%{{{ Entêtes

\documentclass[11pt]{article}

\pagestyle{empty}

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\hypersetup{colorlinks,citecolor=black, filecolor=black, linkcolor=black, urlcolor=black}


\geometry{ verbose, a4paper, % a4
  tmargin=1cm, % Marge haute
  bmargin=1cm, % Marge basse
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  headheight=1cm, % Entête
  headsep=0cm, % Séparateur entête
  footskip=1cm % Pied de page
}

\setlength\parindent{0pt}% Halte à l'indentation

\psset{PointSymbol=+}


\newcommand{\x}{\times} %\renewcommand{\frac}{\dfrac}
\renewcommand{\(}{\left(} \renewcommand{\)}{\right)}
\renewcommand{\[}{\left[} \renewcommand{\]}{\right]}

\newcommand{\repere}{19GENMATAME}
\newcommand{\totalpage}{6}
\newcommand{\exa}{14} % Nombres de points de l'exercice 1
\newcommand{\exb}{17} % Nombres de points de l'exercice 2
\newcommand{\exc}{12} % Nombres de points de l'exercice 3
\newcommand{\exd}{10} % Nombres de points de l'exercice 4
\newcommand{\exe}{10} % Nombres de points de l'exercice 5
\newcommand{\exf}{12} % Nombres de points de l'exercice 6
\newcommand{\exg}{15} % Nombres de points de l'exercice 7
\newcommand{\exh}{10} % Nombres de points de l'exercice 8
\newcommand{\exi}{0} % Nombres de points de l'exercice 9
\newcommand{\exj}{3} % Nombres de points de l'exercice 10
\newcommand{\exk}{3} % Nombres de points de l'exercice 11
\newcounter{numeroexo} % Incrémente le numéro des exercices
\newcounter{numeropage} % Incrémente les numéros de pages

\newcommand{\exercice[1]}
{
	\stepcounter{numeroexo}
	\textbf{\large Exercice \thenumeroexo} \hspace{15cm} \textit{#1 points}
}

\newcommand{\sautdepage}
{
	\vfill
	\stepcounter{numeropage}
	\textbf{REPÈRE : \repere} \hfill \thenumeropage / \totalpage
	\newpage
}
%}}}

\begin{document}

%{{{ Sujet Brevet 2019 Amérique du Nord

%{{{ Page de présentation

\centerline{\huge Diplôme National du Brevet}

\vspace{1cm}

\centerline{\huge Sujet Amérique du Nord}

\vspace{1cm}

\centerline{\huge Mardi 4 juin 2019} 
\begin{center}

\vspace{1cm}

  \fbox{
      \begin{minipage}{16cm}

        \begin{center}
    
          \bigskip

          \centerline{\Huge Mathématiques}

          \vspace{0.8cm}

          \centerline{\large Série Générale}

          \bigskip

          \centerline{\large Durée de l'épreuve : 2 heures - 100 points}

          \bigskip

        \end{center}

\end{minipage}
}
\end{center}

\vspace{1cm}

\hspace{3cm} \textbf{\large Début de l'épreuve : 13h15} \hfill \textbf{\large Fin de l'épreuve : 15h15} \hspace{3cm}

\bigskip

\centerline{\textbf{Aucune sortie ne sera autorisée avant la fin de l'épreuve.}}

\bigskip

\centerline{\textbf{Aucun prêt de matériel n'est autorisé.}}


\vspace{0.8cm}

\centerline{Ce sujet comporte 6 pages numérotées de la page 1/6 à la page 6/6.}

\centerline{Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.}

\centerline{L'utilisation de la calculatrice est autorisée ( \textit{circ. 99-186 du 16 novembre 1999} )}

\centerline{Le sujet est constitué de huit exercices indépendants.}

\centerline{Le candidat peut les traiter dans l'ordre qui lui convient.}

\vspace{0.8cm}

\begin{center}
  \begin{tabular}{|p{10cm}|c|}
    \hline
    Exercice \no 1                                                & \exa~points \\
    \hline
    Exercice \no 2                                                & \exb~points \\
    \hline
    Exercice \no 3                                                & \exc~points \\
    \hline
    Exercice \no 4                                                & \exd~points \\
    \hline
    Exercice \no 5                                                & \exe~points \\
    \hline
    Exercice \no 6                                                & \exf~points \\
    \hline
    Exercice \no 7                                                & \exg~points \\
    \hline
    Exercice \no 8                                                & \exh~points \\
    \hline
  \end{tabular} 
\end{center}

\vspace{0.8cm}

\begin{center}
  \fbox{
    \begin{minipage}{18cm}
      \bigskip 
\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées}, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.
\bigskip
    \end{minipage}
  }
\end{center}

\sautdepage

%}}}

%{{{ Exercice 1

\exercice[\exa]

\bigskip

\begin{multicols}{2}

On considère la figure ci-contre, réalisée à main levée et qui n'est pas à l'échelle.
	
On donne les informations suivantes :

\begin{itemize}
	\item les droites (ER) et (FT) sont sécantes en A ;
	
	\item $\text{AE}=\np[cm]{8}$, $\text{AF}=\np[cm]{10}$, $\text{EF}=\np[cm]{6}$ ;
	
	\item $\text{AR}=\np[cm]{12}$, $\text{AT}=\np[cm]{14}$
\end{itemize}


\textbf{1.} Démontrer que le triangle AEF est rectangle en E.

\textbf{2.} En déduire une mesure de l'angle $\widehat{\text{EAF}}$ au degré près.

\textbf{3.} Les droites (EF) et (RT) sont-elles parallèles ?

