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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\pagestyle{empty}
    
%{{{ Le sujet

\newpage

\centerline{\textbf{\Huge DIPL\^OME NATIONAL DU BREVET}}

\bigskip

\centerline{\Huge SESSION 2018}

\vspace{2cm}

\fbox{
\fbox{
\begin{minipage}{16cm}
\vspace{1cm}

\centerline{\textbf{\Huge MATHÉMATIQUES}}

\vspace{1cm}

\centerline{\LARGE Série générale}

\vspace{2cm}

\centerline{Durée de l'épreuve : 2h00 \hspace{9cm} 100 points}

\vspace{0.5cm}

\end{minipage}
}
}

\begin{center}
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.

Ce sujet comporte 5 pages numérotées de la \textbf{page 1 sur 7} à la \textbf{page 7 sur 7}.

\vspace{1cm}

L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.

\vspace{1cm}

Le sujet est constitué de 7 exercices indépendants.

Le candidat peut les traiter dans l'ordre qui lui convient.

\vspace{1cm}

\begin{tabular}{|p{5cm}|c|}
\hline
Exercice \no 1		&	20 points	\\
\hline
Exercice \no 2		&	11 points	\\
\hline
Exercice \no 3		&	13 points	\\
\hline
Exercice \no 4		&	17 points	\\
\hline
Exercice \no 5		&	15 points	\\
\hline
Exercice \no 6		&	12 points	\\
\hline
Exercice \no 7		&	12 points	\\
\hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}

\fbox{
\begin{minipage}{18cm}
L'évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus largement, la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches engagées, même non aboutis.
\end{minipage}
}
\end{center}

\vfill

\textbf{18GENMATAN1 \hfill Page 1 sur 7}

\newpage

\textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On s'intéresse à une course réalisée au début de l'année 2018. Il y a $80$ participants, dont $32$ femmes et $48$ hommes.

Les femmes portent des dossards rouges numérotés de 1 à 32. Les hommes portent des dossards verts numérotés de 1 à 48.

Il existe donc un dossard \no 1 rouge pour une femme, et un dossard \no 1 vert pour un homme, et ainsi de suite ...

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le pourcentage de femmes participant à la course ?
\item Un animateur tire au hasard le dossard d'un participant pour remettre un prix de consolation.

	\begin{enumerate}
	\item Soit l'évènement $V$ : \og Le dossard est vert \fg. Quelle est la probabilité de l'évènement $V$?
	\item Soit l'évènement $M$ : \og Le numéro du dossard est un multiple de 10 \fg. Quelle est la probabilité de l'évènement $M$ ?
	\item L'animateur annonce que le numéro du dossard est un multiple de $10$. Quelle est alors la probabilité qu'il appartienne à une femme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\begin{multicols}{2}

À l'issue de la course, le classement est affiché ci-contre.

\textbf{On s'intéresse aux années de naissance des 20 premiers coureurs.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a rangé les années de naissance des coureurs dans l'ordre croissant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
1959&1959&1960&1966&1969\\
1970&1972&1972&1974&1979\\
1981&1983&1986&1988&1989\\
1993&1997&1998&2002&2003\\
\end{tabularx}

Donner la médiane de la série.

\item La moyenne de la série a été calculée dans la cellule B23.

Quelle formule a été saisie dans la cellule B23 ?

\item Astrid remarque que la moyenne et la médiane de cette série sont égales.

Est-ce le cas pour n'importe quelle autre série statistique ?

Expliquer votre réponse.
\end{enumerate}

\columnbreak

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{X|}}\hline
 	&A 			&B\\ \hline
1 	&\footnotesize Classement &\footnotesize Année de naissance\\ \hline
2 	&1 			&1983\\ \hline
3 	&2 			&1972\\ \hline
4 	&3 			&1966\\ \hline
5 	&4 			&2003\\ \hline
6 	&5 			&1986\\ \hline
7 	&6 			&1972\\ \hline
8 	&7 			&1979\\ \hline
9 	&8 			&1997\\ \hline
10 	&9 			&1959\\ \hline
11 	&10 		&1981\\ \hline
12 	&11 		&1970\\ \hline
13 	&12 		&1989\\ \hline
14 	&13 		&1988\\ \hline
15 	&14 		&1959\\ \hline
16 	&15 		&1993\\ \hline
17 	&16 		&1974\\ \hline
18 	&17 		&1960\\ \hline
19 	&18 		&1998\\ \hline
20 	&19 		&1969\\ \hline
21 	&20 		&2002\\ \hline
22	&			&\\ \hline
23 	&moyenne		& 1980\\ \hline
\end{tabularx}

\end{multicols}

\vfill

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre $588$ peut se décomposer sous la forme $588 = 2^2 \times  3 \times 7^2$.
Quels sont ses diviseurs premiers, c'est-à-dire les nombres qui sont à la fois des nombres premiers et des diviseurs de $588$ ?

