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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}


%{{{ Le sujet

\newpage

\centerline{\textbf{\Huge DIPL\^OME NATIONAL DU BREVET}}

\bigskip

\centerline{\Huge SESSION 2018}

\vspace{2cm}

\fbox{
\fbox{
\begin{minipage}{16cm}
\vspace{1cm}

\centerline{\textbf{\Huge MATHÉMATIQUES}}

\vspace{1cm}

\centerline{\LARGE Série générale}

\vspace{2cm}

\centerline{Durée de l'épreuve : 2h00 \hspace{9cm} 100 points}

\vspace{0.5cm}

\end{minipage}
}
}

\begin{center}
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.

Ce sujet comporte 7 pages numérotées de la \textbf{page 1 sur 5} à la \textbf{page 7 sur 7}.

\vspace{1cm}

L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.

\vspace{1cm}

Le sujet est constitué de 6 exercices indépendants.

Le candidat peut les traiter dans l'ordre qui lui convient.

\vspace{1cm}

\begin{tabular}{|p{5cm}|c|}
\hline
Exercice \no 1		&	12 points	\\
\hline
Exercice \no 2		&	14 points	\\
\hline
Exercice \no 3		&	16 points	\\
\hline
Exercice \no 4		&	14 points	\\
\hline
Exercice \no 5		&	14 points	\\
\hline
Exercice \no 6		&	12 points	\\
\hline
Exercice \no 7		&	18 points	\\
\hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}

\fbox{
\begin{minipage}{18cm}
L'évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus largement, la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches engagées, même non aboutis.
\end{minipage}
}

\vfill

\end{center}

\vfill

\textbf{18GENMATPO1 \hfill Page 1 sur 5}


\newpage


\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier vos réponses.

\medskip

\textbf{Affirmation 1}

\smallskip

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.

Un élève affirme qu'il a deux chances sur trois d'obtenir un diviseur de 6.

A-t-il raison ?

\medskip

\textbf{Affirmation 2}

\smallskip

On considère le nombre $a = 3^4 \times 7$.

Un élève affirme que le nombre $b = 2 \times 3^5 \times 7^2$ est un multiple du nombre $a$.

A-t-il raison ?

\medskip

\textbf{Affirmation 3}

\smallskip

En 2016, le football féminin comptait en France 98~800 licenciées alors qu'il y en avait 76~000 en 2014.

Un journaliste affirme que le nombre de licenciées a augmenté de $30$\,\% de 2014 à 2016.

A-t-il raison ?

\medskip

\textbf{Affirmation 4}

\smallskip

Une personne A a acheté un pull et un pantalon de jogging dans un magasin.

Le pantalon de jogging coûtait 54~\euro. Dans ce magasin, une personne B a acheté le même pull en trois exemplaires ; elle a dépensé plus d'argent que la personne A.

La personne B affirme qu'un pull coûte $25$~\euro.

A-t-elle raison ?

\vfill

\textbf{Exercice 2 \hfill 14 points}

\medskip

Un amateur de football, après l'Euro 2016, décide de s'intéresser à l'historique des treize dernières rencontres entre la France et le Portugal, regroupées dans le tableau
ci-dessous.

On rappelle la signification des résultats ci-dessous en commentant deux exemples :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]la rencontre du 3 mars 1973, qui s'est déroulée en France, a vu la victoire du Portugal par 2 buts à 1 ;
\item[$\bullet~~$]la rencontre du 8 mars 1978, qui s'est déroulée en France, a vu la victoire de la France par 2 buts à 0.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Rencontres de football opposant la France et le Portugal depuis 1973}}\\ \hline
3 mars 1973		& France - Portugal& 1-2\\ \hline
26 avril 1975	& France - Portugal& 0-2\\ \hline
8 mars 1978		& France - Portugal& 2-0\\ \hline
16 février 1983	& Portugal - France& 0-3\\ \hline
23 juin 1984	& France - Portugal& 3-2\\ \hline
24 janvier 1996	& France - Portugal& 3-2\\ \hline
22 janvier 1997	& Portugal - France& 0-2\\ \hline
28 juin 2000	& Portugal - France& 1-2\\ \hline
25 avril 2001	& France - Portugal& 4-0\\ \hline
5 juillet 2006	& Portugal - France& 0-1\\ \hline
11 octobre 2014	& France - Portugal& 2-1\\ \hline
4 septembre 2015& Portugal - France& 0-1\\ \hline
10 juillet 2016	& France - Portugal& 0-1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Depuis 1973, combien de fois la France a-t-elle gagné contre le Portugal ?
\item Calculer le pourcentage du nombre de victoires de la France contre le Portugal
depuis 1973. Arrondir le résultat à l'unité de \%.
\item Le 3 mars 1973, 3 buts ont été marqués au cours du match. Calculer le nombre
moyen de buts par match sur l'ensemble des rencontres. Arrondir le résultat au
dixième.
\end{enumerate}