\columnbreak

\begin{tikzpicture}[baseline = (current bounding box.center),line width=0.9pt, line cap=round, pencildraw/.style={black, decorate, decoration={random steps,segment length=1.5pt,amplitude=0.2pt},smooth},x=3mm,y=3mm]
\draw[pencildraw] (-1.74,-0.94)-- (0.,0.) -- (4.5,1.6)-- (7.8,2.7) -- (8.8,3.26)
(-1.6,0.3)-- (0.,0.) -- (6.2,-2) -- (10,-2.6) -- (12.8,-3.3)

(11,-4.4)-- (10,-2.6)-- (7.8,2.7)-- (7.4,4) (4.,3.)-- (4.5,1.6) -- (6.2,-2) -- (7.9,-4.4);
\newcommand{\croix}[3]{\draw [pencildraw,shift = {#1}] (-2pt,-2pt)--(2pt,2pt) (-3pt,3pt)--(0,0)--(3pt,-3pt) (0,0) node[#2] {#3}}

\croix{(0,0)}{shift={(90:3mm)}}{A};
\croix{(4.5,1.6)}{shift={(70:3mm)}}{E};
\croix{(7.8,2.7)}{shift={(70:3mm)}}{R};
\croix{(6.2,-2)}{shift={(-100:3mm)}}{F};
\croix{(10,-2.6)}{shift={(-100:3mm)}}{T};

\end{tikzpicture} 

\end{multicols}

%}}}

\vspace{1cm}

%{{{ Exercice 2

\exercice[\exb]

\bigskip

Voici quatre affirmations. Pour chacune d'entre elles, dire si elle est vraie ou fausse. On rappelle que la réponse doit être justifiée.

\bigskip

\textbf{Affirmation 1 :} $\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3 + 1}{5 + 2}$.	

\bigskip

\textbf{Affirmatíon 2 :} On considèe la fonction $f: x \longmapsto 5-3x$. L'image de $-1$ par $f$ est $-2$.	

\bigskip	

On considère deux expériences aléatoires :

\begin{itemize}
\item \emph{expérience n\up{o}\,$1$ :} choisir au hasard un nombre entier compris entre 1 et 11 (1 et 11 inclus).			
\item \emph{expérience n\up{o}\,$2$ :} lancer un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6 et annoncer le nombre qui apparait sur la face du dessus.
\end{itemize}

\textbf{Affirmation 3 :} il est plus probable de choisir un nombre premier dans l'expérience n\up{o}\,1 que d'obtenir un nombre pair dans l'experience n\up{o}\,2.	
	

\bigskip

\textbf{Affirmation 4 :} pour tout nombre $x$, \quad $(2x + 1)^2 - 4 = (2x + 3)(2x - 1)$.

%}}}

\vspace{1cm}

%{{{ Exercice 3

\exercice[\exc]

\bigskip

Le diagramme ci-dessous représente, pour six pays, la quantité de nourriture gaspillée (en kg) par habitant en 2010.

\begin{center}
	
\begin{tikzpicture}[y=0.125mm,x=4mm]% l'échelle ridicule proposée ici est celle du sujet original
		\draw [xstep=24,ystep=20,gray!50,line width=0.5pt] (0,0) grid (24,580);
		\foreach \a in {0,4,...,24}{
		\draw[gray!50,line width=0.5pt] (\a,0)--(\a,-4pt);}	
		\draw [xstep=24.1,ystep=100,black,line width=0.7pt] (0,0) grid (24,580);	
		\foreach \o in {0,100,...,500}{
			\node at (-1.2,\o) {\o};}
		
		\draw[fill=black!65] ( 1,0) rectangle (3 ,545);	
		\node[rotate=65,left] at(2,-30) {Pays A};
		\draw[fill=black!65] ( 5,0) rectangle (7 ,215);
		\node[rotate=65,left] at(6,-30) {Pays B};
		\draw[fill=black!65] ( 9,0) rectangle (11,150);	
		\node[rotate=65,left] at(10,-30) {Pays C};
		\draw[fill=black!65] (13,0) rectangle (15,137.5);
		\node[rotate=65,left] at(14,-30) {Pays D};
		\draw[fill=black!65] (17,0) rectangle (19,130);	
		\node[rotate=65,left] at(18,-30) {Pays E};
		\draw[fill=black!65] (21,0) rectangle (23,110);
		\node[rotate=65,left] at(22,-30) {Pays F};
		\node at (12,610){Quantité de nourriture gaspillée en kg par habitant en 2010};
\end{tikzpicture}

\end{center}

\sautdepage

\textbf{1.} Donner approximativement la quantité de nourriture gaspillée par un habitant du pays D en 2010.	
	
\textbf{2.} Peut-on affirmer que le gaspillage de nourriture d'un habitant du pays F représente environ un cinquième du gaspillage de nourriture d'un habitant du pays A ?

On veut rendre compte de la quantité de nourriture gaspillée pour d'autres pays. On réalise alors le tableau ci-dessous à l'aide d'un tableur. \hfill \textit{Rappel :} 1 tonne = \np[kg]{1000}.	

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor[gray]{.8} \rule[-2.5mm]{0mm}{7mm} \centering \arraybackslash \sffamily} m{5mm}| >{\centering \arraybackslash} p{1.5cm} | *{3}{>{\centering \arraybackslash\rule[-2.5mm]{0mm}{7mm}}X|}} 
\hline
\rowcolor[gray]{.8}	&\textsf{A}&\textsf{B}&\textsf{C}&\textsf{D}\\ \hline
		1& &\parbox{\linewidth}{
			\rule{0pt}{10pt}Quantité de nourriture gaspillée par habitant en 2010 (en kg)\rule[-4pt]{0pt}{1pt}}
		&\parbox{\linewidth}{Nombre d'habitants en 2010 (en millions)} 
		&\parbox{\linewidth}{Quantité totale de nourriture gaspillée (en tonnes)}\\ \hline	
	2 & Pays X & 345 & 10,9 & \np{3760500}\\ \hline	
	3 & Pays Y & 212 & 9,4  &             \\ \hline
	4 & Pays Z & 135 & 46,6 &             \\ \hline
\end{tabularx}

\smallskip

\textbf{3.} Quelle est la quantité totale de nourriture gaspillée par les habitants du pays Y en 2010 ?		

\textbf{4.} Voici trois propositions de formule, recopier celle qu'on a saisie dans la cellule \textsf{D2} avant de l'étirer jusqu'en \textsf{D4}.
\begin{multicols}{3}

\textbf{Proposition 1 : } =B2*C2*\np{1000000}

\columnbreak

\textbf{Proposition 2 : } =B2*C2

\columnbreak

\textbf{Proposition 3 : }=B2*C2*\np{1000}

\end{multicols}

%}}}

\vspace{0.3cm}

%{{{ Exercice 4

\exercice[\exd]

\begin{multicols}{2}

On a programmé un jeu. 