\item 
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer la décomposition en facteurs premiers de \np{27000000}.
	\item Quels sont ses diviseurs premiers ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer le plus petit nombre entier positif impair qui admet trois diviseurs premiers différents. Expliquer votre raisonnement.
\end{enumerate}

\vfill

\textbf{18GENMATAN1 \hfill Page 2 sur 7}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 13 points}

\bigskip

\parbox{0.55\linewidth}{Après un de ses entraînements de course à pied, Bob reçoit de la part de son entraineur le récapitulatif de sa course, reproduit ci-contre.

L'\textbf{allure} moyenne du coureur est le quotient de la durée de la course par la distance parcourue et s'exprime en min/km.

\smallskip

Exemple : si Bob met 18~min pour parcourir 3~km, son allure est de 6 min/km.}
\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(9.5,3.8)
\psframe(9.5,3.8)
\rput(3.6,3.2){Entrainement course à pied}
\rput(1.5,2.6){\textbf{10,5 km}} \rput(4.2,2.6){\textbf{1 h 03 min}} \rput(7.3,2.6){\textbf{6 min/km}}
\rput(1.5,2.1){Distance} \rput(4.2,2.1){Durée} \rput(7.3,2.1){Allure moyenne}
\rput(3.2,1){\textbf{851}}\rput(6.4,1){\textbf{35 m}}
\rput(3.2,0.5){Calories}
\rput(6.4,0.5){Gain altitude}
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item Bob s'étonne de ne pas voir apparaître sa vitesse moyenne. Calculer cette vitesse moyenne en km/h.

\item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x > 0$ par $f(x) = \dfrac{60}{x}$, où $x$ est l'allure en min/km et $f(x)$ est la vitesse en km/h.

Cette fonction permet donc de connaître la vitesse (en km/h) en fonction de l'allure (en min/km).
	\begin{enumerate}
	\item La fonction $f$ est-elle une fonction linéaire ? Justifier.
	\item Lors de sa dernière course, l'allure moyenne de Bob était de 5 min/km.
		
Calculer l'image de 5 par $f$. Que représente le résultat obtenu ?
	\end{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes en utilisant la représentation graphique de la fonction $f$ ci-dessous:
	\begin{enumerate}
		\item Donner un antécédent de $10$ par la fonction $f$.
		\item Un piéton se déplace à environ $14$~min/km. Donner une valeur approchée de sa vitesse en km/h.
\begin{center}
\psset{unit=0.3cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-1,-3)(36,34)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(36,32)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(36,32)
\uput[u](35.5,0){$x$}\uput[r](0,31.5){$y$}
\uput[r](0,33){Vitesse en km/h}
\uput[d](32,-2){Allure en min/km}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.9}{32}{60 x div}
\psline[ArrowInside=->](0,10)(6,10)(6,0)
\psline[ArrowInside=->](14,0)(14,4.285)(0,4.285)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vfill

\textbf{18GENMATAN1 \hfill Page 3 sur 7}

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 17 points}

\medskip

Les abeilles ouvrières font des allers-retours entre les fleurs et la ruche pour transporter le nectar et le pollen des fleurs qu'elles stockent dans la ruche.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une abeille a une masse moyenne de $100$ mg et rapporte en moyenne $80$ mg de charge (nectar, pollen) à chaque voyage.
Un homme a une masse de $75$ kg. S'il se chargeait proportionnellement à sa masse, comme une abeille, quelle masse cet homme transporterait-il ?

\item Quand elles rentrent à la ruche, les abeilles déposent le nectar récolté dans des alvéoles.

On considère que ces alvéoles ont la forme d'un prisme de $1,15$~cm de hauteur et dont la base est un hexagone d'aire $23$ mm$^2$ environ, voir la figure ci-dessous.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le volume d'une alvéole de ruche est égal à $264,5$ mm$^3$.

\begin{center}\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(14,5)
\pspolygon(3,2.8)(4.8,2.8)(5.8,3.9)(4.85,5.1)(3.05,5.1)(2.1,3.9)
\psline(2.1,1.3)(3,0)(4.8,0)(5.8,1.3)
\psline(2.1,3.9)(2.1,1.3)
\psline(3,2.8)(3,0)
\psline(4.8,2.8)(4.8,0)
\psline(5.8,3.9)(5.8,1.3)
\psline{<->}(1.9,1.3)(1.9,3.9)
\uput[l](1.9,2.6){\footnotesize 1,15 cm}
\psline[linestyle=dashed](2.1,1.3)(3.05,2.3)(4.85,2.3)(5.8,1.3)
\psline[linestyle=dashed](3.05,2.3)(3.05,5.1)
\psline[linestyle=dashed](4.85,2.3)(4.85,5.1)
\pspolygon(10.2,1.5)(12,1.5)(12.9,3)(12,4.5)(10.2,4.5)(9.4,3)
\uput[u](11.1,4.5){Aire$_{\text{Base}} = 23$ mm$^2$}
\rput(11.1,0.3){Base hexagonale}
\end{pspicture}