\vfill

\textbf{18GENMATPO1 \hfill Page 2 sur 5}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 16 points}

\medskip

Une personne s'intéresse à un magazine sportif qui parait une fois par semaine. Elle
étudie plusieurs formules d'achat de ces magazines qui sont détaillées ci-après.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$\bullet~~$ Formule A - Prix du magazine à l'unité: 3,75~\euro{} ;\\
$\bullet~~$ Formule B - Abonnement pour l'année: 130~\euro{} ;\\
$\bullet~~$ Formule C - Forfait de 30~\euro{} pour l'année et 2,25~\euro{} par magazine.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On donne ci-dessous les représentations graphiques qui correspondent à ces trois
formules.

\begin{center}
\psset{xunit=0.225cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(49,150)
\multido{\n=0+2}{25}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,150)}
\multido{\n=0+20}{8}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(49,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(49,150)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=20](0,0)(0,0)(49,150)
\uput*[u](41,0){Nombre de magazines}
\uput*[r](0,145){Coût en euros}
\psline(40,150)
\psline(0,130)(49,130)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{48}{2.25 x mul 30 add}
\uput[d](30,95){(D$_1$)} \uput[u](30,130){(D$_2$)} \uput[u](30,112){(D$_3$)} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sur votre copie, recopier le contenu du cadre ci-dessous et relier par un trait
chaque formule d'achat avec sa représentation graphique.

\begin{center}
\newcolumntype{Y}{>{\raggedleft \arraybackslash}X}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X Y|}\hline
Formule A  \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.1,0.1)&\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0.1)~(D1)
\\
Formule B \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.1,0.1)&\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0.1)~(D2)\\
Formule C \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.1,0.1)&\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0.1)~(D3)\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes.

\emph{Les traits de construction devront apparaitre sur le graphique en ANNEXE qui est à rendre avec la copie.}
	\begin{enumerate}
		\item En choisissant la formule A, quelle somme dépense-t-on pour acheter
16 magazines dans l'année ?
		\item Avec $120$~\euro, combien peut-on acheter de magazines au maximum dans
une année avec la formule C ?
		\item Si on décide de ne pas dépasser un budget de $100$~\euro{} pour l'année, quelle est alors la formule qui permet d'acheter le plus grand nombre de
magazines ?
	\end{enumerate}
\item  Indiquer la formule la plus avantageuse selon le nombre de magazines achetés
dans l'année.
\end{enumerate}

\vfill

\textbf{Exercice 4 \hfill 14 points}

\medskip

Un garçon et une fille pratiquent le roller. Ils décident de faire une course en
empruntant deux parcours différents. 

La fille, qui part du point F et arrive au point A, met 28,5 secondes. 

Le garçon, qui part du point G et arrive aussi au point A, met 28
secondes.

Le dessin ci-après, qui n'est pas à l'échelle, représente les deux parcours; celui de la
fille comporte deux demi-cercles de $5$~m de rayon.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,2.8)
%\psgrid
\psline(0,2.5)(10,2.5)
\psarc(10,2){0.5}{-90}{90}
\psline(10,1.5)(8,1.5)
\psarc(8,1){0.5}{90}{270}
\psline(8,0.5)(10,0.5)
\uput[u](4,2.5){200 m} \uput[l](0,2.5){G}\uput[u](8,2.5){A} 
\uput[r](8,1.25){5 m}\uput[u](10,2.5){B}\uput[d](10,1.5){C}
\uput[u](8,1.5){D}\uput[d](8,0.5){E}\uput[r](10,0.5){F}
\uput[u](8,2.5){A}\uput[u](9,2.5){60 m}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](8,2.5)(10,2.5)(10,1.5)(8,1.5)(8,0.5)(10,0.5)(0,2.5)
\rput(9,2.5){|||}\rput(9,1.5){|||}\rput(9,0.5){|||}
\psline{->}(8,1)(8,1.5)\psline{->}(10,2)(10,2.5)
\uput[r](10,2.25){5 m}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel est le parcours le plus long ?
\item Qui se déplace le plus vite, le garçon ou la fille ?
\end{enumerate}
\smallskip