Le but du jeu est de sortir du labyrinthe. 

Au début du jeu, le lutin se place au point de départ. Lorsque le lutin touche un mur, représenté par un trait noir épais, il revient au point de départ.

L'arrière-plan est constitué d'un repère d'origine O avec des points espacés de 30 unités verticalement et horizontalement.

Dans cet exercice, on considèrera que seuls les murs du labyrinthe sont noirs.

\columnbreak

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=5.5mm,y=5.5mm,>=stealth,baseline={(0,0)}]
		\foreach \x in {-7,...,7}{
			\foreach \y in {-5,...,5}{
				\draw[gray,fill=gray] (\x,\y) circle (0.5mm);
			}}
		\draw[line width=.25mm,gray] (-7.5,0)--(7.5,0) (0,-5.5)--(0,5.5) (0,0) node [above left]{{\Large O}};
		\node at(-4,1){\includegraphics[height=0.7cm]{chat}};
		\draw[line width = 1mm, line cap = round, line join = round] 
		(-7,-5)--(-7,5)--(7,5)--(7,-3) 
		(-5,-2)--(-5,-5)--(7,-5) (1,-5)--(1,-3) (3,-5)--(3,-3)
		(-7,0)--(-5,0)--(-5,3) (-3,-3)--(-3,5) 
		(-1,-5)--(-1,-1)--(5,-1)--(5,-3)
		(-1,5)--(-1,1)--(5,1)--(5,3)--(1,3);
		\draw [<-,line width=.8pt] (-5.9,-4.1)--(-5.3,-5.5) node[below]{point de départ};
		\draw [<-,line width=.8pt] (6.9,-4.1)--(5,-5.5) node[below ]{point de sortie};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{multicols}

Voici le programme :

\begin{tabular}{p{9cm}}
\begin{tikzpicture}[>=stealth]
\node at (0,0)[below right] {\begin{scratch}[scale=0.8]
	\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
	\blockmove{aller à x: \ovalnum{-180} y: \ovalnum{-120}}
	\blockinfloop{répéter indéfiniment}{
		\blockifelse{si ~\boolsensing{couleur ~\pencolor{black}~ touchée ?}~ alors}{\blocklook{dire ~\ovalnum{perdu}~ pendant ~ \ovalnum{2} ~ secondes}
			\blockmove{aller à x: \ovalnum{~~} ~~y: \ovalnum{~~}}
		}{\blockmoreblocks{Réussite}} }
	\end{scratch}
};
\draw [<-] (2.4,-2.8) -- (3.2,-2) node[right]{Couleur : noir};
\end{tikzpicture}\\
Le bloc \begin{scratch}[scale=0.7]
	\blockmoreblocks{Réussite} \end{scratch} correspond à un sous-programme qui fait dire \og Gagné !\fg{} au lutin lorsqu'il est situé au point de sortie; le jeu s'arrête alors.
\end{tabular}
\hfill
\begin{tabular}{l}
	\begin{scratch}[scale=0.75]
			\blockinitclone{quand \selectmenu{flèche haut} est pressé }
			\blockmove{ajouter ~\ovalnum{30}~ à y}
			\blockcontrol{attendre ~\ovalnum{0.1}~ secondes}
	\end{scratch}\\
	\begin{scratch}[scale=0.75]
			\blockinitclone{quand \selectmenu{flèche bas} est pressé }
			\blockmove{ajouter ~\ovalnum{-30}~ à y}
			\blockcontrol{attendre ~\ovalnum{0.1}~ secondes}
	\end{scratch}\\
	\begin{scratch}[scale=0.75]
			\blockinitclone{quand \selectmenu{flèche droite} est pressé }
			\blockmove{ajouter ~\ovalnum{30}~ à 3}
			\blockcontrol{attendre ~\ovalnum{0.1}~ secondes}
	\end{scratch}\\
	\begin{scratch}[scale=0.75]
			\blockinitclone{quand \selectmenu{flèche gauche} est pressé }
			\blockmove{ajouter ~\ovalnum{-30}~ à x}
			\blockcontrol{attendre ~\ovalnum{0.1}~ secondes}
		\end{scratch}\\	
\end{tabular}

\sautdepage

\textbf{1.} Recopier et compléter l'instruction \begin{scratch}[scale=0.8]
		\blockmove{aller à x: \ovalnum{~~} ~~y: \ovalnum{~~}} \end{scratch} du programme pour ramener le lutin au point de départ si la couleur noire est touchée.	


\textbf{2.} Quelle est la distance minimale parcourue par le lutin entre le point de départ et le point de sortie ?	

\textbf{3.} On lance le programme en cliquant sur le drapeau. Le lutin est au point de départ. 

On appuie brièvement sur la touche $\uparrow$ (\og flèche haut\fg{}) puis sur la touche $\rightarrow$ (\og flèche droite\fg{}). 

Quelles sont toutes les actions effectuées par le lutin ?

%}}}

\vspace{1cm}

%{{{ Exercice 5

\exercice[\exe]

\bigskip

\emph{Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue}
	
\bigskip
	
\begin{multicols}{2}

On considère l'hexagone ABCDEF de centre O représenté ci-contre.