\emph{Le volume d'un prisme est donné par la formule : V$_{\text{prisme}} =$ Aire$_{\text{Base}} \times $ Hauteur}
\end{center}

		\item L'abeille stocke le nectar dans son jabot. Le jabot est une petite poche sous l'abdomen d'un volume de $6 \times  10^{-5}$ litre. Combien de sorties au minimum l'abeille doit-elle faire pour remplir une alvéole ?

(rappel: 1 dm$^3$ = 1 litre)
	\end{enumerate}
\bigskip

\item Le graphique ci-dessous présente la production française de miel en 2015 et 2016.

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-3000)(4,12000)
\rput(2.1,11500){\large \textbf{Production française de miel en 2015 et 2016 (en tonnes)}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2000](0,0)(0,0)(4,12000)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=orange](0.2,0)(0.5,6057)\rput(0.35,3000){\small \np{6057}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=orange](1.2,0)(1.5,2587)\rput(1.35,1300){\small \np{2587}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=orange](2.2,0)(2.5,6379)\rput(2.35,3200){\small \np{6379}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=orange](3.2,0)(3.5,9201)\rput(3.35,4600){\small \np{9201}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0)(0.8,3965)\rput(0.65,2000){\small \np{3965}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,0)(1.8,1869)\rput(1.65,900){\small \np{1869}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.5,0)(2.8,4556)\rput(2.65,2300){\small \np{4556}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.5,0)(3.8,5709)\rput(3.65,2850){\small \np{5709}}
\rput(1.5,10000){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=orange](-0.1,-200)(0.3,700) 2015}
\rput(2.5,10000){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-0.1,-200)(0.3,700) 2016}
\rput(0.5,-500){possédant}\rput(0.5,-1100){au plus 49}\rput(0.5,-1600){ruches}
\rput(1.5,-500){possédant}\rput(1.5,-1100){de 50 à 149}\rput(1.5,-1600){ruches}
\rput(2.5,-500){possédant}\rput(2.5,-1100){150 à 399}\rput(2.5,-1600){ruches}
\rput(3.5,-500){possédant}\rput(3.5,-1100){au moins}\rput(3.5,-1600){400 ruches}
\rput(1.5,-2400){\emph{Source : Observatoire de la production de miel et gelée royale
FranceAgriMer 2017}}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la quantité totale de miel (en tonnes) récoltée en 2016.
		\item Sachant que la quantité totale de miel récoltée en 2015 est de \np{24224} tonnes, calculer le pourcentage de baisse de la récolte de miel entre 2015 et 2016.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vfill

\textbf{18GENMATAN1 \hfill Page 4 sur 7}

\newpage


\textbf{Exercice 5 \hfill 15 points}

\medskip

\parbox{0.7\linewidth}{Sam a écrit le programme ci-dessous qui permet de tracer un rectangle comme ci-contre.

Ce programme comporte deux variables (Longueur) et (Largeur) qui représentent les dimensions du rectangle.

On rappelle que l'instruction \begin{scratch} \blockmove{s'orienter à \ovalnum{90\selectarrownum} degrés} \end{scratch} signifie que l'on s'oriente vers la droite.
}\hfill
\parbox{0.25\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(5.6,3.3)
\psframe(0.5,0.3)(5.6,3.3)
\rput(0.5,0.1){\footnotesize Départ}
\end{pspicture}
}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
Script&bloc rectangle\\ \hline
\begin{scratch}
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockpen{effacer tout}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Longueur} à \txtbox{50}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Largeur} à \txtbox{30}}
\blockmove{aller à x: \ovalnum0 y: \ovalnum0}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90\selectarrownum}}
\blockmoreblocks{rectangle}
\end{scratch}&\begin{scratch} 
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{rectangle}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{\ldots} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalnum{\ldots\ldots}}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ldots degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{\ldots\ldots}}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ldots degrés}
}
\end{scratch}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le bloc rectangle ci-dessus avec des nombres et des variables pour que le script fonctionne.
On recopiera et on complétera uniquement la boucle répéter sur sa copie.
\item Lorsque l'on exécute le programme, quelles sont les coordonnées du point d'arrivée et dans quelle direction est-on orienté?
\item Sam a modifié son script pour tracer également l'image du rectangle par l'homothétie de centre le point de coordonnées (0~;~0) et de rapport 1,3.