\emph{On rappelle que si $p$ est le périmètre d'un cercle de rayon $r$, alors} $p = 2 \times \pi \times r$.

\vfill

\textbf{18GENMATPO1 \hfill Page 3 sur 5}

\newpage

\textbf{Exercice 5 \hfill 14 points}

\medskip

Un collégien français et son correspondant anglais ont de nombreux
centres d'intérêt communs comme le basket qu'ils pratiquent tous les deux.

Le tableau ci-dessous donne quelques informations sur leurs ballons.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Ballon du collégien français}	& \multicolumn{1}{|c|}{Ballon du correspondant anglais}	\\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{$A \approx 1~950$ cm"}		& \multicolumn{1}{|c|}{$D \approx 9,5$ inch}		\\ \hline
&$D$ désigne le diamètre du ballon.\\
$A$ désigne l'aire de la surface du ballon et $r$ son rayon. On a $A = 4 \times \pi \times r^2$.& L'inch est une unité de longueur anglo-saxonne.
On a 1 inch $= 2,54$ cm.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Pour qu'un ballon soit utilisé dans un match officiel, son diamètre doit être compris
entre $23,8$ cm et $24,8$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le ballon du collégien français respecte-t-il cette norme ?
\item  Le ballon du collégien anglais respecte-t-il cette norme ?
\end{enumerate}

\vfill

\textbf{Exercice 6 \hfill 12 points}

\medskip

Une personne pratique le vélo de piscine depuis plusieurs années dans un centre
aquatique à raison de deux séances par semaine. Possédant une piscine depuis peu,
elle envisage d'acheter un vélo de piscine pour pouvoir l'utiliser exclusivement chez
elle et ainsi ne plus se rendre au centre aquatique.

\medskip

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Prix de la séance au centre aquatique: 15~\euro.
\item[$\bullet~~$] Prix d'achat d'un vélo de piscine pour une pratique à la maison: 999~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que 10 semaines de séances au centre aquatique lui coûtent 300~\euro.
\item Que représente la solution affichée par le programme ci-après?

\begin{center}
\begin{scratch}
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockvariable{mettre \selectmenu{x} à \txtbox{0}}
\blockinfloop{répéter jusqu'à \booloperator{\ovalvariable{x} * 2 * 15 > \txtbox{999}} }
{\blockvariable{ajouter à \selectmenu{x} \ovalnum{1}}
}
\blocklook{dire \ovaloperator{regroupe}{\txtbox{La solution est :}}\ovalvariable{x}}

\end{scratch}
\end{center}

\item  Combien de semaines faudrait-il pour que l'achat du vélo de piscine soit
rentabilisé?
\end{enumerate}

\vfill

\textbf{18GENMATPO1 \hfill Page 4 sur 5}

\newpage

\textbf{Exercice 7 \hfill 18 points}

\medskip

\textbf{1\up{re} partie}

\smallskip

\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.4,2.3)
%\psgrid
\psline[linewidth=1.5pt](0,1.3)(5.3,1.3)(7,1.6)(7.4,1.8)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](6.9,1.9)(7.4,1.8)
\psline[linewidth=1.5pt](0.6,1.7)(1.2,2)(6.5,2)(6.9,1.9)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](0,1.3)(0.6,1.7)
\pspolygon(0,1.65)(5.3,1.65)(7.1,1.9)(7.4,2)(6.5,2.3)(1.15,2.3)
\psline(0,0)(5.3,0)(7.1,0.2)(7.4,0.5)
\psline[linestyle=dashed](7.4,0.5)(6.4,1.1)(1.2,1.1)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](6.4,1.2)(6.4,2.3)
\psline[linestyle=dashed](1.2,1.1)(1.2,2)
\psline(1.2,2)(1.2,2.3)
\psline(0,1.7)(0,0)\psline(5.3,0)(5.3,1.7)\psline(7.1,0.2)(7.1,1.9)
\psline(7.4,0.5)(7.4,2)
\rput(6,3.3){Frise de la piscine}\psline{->}(6,3.1)(5.5,2.2)
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{Une personne possède une piscine. 