\hfill 

\begin{tikzpicture}[x=25mm,y=25mm,baseline={(A)},,line width=1pt]
\newcommand{\point}[3]{\draw[shift={#1}] (-3pt,-3pt)--(3pt,3pt) (-3pt,3pt)--(3pt,-3pt) (0,0) node[shift={#2}]{#3};}
	
\coordinate (A) at (120:1); \point{(A)}{(120:3mm)}{A};
\coordinate (B) at ( 60:1); \point{(B)}{( 60:3mm)}{B};
\coordinate (C) at (  0:1); \point{(C)}{(  0:3mm)}{C};
\coordinate (D) at (300:1); \point{(D)}{(300:3mm)}{D};
\coordinate (E) at (240:1); \point{(E)}{(240:3mm)}{E};
\coordinate (F) at (180:1); \point{(F)}{(180:3mm)}{F};
\coordinate (O) at (0 , 0); \point{(O)}{(270:3mm)}{O};

\draw (A)--(B) node[pos=0.5,sloped]{||}
	--(C) node[pos=0.5,sloped]{||}
	--(D) node[pos=0.5,sloped]{||}
	--(E) node[pos=0.5,sloped]{||}
	--(F) node[pos=0.5,sloped]{||}
	--cycle node[pos=0.5,sloped]{||}
	(A)--(O) node[pos=0.5,sloped]{||}
	(B)--(O) node[pos=0.5,sloped]{||}
	(C)--(O) node[pos=0.5,sloped]{||}
	(D)--(O) node[pos=0.5,sloped]{||}
	(E)--(O) node[pos=0.5,sloped]{||}
	(F)--(O) node[pos=0.5,sloped]{||};
\end{tikzpicture}

\columnbreak

\textbf{1.} Parmi les propositions suivantes, recopier celle qui correspond à l'image du quadrilatère CDEO par la symétrie de centre O.

\bigskip

\textbf{Proposition 1} : $FABO$

\bigskip

\textbf{Proposition 2} : $ABCO$

\bigskip

\textbf{Proposition 3} : $FODE$

\bigskip

\end{multicols}
	
\textbf{2.} Quelle est l'image du segment [AO] par la symétrie d'axe (CF) ?
	
\bigskip
	
\textbf{3.} On considère la rotation de centre O qui transforme le triangle OAB en le triangle OCD.
		
Quelle est l'image du triangle BOC par cette rotation ?

\begin{multicols}{2}

La figure ci-contre représente un pavage dont le motif de base a la même forme que l'hexagone ci-dessus.

On a numéroté certains de ces hexagones.

\textbf{4.} Quelle est l'image de l'hexagone 14 par la translation qui transforme l'hexagone 2 en l'hexagone 12 ?

\columnbreak


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.6cm,y=0.6cm,line width=1pt,baseline={(current bounding box.center)}]
%\draw[teal,xstep=1,ystep=1] (0,0) grid (10,10);
\clip[draw] (0.3,0.4) rectangle (10.5,8);
\foreach \x  in {0,...,3}{
\foreach \y in {0,...,5}
\draw[shift={({3*\x},{1.732*\y})}] (0:1)--(60:1)--(120:1)--(180:1)--(240:1)--(300:1)--cycle (0,0);}
\foreach \x  in {0,...,3}{
\foreach \y in {0,...,5}
\draw[shift={({1.5+3*\x},{0.866+1.732*\y})}] (0:1)--(60:1)--(120:1)--(180:1)--(240:1)--(300:1)--cycle;}
\node at(3,6.928) {1}; \node at(6,6.928) {2}; \node at(9,6.928) {3};
\node at(3,5.196) {5}; \node at(6,5.196) {7}; \node at(9,5.196) {9};
\node at(3,3.464) {11}; \node at(6,3.464) {13}; \node at(9,3.464) {15};
\node at(3,1.732) {17}; \node at(6,1.732) {19}; \node at(9,1.732) {21};
\node at(1.5,6.062){4}; \node at(4.5,6.062){6}; \node at(7.5,6.062){8};
\node at(1.5,4.33){10}; \node at(4.5,4.33){12}; \node at(7.5,4.33){14};
\node at(1.5,2.598){16}; \node at(4.5,2.598){18}; \node at(7.5,2.598){20};
\node at(1.5,0.866){22}; \node at(4.5,0.866) {23}; \node at(7.5,0.866) {24};
\end{tikzpicture}

\end{center}
\end{multicols}

%}}}
	
\sautdepage

%{{{ Exercice 6

\exercice[\exf]

\medskip

\emph{Les deux parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{\underline{Partie A :} absorption du principe actif d'un médicament}

\bigskip

Lorsqu'on absorbe un médicament, que ce soit par voie orale ou non, la quantité de principe actif de ce médicament dans le sang évolue en fonction du temps. Cette quantité se mesure en milligrammes par litre de sang.

\bigskip

Le graphique ci-dessous représente la quantité de principe actif d'un médicament dans le sang, en fonction du temps écoulé, depuis la prise de ce médicament.

\bigskip

%\hspace{-1.1cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=2cm,y=2.8mm,>=stealth]

\begin{axis}[
x=1.9cm,y=2.8mm,
xmin=0, xmax=7.,
ymin=0, ymax=31,
xtick={0,1,...,7}, ytick={0,10,20,30},
minor xtick={0,0.5,...,7}, minor ytick={0,1,...,31},
xmajorgrids=true, ymajorgrids=true,
xminorgrids=true, yminorgrids=true]
\addplot[line width=1pt,smooth]
coordinates {
	(0,0)(0.5,10)(1,20)(1.5,26)(2,27)(2.5,26)(3,20)(3.5,9)(4,5)(5,1.5)(7,0.5)
};
\addplot[line width=1pt,smooth]
coordinates {
	(0,0)(0.5,10)(1,20)(1.5,26)(2,27.1)(2.5,25.9)(3,20)(3.5,9)(4,5)(5,1.5)(7,0.5)
};
\end{axis}	

\draw [line width=0.7pt,<->] (0,33) node[fill=white, rounded corners,below right=3mm] {Quantité de principe actif (en mg/L)}--(0,0)--(7,0) node[above left=4.5mm, text width=4 cm,fill=white,rounded corners] {Temps écoulé (en h) après la prise du médicament};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\textbf{1.} Quelle est la quantité de principe actif dans le sang, trente minutes après la prise de ce médicament ?
	
\bigskip

\textbf{2.} Combien de temps après la prise de ce médicament, la quantité de principe actif est-elle la plus élevée ?