\parbox{0.45\linewidth}{
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le nouveau script de Sam donné ci-contre afin d'obtenir la figure ci-dessous. On recopiera et on complètera sur sa copie les lignes 9 et 10 ainsi que l'instruction manquante en ligne 11.

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6.5,4)
\psframe(6.5,3.9)
\psframe(5,3)
\uput[dl](0,0){\small Départ}
\end{pspicture}
\end{enumerate}
}\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\begin{scratch}
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockpen{effacer tout}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Longueur} à \txtbox{50}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Largeur} à \txtbox{30}}
\blockmove{aller à x: \ovalnum0 y: \ovalnum0}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90\selectarrownum}}
\blockmoreblocks{rectangle}
\blockcontrol{attendre \ovalnum{3} secondes}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Longueur} à \ovaloperator{\ovalvariable{Longueur} x \ovalnum{\ldots}} }
\blockvariable{mettre \selectmenu{Largeur} à \ovaloperator{\ovalvariable{\ldots } x \ovalnum{\ldots}} }
\setscratch{print=true}
\blockmoreblocks{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}
\end{scratch}
}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
		\item[\textbf{b.}] Sam exécute son script. Quelles sont les nouvelles valeurs des variables Longueur et Largeur à la fin de l'exécution du script?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vfill

\textbf{18GENMATAN1 \hfill Page 5 sur 7}

\newpage

\textbf{Exercice 6 \hfill 12 points}

\medskip

La figure ci-dessous donne un schéma d'un programme de calcul.

\psset{xunit=1cm,yunit=0.85cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(13,12)
\psframe(13,12)
\rput(6.5,11.2){Choisir un nombre}
\psline{->}(6.5,11)(6.5,10.7)
\psframe(4.1,10.7)(8.9,9.7)
\psline{->}(6.5,9.7)(3.7,8.8)\psline{->}(6.5,9.7)(9.3,8.8)
\rput(2.5,8.5){Calculer son double}\psline{->}(2.5,8.4)(2.5,8.1)
\rput(10.3,8.5){Calculer son triple}\psline{->}(10.5,8.4)(10.5,8.1)
\psframe(0.5,8.1)(4.5,7.1)\psframe(8.5,8.1)(12.5,7.1)
\psline{->}(2.5,7)(2.5,6.7)  \psline{->}(10.5,7)(10.5,6.7)
\rput(2.5,6.5){Soustraire 5}\rput(10.5,6.5){Ajouter 2}
\psline{->}(2.5,6.3)(2.5,6)\psline{->}(10.5,6.3)(10.5,6)
\psframe(0.5,6)(4.5,5)\psframe(8.5,6)(12.5,5)
\psline{->}(2.5,5)(6.5,2.4)\psline{->}(10.5,5)(6.5,2.4)
\rput(6.5,3.7){Multiplier les deux}
\rput(6.5,3.4){nombres obtenus}
\psline{->}(6.5,2.4)(6.5,2.1)
\psframe(4.5,2.1)(8.5,1.1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~Si le nombre de départ est 1, montrer que le résultat obtenu est $-15$.
\item ~Si on choisit un nombre quelconque $x$ comme nombre de départ, parmi les expressions suivantes, quelle est celle qui donne le résultat obtenu par le programme de calcul ? Justifier.
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$A = \left(x^2 - 5\right) \times  (3x + 2)$ &$B = (2x - 5) \times (3x + 2)$ &$C = 2x - 5 \times 3x + 2$
\end{tabularx}

\item Lily prétend que l'expression $D = (3x + 2)^2 - (x + 7)(3x + 2)$ donne les mêmes résultats que l'expression $B$ pour toutes les valeurs de $x$.

L'affirmation de Lily est-elle vraie ? Justifier.

\end{enumerate}

\vfill

\textbf{Exercice 7 \hfill 12 points}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Pour la course à pied en montagne, certains sportifs mesurent leur performance par la \textbf{vitesse ascensionnelle}, notée $V_a$.

$V_a$ est le quotient du dénivelé de la course, exprimé en mètres, par la durée, exprimée en heure.} \hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(10,5.5)
\pspolygon(0.5,0.5)(6.7,0.5)(6.7,4.6)%ABC
\psframe(6.7,0.5)(6.2,1)
\psline{<->}(6.9,0.5)(6.9,4.6)
\uput[d](0.5,0.5){A}\uput[d](6.7,0.5){B}\uput[ur](6.5,4.6){C}
\rput(2.8,0.9){angle de pente}
\uput[r](6.9,2.9){\footnotesize dénivelé}
\uput[r](6.9,0.5){\footnotesize altitude de départ}
\uput[r](6.9,4.6){\footnotesize altitude d'arrivée}
\psarc(0.5,0.5){0.5}{0}{30}
\rput(5,0){Figure 1}
\end{pspicture}}


\vfill

\textbf{18GENMATAN1 \hfill Page 6 sur 7}

\newpage

Par exemple: pour un dénivelé de \np{4500} m et une durée de parcours de 3 h : $V_a = \np{1500}$ m/h.