Elle veut coller une frise en carrelage au niveau de la ligne d'eau.}

\medskip

La piscine vue de haut, est représentée à l'échelle par la partie grisée du schéma ci-après.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0.7)(10,4.2)
\pspolygon[linewidth=1.3pt,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0.5)(7.5,0.5)(9.1,1.8)(9.1,2.6)(7.5,4)(0.5,4)%HGEDBA
\psline(7.5,0.5)(9.1,0.5)(9.1,4)(7.5,4)
\uput[dl](0.5,0.5){H}\uput[d](7.5,0.5){G}\uput[r](9.1,1.8){E}\uput[r](9.1,2.6){D}
\uput[u](7.5,4){B}\uput[ul](0.5,4){A}\uput[dr](9.1,0.5){F}\uput[ur](9.1,4){C}
\rput(8.3,4){|}\rput(8.3,0.5){|}\rput{90}(9.1,3.3){|}\rput{90}(9.1,3.4){|}
\rput{90}(9.1,1){|}\rput{90}(9.1,1.1){|}
\end{pspicture}
\end{center}


\textbf{Données :}

\smallskip

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]le quadrilatère ACFH est un rectangle;
\item[$\bullet~~$]le point B est sur le côté [AC] et le point G est sur le côté [FH] ;
\item[$\bullet~~$]les points D et E sont sur le côté [CF] ;
\item[$\bullet~~$]AC $= 10$ m; AH $= 4$ m ; BC = FG $= 2$ m ; CD = EF $= 1,5$ m.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

\textbf{Question :}

Calculer la longueur de la frise.

\bigskip

\textbf{2\up{e} partie}

\smallskip

La personne décide d'installer, au-dessus de la piscine, une grande voile d'ombrage
qui se compose de deux parties détachables reliées par une fermeture éclair comme
le montre le schéma ci-dessous qui n'est pas à l'échelle.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0.7)(12,8.9)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,4.5)(6.4,4.5)(8,5.5)(8,7)(6.4,8)(0,8)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](0.5,0.5)(8.4,1)(1,8.5)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0.66,3.9)(5.5,4)
\uput[dl](0.5,0.5){M}\uput[dr](8.4,1){O}\uput[u](1,8.5){K}
\uput[l](0.65,3.9){L}\uput[r](5.7,4){N}
\rput(9.5,7.5){Piscine}\psline{->}(8.8,7.4)(7.5,6)
\rput(9,3){2 parties du voile d'ombrage}
\psline{->}(6.8,3)(5.7,1.5)
\psline{->}(6.8,3.2)(3,5)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Données :}

\smallskip

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]la première partie couvrant une partie de la piscine est représentée par le
triangle KLN ;
\item[$\bullet~~$]la deuxième partie est représentée par le trapèze LMON de bases [LN] et [MO] ;
\item[$\bullet~~$]la fermeture éclair est représentée par le segment [LN] ;
\item[$\bullet~~$]les poteaux, soutenant la voile d'ombrage positionnés sur les points K, L et M, sont alignés;
\item[$\bullet~~$]les poteaux, soutenant la voile d'ombrage positionnés sur les points K, N et O,
sont alignés;
\item[$\bullet~~$]KL $= 5$ m ; LM $= 3,5$ m ; NO $= 5,25$ m ; MO $= 10,2$ m.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

\textbf{Question :}

Calculer la longueur de la fermeture éclair.

