie que ce programme donne un nombre positif dès que $x$ est supérieur à $-2$.

\bigskip

On pouvait ainsi trouver un contre exemple.

Pour $-3$ comme nombre de départ, on obtient successivement $-3 \times 4=-12$ puis $-12 +8=-4$ et enfin $-4 \times 2=-8$

\bigskip

\fbox{L'affirmation 1 est fausse !}

\bigskip

\textbf{4. Affirmation 2}

Prenons quelques exemples avec des nombres entiers : (entier positif ?)

On a déjà testé avec $-1$ qui donne $8=8\times 1$ ou $-3$ qui donne $-8=8\times (-1)$

En prenant $1$ on obtient $1\times 4=4$ puis $4+8=12$ et $12\times 2=24=8 \times 3$

En prenant $9$ on obtient $9 \times 4=36$ puis $36+8=44$ et $44\times 2=88=8 \times 11$

Cette affirmation semble vraie !

\bigskip

Pour $x$ un entier de départ le programme donne $8x+16$

Or $8x+16=8(x+2)$ ce qui prouve que c'est un multiple de $8$. On sait en effet qu'un multiple de $8$ s'écrit sous la forme $8\times k$ où $k$ est un nombre entier.

\bigskip

\fbox{Ce programme donne toujours des multiples de 8 pour tout entier de départ.}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 6} : Scratch et le carré

\bigskip

\textit{Encore un Sratch géométrique avec un carré et un triangle. Une question plus difficile sur l'homothétie, c'est la première fois au brevet. Le rapport de $\frac{2}{3}$ est pas simple à trouver et la question sur les aires est souvent négligée par nos élèves.}

\bigskip


{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Scratch ;
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

\textbf{1.a} En lisant le programme jusque la ligne 7, on constate que la variable Longueur est à 300 pixels. Or comme $1~cm$ correspond à $50$ pixels, et que $300=50 \times 6$, $300$ pixels correspond à $6~cm$.

Il faut donc, ligne 6, tracer un Carré. Cette fonction après avoir été utilisé, revient au point de départ.

Ligne 7, la fonction triangle fait tracer un triangle équilatéral. Il va donc se situer à l'intérieur du carré. Le curseur est donc de retour au point de départ.

Voici le résultat :

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{carre}
\end{center} 

\bigskip

\textbf{1.b} Après la ligne 7 le curseur est à nouveau au point de départ en $(0;0)$

Puis il avance de Longueur/6, c'est à dire $300 \div 6=50$

\bigskip

\fbox{Après la ligne 8 le curseur est en $(50;0)$}

\bigskip

\textbf{2.} Quand on observe le carré à l'intérieur, on constate que il est décalé horizontalement de 50 pixels à gauche et qu'il y a le même décalage de 50 pixels à droite. Comme le grand carré à une côté de 300 pixels, le petit à un côté de $300-50-50=200$ pixels.

Il faut donc écrire ceci sur la ligne 9 :

\begin{center}
\begin{scratch}[print]
\blockvariable{mettre~\selectmenu{Longueur}~à~\ovalnum{200}}
\end{scratch}
\end{center}

\bigskip

\textbf{3.a} Ce ne peut-être qu'une homothétie puisque cela correspond à une réduction.

On passe du grand carré de $300$ pixels de côté à un petit carré de $200$ pixels de côté.

\bigskip

Le coefficient de cette homothétie est donc le nombre $k$ vérifiant :

$$300 \times k=200$$
$$k=\frac{200}{300}$$
$$k=\frac{2}{3}$$


\bigskip

\fbox{C'est une homothétie de rapport $\frac{2}{3}$ dont on ne connaît pas le centre ! }

\bigskip

\textbf{3.b} Soit on utilise le cour et on se dit que si les longueurs ont été multipliées par $\frac{2}{3}$ alors les aires ont été multipliées par $\left ( \frac{2}{3} \right )^2=\frac{4}{9}$

\bigskip

Sinon il suffit de calculer en pixel carré l'aire de chacun des carrés.

Le grand carré a une aire de $300^2=90~000$ unités.

Le petit carré a une aire de $200^2=40~000$ unités.

\bigskip

Le rapport des aires est donc $\frac{40~000}{90~000}=\frac{4}{3}$

\bigskip

\fbox{Le rapport des aires est de $\frac{4}{3}$}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 7}

\bigskip

\textit{Un exercice assez classique malgré un coefficient décimal négatif. La dernière question est plus délicate à rédiger.}

\bigskip

\textbf{1.} Quand deux grandeurs sont proportionnelles alors la représentation graphique de l'une de ces grandeurs en fonction de l'autre est une droite passant par l'origine du repère.

Ici la représentation graphique de la vitesse en fonction du temps est une droite, mais elle ne passe pas par l'origine du repère.

\bigskip

\fbox{Le temps et la vitesse de rotation ne sont pas proportionnels.}

\bigskip

\textbf{2.a} \fbox{À $0~s$ la vitesse est $20$~tours par seconde.}

\bigskip

\textbf{2.b} $1~min~20~s=60~s+20~s=80~s$

\bigskip

\fbox{Au bout de $1~min~20~s$ la vitesse de rotation est $3$~tours par seconde.}  

\bigskip

\textbf{2.c} \fbox{La hand-spinner s'arrête au bout de $94~s=1~min~34~s$ (une graduation pour $4$~s)}

\bigskip

\textbf{3.a} Calculons $V(30)$ pour $V(t)=-0,214t+20$

$V(30)=-0,214\times 30+20$

$V(30)=-6,42+20$

$V(30)=13,58$

\bigskip

\fbox{Au bout de $30~s$ sa vitesse de rotation est de $13,58$~tours par seconde.}

\bigskip

\textbf{3.b} Il s'arrêtera quand $V(t)=0$. Résolvons cette équation :

$$V(t)=0$$
$$-0,214t+20=0$$
$$-0,214t=-20$$
$$t=\frac{-20}{-0,214}$$
$$t=\frac{20}{0,214}$$
$$t \approx 93$$

\bigskip

\fbox{Le hand-spinner s'arrêtera dans environ $93$~s.}

\bigskip

\textbf{3.c} Dans le cas précédent si on fait tourner au départ le hand-spinner deux fois plus vite, c'est à dire à $40$~tours par seconde, alors la solution de l'équation devient :

$$t=\frac{40}{0,214}=2\times \frac{20}{0,214}$$

\bigskip

Plus généralement si la vitesse de départ est $V_d$ alors l'équation précédente à pour solution :

$$t=\frac{V_d}{0,214}$$

On constate que si $V_d$ devient $2\times V_d$ alors la solution de l'équation est aussi doublée !

\bigskip

On pouvait aussi raisonner sur le caractère affine de cette fonction.

On sait que cela ne décrit pas une situation de proportionnalité, mais cependant on sait aussi que les accroissements sont proportionnels. Plus clairement cela signifie que dans notre cas les écarts de vitesse est proportionnelle aux écarts de temps.

Ainsi si la vitesse initiale est doublé, la diminution jusque l'arrêt est aussi doublée et donc le temps entre le départ et l'arrêt est également doublé.

\bigskip

\fbox{Oui si la vitesse initiale est doublée, il tournera deux fois plus longtemps ! }

\end{document}