Rappel: le dénivelé de la course est la différence entre l'altitude à l'arrivée et l'altitude au départ.

\medskip

Un coureur de haut niveau souhaite atteindre une vitesse ascensionnelle d'au moins \np{1400} m/h lors de sa prochaine course.

\begin{center}
\emph{La figure ci-dessous n'est pas représentée en vraie grandeur.}

\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(20.5,8)
%\psgrid
\psline(0,1.3)(20,1.3)
\psline(8.8,1.3)(8.8,2.25)(15.6,2.25)(15.6,5.2)%EFGH
\uput[dl](1.9,1.3){D}\uput[ur](15.6,5.2){H}
\uput[d](15.6,2.25){G}\uput[ul](8.9,2.45){F}\uput[dr](8.9,1.3){E}
\psline{<->}(1.9,1)(8.8,1)
\psline(1.9,1.3)(8.8,2.25)(15.6,5.2)%DFH
\psframe(8.8,1.3)(8.3,1.8)
\psframe(15.6,2.25)(15.1,2.75)
\uput[r](16.1,5.2){\small Sommet}
\psline{<->}(16.1,1.3)(16.1,2.25)
\psline{<->}(16.1,5.2)(16.1,2.25)
\psline{<->}(2,1.5)(8.7,2.4)
\psline{<->}(8.7,2.5)(15.6,5.5)
\uput[r](16.1,3.7){\small dénivelé seconde étape}
\uput[u](1.1,1.3){\small Départ}
\uput[r](16.1,1.8){\small dénivelé première étape}
\uput[d](5.35,1.2){\small \np{3790} m}
\uput[u](5,2.1){\small \np{3800} m}
\uput[u](11.4,4.2){\small \np{4100} m}
\rput(10.25,0.1){Figure 2}
\psarc(1.9,1.3){1.3}{0}{10}
\psarc(8.8,2.25){1.3}{0}{25}
\rput(10.5,2.6){\small 12\degres}
\end{pspicture}
\end{center}

Le parcours se décompose en deux étapes (voir figure 2) :

\medskip

\setlength\parindent{12mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Première étape de \np{3800} m pour un déplacement horizontal de \np{3790} m.
\item[$\bullet~~$]Seconde étape de $4,1$ km avec un angle de pente d'environ $12$\degres.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que le dénivelé de la première étape est environ $275,5$ m.
\item Quel est le dénivelé de la seconde étape ?
\item Depuis le départ, le coureur met $48$ minutes pour arriver au sommet.
Le coureur atteint-il son objectif ?
\end{enumerate}

\vfill

\textbf{18GENMATAN1 \hfill Page 6 sur 7}

a%}}}

%{{{ Correction

\newpage


\centerline{\Huge Correction}

\bigskip

\centerline{\Large France - Septembre 2018 - Mathématiques}

\vspace{1cm}

\textit{Ce document est une correction commentée du sujet de brevet. Les commentaires ne font pas partie de la rédaction demandée lors de l'épreuve. Pour certains exercices plusieurs solutions sont proposées. Au brevet une seule solution est demandée et parfois même sans justification quand c'est précisé dans le sujet !}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1} : les dossards rouges et verts

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Pourcentages
\item Probabilités
\item Statistiques
\item Moyenne, médiane
\item Dispersion
\end{itemize}
}

\normalsize

\textbf{Partie 1}

\bigskip

\textbf{1.} Il y a $32$ femmes sur $80$ participants. La fréquence de femmes dans cette course est $\dfrac{32}{80}=0,40$ soit $40~\%$.

\bigskip

\fbox{$40~\%$ des participants à cette course sont des femmes.}

\bigskip

\textbf{2.a} Il y a $48$ dossards verts sur les $80$. Nous sommes dans une situation d'équiprobabilité, toutes les issues ont la même probabilité.

\bigskip

\fbox{La probabilité que le dossard soit vert est $\dfrac{48}{80}=0$}

\bigskip

\textbf{2.b} Les dossards rouges multiples de $10$ sont $10$, $20$ et $30$. Les dossards verts multiples de $10$ sont $10$, $20$, $30$ et$40$.

Il y a donc $7$ issues qui réalisent l'événement $M$ sur $80$ issues possibles.