\bigskip

\textbf{\underline{Partie B :} comparaison de masses d'alcool dans deux boissons}

\bigskip

On fournit les données suivantes :

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|} \hline
	\rule{0pt}{14pt}\textbf{Formule permettant de calculer la masse d'alcool en g dans une boisson alcoolisée :}

		$$m = V \times d \times 7,9$$
		
		$ V $: volume de la boisson alcoolisée en cL
		
		\smallskip
		
		$ d $: degré d'alcool de la boisson
		
		(exemple, un degré d'alcool de 2\,\% signifie que $d$ est égal à 0,02)\rule[-2mm]{0pt}{1mm}
		&\textbf{Deux exemples de boissons alcoolisées :}
		
\bigskip
		
\begin{tabular}{c|c}
\textbf{Boisson} \tikz[baseline ={(a.base)}]{\node (a) at(0,0)[circle, draw]{\textbf{1}};} &\textbf{Boisson} \tikz[baseline ={(a.base)}]{\node (a) at(0,0)[circle, draw]{\textbf{2}};}\\[8pt]
Degré d'alcool : 5\,\%& Degré d'alcool : 12\,\% \\ [8pt]
Contenance : 33 cL&Contenance 125 mL \\[8pt]
		\end{tabular}\\ \hline	
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question :} la boisson \tikz[baseline ={(a.base)}]{\node (a) at(0,0)[circle, draw]{\textbf{1}};} contient-elle une masse d'alcool supérieure à celle de la boisson \tikz[baseline ={(a.base)}]{\node (a) at(0,0)[circle, draw]{\textbf{2}};} ?
%}}}

\sautdepage

%{{{ Exercice 7

\exercice[\exg]

\bigskip

Pour ranger les boulets de canon, les soldats du XVI\up{e} siècle utilisaient souvent un type d'empilement pyramidal à base carrée, comme le montrent les dessins suivants :

\hspace{-16mm}

\begin{center}
\begin{tabular}{>{\centering \arraybackslash} p{2.6cm}
		>{\centering \arraybackslash} p{3.6cm}
		>{\centering \arraybackslash} p{4.6cm}
		>{\centering \arraybackslash} p{5.6cm}}
\begin{tikzpicture}[x={(6:8mm)},y=(145:4mm),z={(90:8.50mm)},baseline={(current bounding box.center)}]
\foreach \x in {2.5,3.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,3.5,1.697) circle (4mm);}
\shade[ball color=gray!30] (3,3,2.263) circle (4mm);
\foreach \x in {2.5,3.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,2.5,1.697) circle (4mm);}
\end{tikzpicture}
&
 \begin{tikzpicture}[x={(6:8mm)},y=(145:4mm),z={(90:8.50mm)},baseline={(current bounding box.center)}]
\foreach \x in {2,3,4}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,4,1.131) circle (4mm);}
\foreach \x in {2.5,3.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,3.5,1.697) circle (4mm);}
\foreach \x in {2,3,4}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,3,1.131) circle (4mm);}
\shade[ball color=gray!30] (3,3,2.263) circle (4mm);
\foreach \x in {2.5,3.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,2.5,1.697) circle (4mm);}
\foreach \x in {2,3,4}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,2,1.131) circle (4mm);}
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[x={(6:8mm)},y=(145:4mm),z={(90:8.50mm)},baseline={(current bounding box.center)}]
\foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,4.5,0.5657) circle (4mm);}
\foreach \x in {2,3,4}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,4,1.131) circle (4mm);}
\foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,3.5,0.5657) circle (4mm);}
\foreach \x in {2.5,3.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,3.5,1.697) circle (4mm);}
\foreach \x in {2,3,4}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,3,1.131) circle (4mm);}
\shade[ball color=gray!30] (3,3,2.263) circle (4mm);
\foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,2.5,0.5657) circle (4mm);}
\foreach \x in {2.5,3.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,2.5,1.697) circle (4mm);}
\foreach \x in {2,3,4}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,2,1.131) circle (4mm);}
\foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,1.5,0.5657) circle (4mm);}
\end{tikzpicture}
&
 \begin{tikzpicture}[x={(6:8mm)},y=(145:4mm),z={(90:8.50mm)},baseline={(current bounding box.center)}]
 \foreach \x in {1,...,5}{
 	\shade[ball color=gray!30] (\x,5,0) circle (4mm);}
 \foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,4.5,0.5657) circle (4mm);}
 \foreach \x in {1,...,5}{
 	\shade[ball color=gray!30] (\x,4,0) circle (4mm);}
 \foreach \x in {2,3,4}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,4,1.131) circle (4mm);}
 \foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,3.5,0.5657) circle (4mm);}
 \foreach \x in {2.5,3.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,3.5,1.697) circle (4mm);}
 \foreach \x in {1,...,5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,3,0) circle (4mm);}
 \foreach \x in {2,3,4}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,3,1.131) circle (4mm);}
	\shade[ball color=gray!30] (3,3,2.263) circle (4mm);
 \foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,2.5,0.5657) circle (4mm);}
 \foreach \x in {2.5,3.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,2.5,1.697) circle (4mm);}
 \foreach \x in {1,...,5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,2,0) circle (4mm);}
 \foreach \x in {2,3,4}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,2,1.131) circle (4mm);}
 \foreach \x in {1.5,2.5,...,4.5}{
	\shade[ball color=gray!30] (\x,1.5,0.5657) circle (4mm);}
  \foreach \x in {1,...,5}{
 	\shade[ball color=gray!30] (\x,1,0) circle (4mm);}
 \end{tikzpicture}\\ [1.8cm]
 Empilement \linebreak à 2 niveaux&Empilement à 3 niveaux&
 Empilement à 4 niveaux&Empilement à 5 niveaux
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip


\textbf{1.} Combien de boulets contient l'empilement à 2 niveaux ?	

\textbf{2.} Expliquer pourquoi l'empilement à 3 niveaux contient 14 boulets.	

\textbf{3.} On range 55 boulets de canon selon cette méthode. Combien de niveaux comporte alors l'empilement obtenu ?	

\bigskip

Ces boulets sont en fonte; la masse volumique de cette fonte est de \np[kg/m^3]{7300}.
	
On modélise un boulet de canon par une boule de rayon \np[cm]{6}.
	
\bigskip

\textbf{4.} Montrer que l'empilement à 3 niveaux de ces boulets pèse \np[kg]{92}, au kg près.
	