\vfill

\textbf{18GENMATPO1 \hfill Page 5 sur 5}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE}

\medskip

\textbf{À détacher du sujet et à joindre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3 question 2}

\medskip

\psset{xunit=0.225cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(49,150)
\multido{\n=0+2}{25}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,150)}
\multido{\n=0+20}{8}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(49,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(49,150)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=20](0,0)(0,0)(49,150)
\uput*[u](41,0){Nombre de magazines}
\uput*[r](0,145){Coût en euros}
\psline(40,150)
\psline(0,130)(49,130)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{48}{2.25 x mul 30 add}
\uput[d](30,95){(D$_1$)} \uput[u](30,130){(D$_2$)} \uput[u](30,112){(D$_3$)} 
\end{pspicture}
\end{center}




%{{{ Correction

\newpage


\centerline{\Huge Correction}

\bigskip

\centerline{\Large Polynésie - Septembre 2018 - Mathématiques}

\vspace{1cm}

\textit{Ce document est une correction commentée du sujet de brevet. Les commentaires ne font pas partie de la rédaction demandée lors de l'épreuve. Pour certains exercices plusieurs solutions sont proposées. Au brevet une seule solution est demandée et parfois même sans justification quand c'est précisé dans le sujet !}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1} : quatre affirmations

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Probabilités
\item Puissances
\item Arithmétique
\item Pourcentage
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

\textbf{Affirmation 1} Quand on lance un dé équilibré les issues sont équiprobables. Les diviseurs de $6$ parmi les nombres écrits sur les faces du dé sont $1$, $2$ et $3$. 

Il y a donc $3$ chances sur $6$ soit $1$ chance sur $2$ d'obtenir un diviseur de $6$.

\bigskip

\fbox{Affirmation 1 est fausse.}

\bigskip

\textbf{Affirmation 2} On peut utiliser deux méthodes.

$a=3^4\times 7=567$ et $b=2 \times 3^5 \times 7=3~402$

Or $3~402 \div 567=6$ d'où $b=6\times a$

\bigskip

Méthode plus experte :

$b=2\times 3^5 \times 7=2 \times 3^4 \times 3 \times 7=2 \times 3 \times 3^4 \times 7=6a$

\bigskip

\fbox{$b$ est un multiple de $a$, l'affirmation 2 est vraie.}

\bigskip

\textbf{Affirmation 3} Une nouvelle fois il y a deux méthodes.

$98~800-76~000=22~800$ or $76~000 \times \dfrac{30}{100}=22~800$

C'est bien une augmentation de $30~\%$

On aurait également pu vérifier que $\dfrac{22~800}{76~000}=0,30$.

\bigskip

Méthode plus experte :

$\dfrac{98~800}{76~000}=1,30=1+0,30=1+\dfrac{30}{100}$

\bigskip

\fbox{L'affirmation 3 est vraie.}

\bigskip

\textbf{Affirmation 4} L'énoncé est un peu compliqué !

Si ce que dit B est vrai, alors A a dépensé $54$~\euro$~+25$~\euro~$=79~$\euro.

B par contre a dépensé $25~$\euro~$\times 3=75$~\euro.

\bigskip

\fbox{B a donc tord ! }

Dans cet exercice, il est impossible de déterminer le prix du pull !!

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2} : l'Euro 2016

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Lecture de tableau
\item Moyenne
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

\textbf{1.} La France a gagné le 8 mars 1978, le 23 juin 1984, le 24 janvier 1996, le 25 avril 2001 et le 11 octobre 2014.

\bigskip

\fbox{La France a gagné 5 fois contre le Portugal.}

\bigskip

\textbf{2.} Sur les treize rencontres, la France a gagné 5 fois. $\dfrac{5}{13} \approx 0,384$.

\bigskip

\fbox{La France a gagné dans $38~\%$ des rencontres.}

\bigskip

\textbf{3.} Si on reprend le nombre de but par match dans l'ordre chronologique, on obtient la série statistique suivante :

$$3~;~2~;~2~;~3~;~5~;~5~;~2~;~3~;~4~;~1~;~3~;~1~;~1$$

\bigskip

La moyenne du nombre de buts est : $\dfrac{3+2+2+3+5+5+2+3+4+1+3+1+1}{13}=\dfrac{35}{13} \approx 2,69$

\bigskip

\fbox{La moyenne du nombre de buts par match est $2,7$.}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3} : le magazine sportif

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Fonctions
\item Fonction linéaire
\item Fonction affine
\item Lecture graphique
\item Équation
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

\textbf{1.} La formule A correspond à une fonction du type $f(x)=3,75x$. C'est une fonction linéaire. Sa représentation est donc une droite qui passe par l'origine. On peut aussi se dire que le prix de l'abonnement est proportionnel au nombres de magazines reçu.