\bigskip

\fbox{La probabilité de l'événement $M$ est $\dfrac{7}{80}=0,0875$ soit $8,75~\%$.}

\bigskip

\textbf{2.c} Il y a $7$ dossards multiples de $10$. $3$ de ces dossard appartiennent à des femmes.

\bigskip

\fbox{La probabilité de l'événement considéré est $\dfrac{3}{7} \approx 0,4286$ soit $42,86~\%$.}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\bigskip

\textbf{1.} Il y a $20$ participants dont on examine les années de naissance. La médiane se situe donc entre la dixième et onzième valeurs de cette série.

La dixième valeur est $1979$, la onzième est $1981$. 

\textit{Nous sommes dans une situation où l'effectif est pair. Toutes valeurs comprises entre 1979 et 1981 est une médiane de la série. On prend en général la moyenne arithmétique de 1979 et 1981. Le débat entre professeur de mathématiques est de savoir si la médiane est une valeur de la série statistique, ici une année de naissance. Par chance ici la moyenne de 1979 et 1981 est 1980 : une date possible de naissance, mais pas une valeur de la série. Je considère pour ma part que la médiane d'une série discrète est un valeur de la série, il y a donc deux réponses possibles 1979 et 1981. La moyenne arithmétique 1981 est certainement le résultat attendu ici. Mais dans ce cas tout nombre réel de l'intervalle $[1979;1981]$ est aussi une médiane.}

\bigskip

\fbox{La médiane de cette série est $1981$.} 

\bigskip

\textbf{2.} \fbox{$=(B2+B3+B4+B5+B6+B7+B8+B9+B10+B11+B12+B13+B14+B15+B16+B17+B18+B19+B20+B21)/20$}

\bigskip

\textit{Les expressions $=SOMME(B2:B21)/20$ et pourquoi pas $=MOYENNE(B2:B21)$ sont acceptées. Mais la connaissance des fonctions sophistiquées du tableur ne sont pas au programme.}

\bigskip

\textbf{3.} \fbox{En général la moyenne et la médiane d'une série statistique ne sont pas égales.}

\bigskip

La médiane montre la dispersion des données de la série statistique.

Il suffit de modifier quelques valeurs de la série pour changer la médiane sans modifier la moyenne.

Par exemple remplaçons $1979$, $1981$ et $1983$ par $1986$, $1986$ et $1986$. La médiane passe alors à $1986$. Pour maintenir la même moyenne il suffit d'enleer $15$ unités aux autres valeurs sans changer l'ordre. Par exemple en modifiant un des $1959$ en $1944$. Ainsi la moyenne reste à $1980$ et la médiane monte à $1986$.

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2} : arithmétique.

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Arithmétique
\item Décomposition en facteurs premiers
\end{itemize}
}

\normalsize

\bigskip

\textbf{1.} \fbox{Les nombres $2$, $3$ et $7$ sont les diviseurs premiers de $588$.}

\bigskip

\textbf{2.a} On peut utiliser deux méthodes.

\begin{multicols}{2}

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-3)(4,5)
\psline(3,-3)(3,5)
\rput(0,5){27~000~000} 		\rput(3.5,5){2}
\rput(0,4.5){13~500~000} 	\rput(3.5,4.5){2}
\rput(0,4){6~750~000} 		\rput(3.5,4){2}
\rput(0,3.5){3~375~000} 	\rput(3.5,3.5){2}
\rput(0,3){1~687~500} 		\rput(3.5,3){2}
\rput(0,2.5){843~750} 		\rput(3.5,2.5){2}
\rput(0,2){421~875} 		\rput(3.5,2){3}
\rput(0,1.5){140~625} 		\rput(3.5,1.5){3}
\rput(0,1){46~875} 		\rput(3.5,1){3}
\rput(0,0.5){15~625} 		\rput(3.5,0.6){5}
\rput(0,0){3~125} 		\rput(3.5,0){5}
\rput(0,-0.5){625} 		\rput(3.5,-0.5){5}
\rput(0,-1){125} 		\rput(3.5,-1){5}
\rput(0,-1.5){25}		\rput(3.5,-1.5){5}
\rput(0,-2){5}			\rput(3.5,-2){5}
\rput(0,-2.5){1}			
\end{pspicture}
\end{center}

Ouf !!

Donc $27~000~000=2\times 2 \times 2\times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$

$27~000~000=2^6 \times 3^3 \times 5^6$

\columnbreak

Une méthode plus experte.

\bigskip

$27~000~000=27 \times 1~000~000$

$27~000~000=3^3 \times 10^6$

$27~000~000=3^3 \times (2\times 5)^6$

$27~000~000=2^6 \times 3^3 \times 5^6$

\bigskip

\fbox{$27~000~000=2^6 \times 3^6 \times 5^6$}

\end{multicols}

\bigskip

\textbf{2.b} \fbox{Les diviseurs premiers de $27~000~000$ sont $2$, $3$ et $5$.}

\bigskip

\textbf{3.} Voici le début de la liste des nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$...