\bigskip

\emph{Rappels:}
\begin{itemize}
		\item $\emph{volume d'une boule} = \dfrac{4}{3}\times \pi \times \text{\emph{rayon}} \times \text{\emph{rayon}} \times \text{\emph{rayon}}$.	
		\item une masse volumique de \np[kg/m^3]{7300} signifie que \np[m^3]{1} pèse \np[kg]{7300}.
\end{itemize}
 
%}}}

\vspace{1cm}

%{{{ Exercice 8

\exercice[\exh]

\bigskip

Dans une classe de Terminale, huit élèves passent un concours d'entrée dans une école d'enseignement supérieur.

Pour être admis, il faut obtenir une note supérieure ou égale à 10.

Une note est attribuée avec une précision d'un demi-point (par exemple : 10 ; 10,5 ; 11 ; \dots)

\bigskip

On dispose des informations suivantes :

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|} \hline

\textbf{Information 1}

Notes attribuées aux 8 élèves de la classe qui ont passé le concours :
		
10; \quad 13; \quad 15; \quad 14,5; \quad 6; \quad 7,5; \quad \tikz[baseline={(0,-0.075)}]{\fill (0,-0.075)--(0.075,0)--(0,0.075)--(-0.075,0)--cycle;}; \quad \tikz[baseline={(0,-0.075)}]{\fill (0,0) circle (0.075);}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|} \hline
	
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Information 2}} \\
	
\parbox{6.5cm}{La série constituée des huit notes :
		
		\begin{itemize}
			\item a pour étendue 9;
			\item a pour moyenne 11,5;
			\item a pour médiane 12.
	\end{itemize}}
	& \parbox{6.5cm}{75\,\% des élèves de la classe qui ont passé le concours ont été reçus.}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{1.} Expliquer pourquoi il est impossible que l'une des deux notes désignées par \tikz[baseline={(0,-0.075)}]{\fill (0,-0.075)--(0.075,0)--(0,0.075)--(-0.075,0)--cycle;} ou \tikz[baseline={(0,-0.075)}]{\fill (0,0) circle (0.075);} soit 16.

\bigskip
	
\textbf{2.} Est-il possible que les deux notes désignées par \tikz[baseline={(0,-0.075)}]{\fill (0,-0.075)--(0.075,0)--(0,0.075)--(-0.075,0)--cycle;} et \tikz[baseline={(0,-0.075)}]{\fill (0,0) circle (0.075);} soient 12,5 et 13,5 ?

\sautdepage

%}}}

%}}}

%{{{ Sujet Brevet 2019 Amérique du Nord - Correction

\centerline{\Large Brevet 2019 - Amérique du Nord}

\smallskip

\centerline{\Large Correction}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1}

\bigskip

\textbf{1.} {\color{blue} \textit{C'est une application habituelle de la réciproque du théorème de Pythagore.}

\textit{On remarque que dans le triangle $AEF$, le côté $[AF]$ est le plus long.}}

\bigskip

Dans le triangle $AEF$ comparons $EA^2+EF^2$ et $AF^2$.

\begin{multicols}{2}

$EA^2+EF^2=8^2+6^2$

$EA^2+EF^2=64+36$

$EA^2+EF^2=100$

\columnbreak

$AF^2=10^2$

$AF^2=100$

\end{multicols}

Comme $EA^2+EF^2=AF^2$ d'après \textbf{la réciproque du théorème de Pythagore}, \fbox{le triangle  $EAF$ est rectangle en $E$.}

\bigskip

\textbf{2.} {\color{blue} \textit{Nous allons utiliser la trigonométrie.}}

\bigskip

Dans le triangle $AEF$ rectangle en $E$.

\bigskip

{\color{blue} \textit{Comme on connaît les mesures des trois côtés du triangle, il est possible de déterminer l'angle en utilisant le cosinus, le sinus ou la tangente de cette angle. On propose ici les trois méthodes. Au brevet, une seule des trois doit être rédigée.}

\textit{Le côté $[AE]$ est adjacent à l'angle $\widehat{EAF}$, le côté $[EF]$ est opposé à l'angle $\widehat{EAF}$ et le côté $[AF]$ est l'hypoténuse du triangle.}}


\bigskip

\begin{multicols}{3}

$\cos \widehat{EAF}=\frac{AE}{AF}$

$\cos \widehat{EAF}=\frac{8~cm}{10~cm}$

$\cos \widehat{EAF}=0,8$

\columnbreak


$\sin \widehat{EAF}=\frac{EF}{AF}$

$\sin \widehat{EAF}=\frac{6~cm}{10~cm}$

$\sin \widehat{EAF}=0,6$

\columnbreak

$\tan \widehat{EAF}=\frac{EF}{AE}$

$\tan \widehat{EAF}=\frac{6~cm}{8~cm}$

$\tan \widehat{EAF}=0,75$

\end{multicols}

À la calculatrice on obtient $\widehat{EAF} \approx 37^\circ$

{\color{blue} \textit{Il faut utiliser les fonctions inverses des calculatrices à l'aide des touches Seconde puis cos, sin ou tan.}}

\bigskip

\textbf{3.} {\color{blue} \textit{On pense à la réciproque ou le théorème contraposé de Thalès.}}

\bigskip

Comparons les quotients $\dfrac{AE}{AR}$ et $\dfrac{AF}{AT}$ :

\begin{multicols}{2}

$\dfrac{AE}{AR}=\frac{8~cm}{12~cm}$

$\dfrac{AE}{AR}=\frac{2}{3}$

$\dfrac{AE}{AR} \approx 0,667$

\columnbreak

$\dfrac{AF}{AT}=\frac{10~cm}{14~cm}$

$\dfrac{AF}{AT}=\frac{5}{7}$

$\dfrac{AF}{AT} \approx 0,714$

\end{multicols}

On constate avec les valeurs approchées que $\dfrac{AE}{AR} \neq \dfrac{AF}{AT}$.