La représentation graphique de la formule A est donc la droite $(D_3)$.

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La formule B correspond à une fonction du type $g(x)=130$. C'est une fonction constante. Sa représentation graphique est donc une droite horizontale qui passe par les points d'ordonnées $130$.

La représentation graphique de la formule B est donc la droite $(D_2)$

\bigskip

La formule C correspond à une fonction du type $h(x)=2,25x+30$. C'est une fonction affine. Sa représentation graphique est donc une droite. Pour $x=0$ $h(x)=30$. Cette droite doit passer par le point d'abscisse $0$ et d'ordonnée $30$.

La représentation graphique de la formule C est donc bien la droite restante $(D_1)$.

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On pouvait aussi choisir un nombre de magazines et vérifier sur le graphique les valeurs obtenues pour chaque formule. En prenant $O$ magazine, on arrive assez vite au résultat ci-dessus.

\bigskip

\textbf{2.}  


\begin{center}
\psset{xunit=0.225cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(49,150)
\multido{\n=0+2}{25}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,150)}
\multido{\n=0+20}{8}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(49,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(49,150)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=20](0,0)(0,0)(49,150)
\uput*[u](41,0){Nombre de magazines}
\uput*[r](0,145){Coût en euros}
\psline(40,150)
\psline(0,130)(49,130)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{48}{2.25 x mul 30 add}
\uput[d](30,95){(D$_1$)} \uput[u](30,130){(D$_2$)} \uput[u](30,112){(D$_3$)} 
\psline[linestyle=dashed](16,0)(16,60)(0,60)
\psline[linestyle=dashed](0,120)(40,120)(40,0)
\psline[linestyle=dashed](0,100)(48,100)
\psline[linestyle=dashed](31,100)(31,0)
\end{pspicture}
\end{center}


\textbf{2.a} \fbox{Pour 16 magazines avec la formule A on paye $60$~\euro.}

\bigskip

\textbf{2.b} \fbox{Pour 120~\euro on peut avoir 40 magazines avec la formule C.}

\bigskip

\textbf{2.c} \fbox{Si on ne veut pas dépasser 100~\euro il faut prendre la formule C qui permet d'avoir 31 magazines.}

\bigskip

\textbf{3.} Graphiquement on observe que la formule A est la plus rentable jusqu'à ce qu'elle soit égale à la formule C. Ensuite la formule C est avantageuse jusqu'à ce qu'elle atteigne le prix de 130~\euro.

Nous allons résoudre les équations qui correspondent aux abscisses des intersections des droites.

\bigskip

$(D_1)$ et $(D_3)$ se rencontrent quand les formules A et C sont égales.

$$3,75x=2,25x+30$$
$$3,75x-2,25x=30$$
$$1,5x=30$$
$$x=\dfrac{30}{1,5}$$
$$x=20$$

De plus pour $x=20$ on a $3,75\times 20=75$

\bigskip

$(D_3)$ et $(D_2)$ se rencontrent quand les formules C et B sont égales.

$$2,25x+30=130$$
$$2,25x=130-30$$
$$2,25x=100$$
$$x=\dfrac{100}{2,25}$$
$$x\approx 44,44$$

\bigskip

Bilan : il faut choisir la formule A entre 0 et 20 magazines. Entre 21 et 44 magazines la formule C est plus rentable. À partir de 45 magazines il faut privilégier la formule B.

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 4} : le roller

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Longueur
\item Périmètre
\item Vitesse
\end{itemize}
}

\normalsize

\textbf{1.} Le parcours du garçon ne pose aucun problème : il mesure $200~m$.

Le parcours de la fille est constitué de deux demi-cercle de rayon $5~m$, soit un cercle entier, et de trois portions rectilignes de $60~m$.

Le parcours pour les filles mesure donc : $2\pi \times 5~m+3\times 60~m=(10\pi+180)~m \approx 211,4~m$.

\bigskip

\fbox{Le parcours de la fille est le plus long.}

\bigskip

\textbf{2.} On peut calculer la vitesse chacun en mètre par seconde.