Nous souhaitons que notre nombre soit impair : il ne doit pas être divisible par $2$.

Il doit être le plus petit possible et être divisible par des nombres premiers différents.

\bigskip

\fbox{Le nombre $3\times 5 \times 7=105$ est le nombre cherché.}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3} : bilan de l'entraînement.

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Vitesse
\item Fonction, image, antécédent
\item Fonction linéaire
\item Lecture graphique
\end{itemize}
}

\normalsize

\textbf{1.} Son allure est de $6~min/km$ c'est à dire qu'il parcoure $1~km$ en $6~min$.

Comme $6~min \times 10=60~min$ on en déduit que sa vitesse est $1~km \times 10=10~km$ en une heure.

\bigskip

\textbf{Sa vitesse est $10~km/h$.}

\bigskip

Dans le cas général on aurait pu revenir à l'unité, c'est à dire à la distance parcourue en $1~min$. $1~km \div 6$. Puis on multiplie par $60$.

\bigskip

\textbf{2.a} $f(x)=\dfrac{60}{x}$

\bigskip

\fbox{Ce n'est pas une fonction linéaire : elle n'est pas sous la forme $ax$.}

\bigskip

\textbf{2.b} $f(5)=\dfrac{60}{5}=12$

\bigskip

\fbox{Une allure de $5~min$ au kilomètre correspond à une vitesse de $12~km/h$.}

\bigskip

\textbf{3.a} \fbox{Un antécédent de $10$ par $f$ est $6$.}

\bigskip

\textbf{3.b} \fbox{Sa vitesse est d'environ $4,3~km/h$.}

\bigskip

On peut vérifier en calculant $f(14)=\dfrac{60}{14} \approx 4,28$

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 4} : les abeilles.

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Proportionnalité
\item Unités de volume
\item Volume
\item Pourcentage
\end{itemize}
}

\normalsize

\textbf{1.} Le quotient charge transporté par rapport à la masse de l'abeille est $\dfrac{80~mg}{100~mg}=0,80$.

Une abeille peut donc transporter $80~\%$ de sa masse.

\bigskip

$75~kg \times \dfrac{80}{100}=60~kg$

\bigskip

\fbox{Un homme de $75~kg$ pourrait transporter $60~kg$.}

\bigskip

On pouvait aussi construire un tableau de proportionnalité :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
			&			&			\\
			&	Abeille		& Homme			\\
			&			&			\\
\hline
			&			&			\\
Masse			&	$100~mg$	&	$75~kg$		\\
			&			&			\\
\hline
			&			&			\\
Masse transportée	&	$80~mg$		&	$75~kg \times 80~mg \div 100~mg=60~kg$	\\
			&			&			\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\textbf{2.a} $V_prisme=23~mm^2 \times 1,15~cm=23~mm^2 \times 11,5~mm=264,5~mm^3$

\bigskip

\fbox{Le volume d'une alvéole est bien de $264,5~mm^3$.}

\bigskip

\textbf{2.b} Le jabot contient $6 \times 10^{-5}~L=6 \times 10^{-5}~dm^3$.

On sait que $1~dm^3=1~000~cm^3=1~000~000~mm^3=10^6~mm^3$.

Ainsi le jabot contient $6 \times 10^{-5} \times 10^6~mm^3=6 \times 10^1~mm^3=60~mm^3$. 

\bigskip

On pouvait aussi faire le calcul en décimal :

$6 \times 10^{-5}~L=0,000~06~L$ et $0,000~06~L=0,000~06 \times 1~000~000~mm^3=60~mm^3$

\bigskip

Comme une alvéole contient $264,5~mm^3$. $264,5~mm^3 \div 60~mm^3 \approx 4,41$.

\bigskip

\fbox{L'abeille doit faire au minimum $5$ sorties pour remplir une alvéole.}

\bigskip

\textbf{3.a} \fbox{En 2016 la production totale est : $3~965~t+1~869~t+4~556~t+5~709~t=16~099~t$.}

\bigskip

\textbf{3.b} On peut utiliser un tableau de proportionnalité :

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
			&			&			\\
En 2015			&	$24~224~t$	&	$100~\%$		\\
			&			&			\\
\hline
			&			&			\\
En 2016			&	$16~099~t$	&	$\dfrac{16~099}{24~224} \times 100 \approx 66,46~\%$	\\
			&			&			\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

La baisse a donc été de $100~\%-66,46~\%=33,54~\%$

\bigskip

On pouvait aussi calculer la fréquence $\dfrac{16~099}{24~224} \approx 0,6646$.