\bigskip

{\color{blue} \textit{Une méthode plus experte consiste à vérifier l'égalité des produits en croix.}

Comme $2\times 7=14$ et que $5 \times 3=15$ on en déduit que $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{5}{7}$}

\bigskip

D'après \textbf{le théorème contraposé de Thalès} \fbox{les droites $(EF)$ et $(RT)$ sont sécantes.}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\bigskip

\textbf{Affirmation 1} : $\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{10}+\dfrac{5}{10}=\dfrac{11}{10}$

Or $\dfrac{3+1}{5+2}=\dfrac{4}{7}$

On peut à nouveau constater avec les valeurs approchées que $\dfrac{11}{10}=1,1 \neq \dfrac{4}{7} \approx 0,571$

Ou de manière plus experte que $11 \times 7=77$ et que $10 \times 4=40$.

Ou encore que $\dfrac{11}{10} >1$ car $11>10$ et que $\dfrac{4}{7}<1$ car $4<7$...

\bigskip

\fbox{L'affirmation 1 est fausse.}

\bigskip

\textbf{Affirmation 2} : $f(x)=5-3x$ et $f(-1)=5-3\times (-1)=5+3=8$

\bigskip

\fbox{L'affirmation 2 est fausse.}

\bigskip

\textbf{Affirmation 3} : Dans l'expérience aléatoire 1 il y a 11 issues équiprobables. Les cinq issues 2, 3, 5, 7 et 11 produisent des nombres premiers.

La probabilité d'obtenir un nombre premier dans l'expérience 1 est donc $\dfrac{5}{11} \approx 0,455$ soit environ $45,5~\%$

\bigskip

Dans l'expérience aléatoire 2 il y a 6 issues équiprobables. Les trois issues 2, 4 et 6 produisent des nombres pairs.

La probabilité d'obtenir un nombre pair dans l'expérience 2 est donc $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}=0,5$ soit $50~\%$

\bigskip

\fbox{L'affirmation 3 est encore fausse.}

\bigskip

\textbf{Affirmation 4} : {\color{blue} \textit{Il faut développer et réduire les deux expressions pour pouvoir les comparer !}}

\begin{multicols}{2}

$A=(2x+1)^2-4$

$A=(2x+1)(2x+1)-4$

$A=4x^2+2x+2x+1-4$

$A=4x^2+4x-3$


\columnbreak

$B=(2x+3)(2x-1)$

$B=4x^2-2x+6x-3$

$B=4x^2+4x-3$


\end{multicols}

{\color{blue} \textit{On pouvait utiliser l'identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ pour développer $A$.}

\textit{On pouvait aussi penser à factoriser $A$ en utilisant l'identité $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ pour vérifier l'affirmation.}

$A=(2x+1)^2-4$

$A=(2x+1)^2-2^2$

$A=\left[(2x+1)+2\right]\left[(2x+1)-2\right]$

$A=(2x+1+2)(2x+1-2)$

$A=(2x+3)(2x-1)$

}

\bigskip

\fbox{L'affirmation 4 est enfin vraie !}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3}

\bigskip

\textbf{1.} {\color{blue} \textit{Il y a 5 graduations pour 100 unités en ordonnée, donc une graduation correspond à 20 unités.}}

\fbox{Dans le pays D on gaspille en moyenne $140~kg$ de nourriture.}

\bigskip

\textbf{2.} Le pays F gaspille environ $110~kg$ de nourriture. Le pays A environ $540~kg$.

\bigskip

Comme $540~kg \times \dfrac{1}{5}=108~kg$ \fbox{on peut faire cette affirmation.}

\bigskip

\textbf{3.} Il suffit de lire la colonne D. Dans le pays X les habitants gaspillent \fbox{$\np{3760500}~tonnes=\np{3760500000}~kg$}

\bigskip

\textbf{4.} Il faut multiplier la valeur de la colonne C par $\np{1000000}$.

\bigskip

\fbox{La proposition 1 : =B2*C2*\np{1000000}.}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 4}

\bigskip

\textbf{1.} Il faut le placer en $(-180;-120)$ comme au début du programmes.

Donc \begin{scratch}[scale=0.8] \blockmove{aller à x: \ovalnum{-180} ~~y: \ovalnum{-120}} \end{scratch} 

\bigskip

\textbf{2.} Il faut commencer par compter le nombre points.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=5.5mm,y=5.5mm,>=stealth,baseline={(0,0)}]
		\foreach \x in {-7,...,7}{
			\foreach \y in {-5,...,5}{
				\draw[gray,fill=gray] (\x,\y) circle (0.5mm);
			}}
		\draw[line width=.25mm,gray] (-7.5,0)--(7.5,0) (0,-5.5)--(0,5.5) (0,0) node [above left]{{\Large O}};
		\node at(-4,1){\includegraphics[height=0.7cm]{chat}};
		\draw[line width = 1mm, line cap = round, line join = round] 
		(-7,-5)--(-7,5)--(7,5)--(7,-3) 
		(-5,-2)--(-5,-5)--(7,-5) (1,-5)--(1,-3) (3,-5)--(3,-3)
		(-7,0)--(-5,0)--(-5,3) (-3,-3)--(-3,5) 
		(-1,-5)--(-1,-1)--(5,-1)--(5,-3)
		(-1,5)--(-1,1)--(5,1)--(5,3)--(1,3);
		\draw [<-,line width=.8pt] (-5.9,-4.1)--(-5.3,-5.5) node[below]{point de départ};
		\draw [<-,line width=.8pt] (6.9,-4.1)--(5,-5.5) node[below ]{point de sortie};
		\draw[line width = 3 mm, line cap = round, line join = round]
		(-6,-4)--(-6,-1)--(-4,-1)--(-4,-4)--(-2,-4)--(-2,0)--(6,0)--(6,-4)--(7,-4);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Cela correspond à $27$ points soit $27 \times 30=$\fbox{$810$~unités}.