Pour le garçon : $200~m \div 28~s \approx 7,14~m/s$

Pour la fille : $211,4~m \div 28,5~s \approx 7,41m/s$

\bigskip

\fbox{La fille est plus rapide que le garçon.}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 5} : les ballons de basket

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Périmètre
\item Théorème de Pythagore
\item Théorème de Thalès
\end{itemize}
}

\normalsize

\textbf{1.} Pour le ballon français de rayon $r$ on sait que :

$$4\pi r^2=1~950$$
$$r^2=\dfrac{1~950}{4\pi}$$

Comme $r>0$ on a :

$$r=\sqrt{\dfrac{1~950}{4\pi}}$$
$$r \approx 12,46$$

\bigskip

Le ballon du collégien français a un diamètre d'environ $2\times 12,46~cm=24,92~cm$

\bigskip

\fbox{Le ballon du collégien français n'est pas conforme.}

\bigskip

\textbf{2.} Le ballon anglais a un diamètre $D \approx 9,5~inch$ et $1~inch=2,54~cm$.

$D \approx 9,5 \times 2,54~cm \approx 24,13~cm$

\bigskip

\fbox{Le ballon anglais est conforme.}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 6} : Scratch et le vélo de piscine

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Scratch
\item Programme de calcul
\item Inéquation
\end{itemize}
}

\normalsize

\textbf{1.} Cette personne veut faire deux séances par semaine.

$2 \times 10 \times 15~$\euro~$=300~$\euro.

\bigskip

\fbox{10 semaines coûtent bien $300~$\euro.}

\bigskip

\textbf{2.} Ce programme utilise une variable $x$ qui correspond au nombre de semaines. Il commence à 0 semaine et ajoute 1 tant que le prix est inférieur à $999~$\euro. Le programme affiche le dernier $x$ obtenu.

\bigskip

\fbox{Ce programme donne le nombre de semaines pour que l'achat du vélo soit rentabilisé.}

\bigskip

\textbf{3.} Nous allons résoudre le problème résolu par Scratch à la question \textbf{2.}. Soit donc à résoudre l'inéquation :

$$2\times x \times 15>999$$
$$30x>999$$
$$x>\dfrac{999}{30}$$
$$x>33,3$$

\bigskip

\fbox{L'achat du vélo est rentabilisé à partir de $34$ semaines.}


\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 7} : Le carrelage et la piscine

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Scratch
\item Programme de calcul
\item Inéquation
\end{itemize}
}

\normalsize

\textbf{1\ier partie}

On connaît déjà certaines longueurs : $AB=AC-BC=10~m-2~m=8~m$ de même $HG=8~m$.

$AH=4~m$. $DE=AH-CD-EF=4~m-1,5~m-1,5~m=1~m$.

Reste à calculer $EG$ et $BD$.

Les triangles $BDC$ et $EGF$ sont rectangles et superposables. Ainsi $BD=EG$.

\bigskip

Dans le triangle $BDC$ rectangle en $C$ (car ACFH est un rectangle), d'après \textbf{le théorème de Pythagore} on a :

$$CB^2+CD^2=BD^2$$
$$2^2+1,5^2=BD^2$$
$$4+2,25=BD^2$$
$$BD^2=6,25$$
$$BD=\sqrt{6,25}$$
$$BD=2,5$$

\bigskip

Calculons la longueur de la frise : $AB+BD+DE+EG+GH+HA=8~m+2,5~m+1~m+2,5~m+8~m+4~m=26~m$

\bigskip

\fbox{La frise mesure $26~m$.}

\bigskip

\textbf{2\up{nd} partie}

$LMON$ est un trapèze, les droites $(LN)$ et $(MO)$ sont donc parallèles.

\bigskip

Dans le triangle $KMO$, les droites $(LN)$ et $(MO)$ sont parallèles.

D'après \textbf{le théorème de Thalès} on a :

$$\dfrac{KL}{KM}=\dfrac{KN}{KO}=\dfrac{LN}{MO}$$

$$\dfrac{5}{5+3,5}=\dfrac{KN}{KN+5,25}=\dfrac{LN}{10,2}$$

$$\dfrac{5}{8,5}=\dfrac{LN}{10,2}$$

On en déduit que $LN=\dfrac{5 \times 10,2}{8,5}=6$

\bigskip

\fbox{La fermeture éclair mesure $6~m$.}

%}}}





\end{document}