\bigskip

On pouvait enfin chercher le coefficient de réduction en posant :

$$24~224 \times k=16~099$$
$$k=\dfrac{16~099}{24~224}$$

\bigskip

\fbox{La pourcentage de baisse est de $33,54~\%$.}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 5} : Scratch

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Scratch
\item Rectangle
\item Homothétie
\end{itemize}
}

\normalsize

\textbf{1.} 

\begin{center}
 
\begin{scratch} 
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{rectangle}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalnum{Longueur}}
\blockmove{tourner \turnleft{} de 90 degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{Largeur}}
\blockmove{tourner \turnleft{} de 90 degrés}
}
\end{scratch}
\end{center}

\bigskip

\textbf{2.} \fbox{Les coordonnées du point d'arrivée sont $(0;0)$ et l'orientation est de $90~\degres$.}

\bigskip

\textbf{3.a} 

\begin{center}
\begin{scratch}
\blockvariable{mettre \selectmenu{Longueur} à \ovaloperator{\ovalvariable{Longueur} x \ovalnum{1,3}} }
\blockvariable{mettre \selectmenu{Largeur} à \ovaloperator{\ovalvariable{\ldots } x \ovalnum{1,3}} }
\blockmoreblocks{rectangle}
\end{scratch}
\end{center}

\bigskip

\textbf{3.b} \fbox{$Longueur=50 \times 1,3=65$ et $Largeur=30\times 1,3=39$}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 6} : Organigramme de calcul

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Programme de calcul
\item Calcul littéral
\end{itemize}
}

\normalsize

\textbf{1.} Le double de $1$ est $2$ puis $2-5=-3$.

Le triple de $1$ est $3$ puis $3+2=5$.

Enfin $-3 \times 5=-15$.

\bigskip

\fbox{En partant de $1$ on arrive à $-15$.}

\bigskip

\textbf{2.} En partant de $x$

Le double de $x$ est $2x$ puis $2x-5$.

Le triple de $x$ est $3x$ puis $3x+2$.

Enfin $(2x-5)(3x+2)$.

\bigskip

\fbox{C'est l'expression $B=(2x-5)(3x+2)$.}

\bigskip

\textbf{3.} Développons et réduisons les deux expressions :

\bigskip

\begin{multicols}{2}

$B=(2x-5)(3x+2)$

$B=6x^2+4x-15x-10$

$B=6x^2-11x-10$


\columnbreak

$D=(3x+2)^2-(x+7)(3x+2)$

$D=(3x+2)(3x+2)-(x+7)(3x+2)$

$D=9x^2+6x+6x+4-(3x^2+2x+21x+14)$

$D=9x^2+6x+6x+4-3x^2-2x-21x-14$

$D=6x^2-11x-10$

\end{multicols}

On pouvait aussi factoriser $D$

$D=(3x+2)(3x+2)-(x+7)(3x+2)$

$D=(3x+2)\left[(3x+2)-(x+7)\right]$

$D=(3x+2)(3x+2-x-7)$

$D=(3x+2)(2x-4)$

\bigskip

\fbox{L'affirmation de Lily est vraie.}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 7} : Organigramme de calcul

\bigskip

{\footnotesize

\textbf{Connaissances : }
\begin{itemize}
\item Théorème de Pythagore
\item Trigonométrie
\end{itemize}
}

\normalsize

\textbf{1.} Dans le triangle $FDE$ rectangle en $E$, d'après le \textbf{théorème de Pythagore} :

$$EF^2+ED^2=FD^2$$
$$EF^2+3~790^2=3~800^2$$
$$EF^2=3~800^2-3~790^2$$
$$EF^2=14~440~000-14~364~100$$
$$EF^2=75~900$$
$$EF=\sqrt{75~900}$$
$$EF \approx 275,5$$

\bigskip

\fbox{Le dénivelé lors de la première étape est d'environ $275,5~m$.}

\bigskip

\textbf{2.} Dans le triangle $DGH$ rectangle en $G$

$\sin 12\degres=\dfrac{HG}{4~100}$

$HG=4~100 \times \sin 12\degres \approx 852,4$

\bigskip

\fbox{Le dénivellé lors de la seconde étape est d'environ $852,4~m$.}

\bigskip

\textbf{3.} Le dénivellé total sur le parcours est de $275,5~m+852,4~m=1~127,9~m$

\bigskip

Il parcoure $1~127~m$ de dénivellé en $48~min$.

On peut revenir à l'unité : $1~127~m \div 48 \approx 23,48~m$

Puis $(1~127~m \div 48) \times 60=1408,75~m$

\bigskip

\fbox{Sa vitesse ascentionnelle est de $1408,75~m/h$ : il a atteint son obtectif !}

%}}}


\end{document}