\bigskip

\textbf{3.} Voici la séquence :

\fbox{$\uparrow \uparrow \uparrow \rightarrow \rightarrow \downarrow \downarrow \downarrow \rightarrow \rightarrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \downarrow \downarrow \downarrow \downarrow \rightarrow$}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 5}

\bigskip

\textbf{1.} Dans la symétrie de centre $O$ :

\begin{itemize}
\item $C$ devient $F$ ;
\item $D$ devient $A$ ;
\item $E$ devient $B$ ;
\item $O$ ne bouge pas.
\end{itemize}

\fbox{Donc l'image de $CDEO$ par la symétrie de centre $O$ est $FABO$ : proposition 1}

\bigskip

{\color{blue} \textit{On utilise les codages de la figure en utilisant tous les segments dont le milieu est le point $O$.}}

\bigskip

\textbf{2.} Dans la symétrie axiale d'axe $(CF)$ :

\begin{itemize}
\item $A$ devient $E$;
\item $O$ ne bouge pas.
\end{itemize}

\fbox{L'image du segment $[AO]$ est le segment $[EO]$.}

\bigskip

{\color{blue} \textit{Il faut penser au losange $AFEO$ dont les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.}}

\bigskip

\textbf{3.} Dans la rotation de centre $O$ qui transforme $OAB$ en $OCD$ :

\begin{itemize}
\item $O$ ne bouge pas ;
\item $B$ devient $D$ ;
\item $C$ devient $E$.
\end{itemize}

\fbox{L'image de $OBC$ est donc $ODE$.}

\bigskip

{\color{blue} \textit{Il s'agit d'une rotation de centre $O$, d'angle $120^\circ$ ($60^\circ+60^\circ$) dans le sens des aiguilles d'une montre.}}

\bigskip

\textbf{4.} \fbox{Il s'agit de l'hexagone $19$.}

\bigskip

{\color{blue} \textit{En traçant un segment entre $2$ et $12$ et entre $14$ et $19$, on constate qu'il s'agit bien de la même translation !}}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 6}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\bigskip

\textbf{1.} {\color{blue} \textit{En ordonnée il y a 10 graduations pour 10 unités, en abscisse 2 graduations pour 2 unités.}}

\bigskip

\fbox{Au bout de $30~min$ la quantité de principe actif est $10~mg/L$.}

\bigskip

\textbf{2.} \fbox{Au bout de $2~h$ le principe actif est au maximum, environ $27~mg/L$.}

\bigskip

\textbf{Partie B} 

\bigskip

Pour la boisson \textbf{1.} $d=0,05$ et $V=33~cL$ donc $m=33 \times 0,05 \times 7,9=13,035$

Pour la boisson \textbf{2.} $d=0,12$ et $V=125~mL=12,5~cL$ donc $m=12,5 \times 0,12 \times 7,9=11,85$

\bigskip

\fbox{La boisson \textbf{1.} contient une masse d'alcool supérieure à la boisson \textbf{2.}.}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 7}

\bigskip

\textbf{1.} \fbox{Il y a 5 boulets dans l'empilement à 2 niveaux.}

\bigskip

\textbf{2.} Dans l'empilement à 3 niveaux il y a 1 boulet sur le niveau du haut, 4 boulets sur celui du milieu et 9 boulets sur le niveau du bas. $9+4+1=14$.

\bigskip

\fbox{Il y a 14 boulets sur l'empilement à 3 niveaux.}

\bigskip

\textbf{3.} Observons l'empilement à 4 niveaux.

Il y a 1 boulet sur le niveau 1, 4 sur le niveau 2, 9 sur le niveau 3 et 16 sur le niveau 4.

$16+9+4+1=30$

On peut faire la conjecture que pour passer à l'empilement à 5 niveaux il faut ajouter 25 boulets soit $5^2=25$.

On a ainsi $30+25=55$.

\bigskip

\fbox{L'empilement à 5 niveaux contient 55 boulets de canon.}

\bigskip

\textbf{4.} Nous allons calculer le volume d'un boulet de canon : $V_{boulet}=\dfrac{4}{3} \times \pi \times 6~cm \times 6~cm \times 6~cm=288\pi~cm^3$

\bigskip

Il y a 14 boulets dans l'empilement à 3 niveaux.

$3 \times V_{boulet}=14 \times 288\pi=\np{4032}\pi~cm^3\approx \np{12667}~cm^3$

On sait que $1~m^3=\np{1000}~dm^3=\np{1000000}~cm^3$

Donc le volume de l'empilement à 3 niveaux a un volume d'environ $\np{12667}~cm^3=\np{12,667}~dm^3=\np{0,012667}~m^3$

\bigskip

Or $1~m^3$ pèse $\np{7300}~kg$. Ainsi $\np{0,012667} \times \np{7300}~kg \approx 92~kg$

\bigskip

\fbox{On a prouvé l'affirmation de l'énoncé.}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 8}

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\textbf{1.} Sur les six notes connues, on constate que la plus faible est $6$ et la note la plus forte est $15$. L'étendue de ces six notes est $9$. C'est la même étendue que pour les huits notes. On en déduit que les deux notes manquantes ne peuvent pas être supérieures à $15$ ni inférieures à $6$.

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\fbox{Aucune des notes manquantes ne peut être égale à $16$.}

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\textbf{2.} $75~\%$ des huit élèves ont été reçu. Or $8 \times 0,75=6$. Ainsi $6$ élèves ont eu une note supérieure ou égale à $10$. Parmi les notes connues, seules quatre sont supérieures à 10, il en manque deux.

Les notes $12,5$ et $13,5$ sont donc possibles par rapport à cette information.

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Calculons la moyenne des huit notes :

$m=\dfrac{10+13+15+14,5+6+7,5+12,5+13,5}{8}=\dfrac{92}{8}=11,5$

Cela correspond à nouveau à l'information fournie.

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Calculons la médiane des huit notes. Il s'agit de la moyenne entre la quatrième et cinquième note lorsqu'elles sont classées dans l'ordre croissant.

Voici ce classement : $6$, $7,5$, $10$, $12,5$, $13$, $13,5$, $14,5$, $15$.

Une médiane est une note comprise entre $12,5$ et $13$.

Cela ne correspond pas à l'information de l'exercice.

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\fbox{Les notes manquantes ne sont pas $12,5$ et $13,5$.}

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{\color{blue} \textit{Les notes $12$ et $14$ pourraient être les notes manquantes.}}
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\end{document}
