\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage UTF8 \usepackage{fourier} \usepackage{mathpazo} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{diagbox} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{graphics,graphicx} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=1.5cm, right=1.5cm, top=1cm, bottom=1cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage{scratch} \usepackage{multicol} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[french]{babel} \pagestyle{empty} \setlength{\parindent}{0pt} \begin{document} %{{{ Le sujet \newpage \centerline{\textbf{\Huge DIPL\^OME NATIONAL DU BREVET}} \bigskip \centerline{\Huge SESSION 2018} \vspace{2cm} \fbox{ \fbox{ \begin{minipage}{16cm} \vspace{1cm} \centerline{\textbf{\Huge MATHÉMATIQUES}} \vspace{1cm} \centerline{\LARGE Série générale} \vspace{2cm} \centerline{Durée de l'épreuve : 2h00 \hspace{9cm} 100 points} \vspace{0.5cm} \end{minipage} } } \begin{center} Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet. Ce sujet comporte 7 pages numérotées de la \textbf{page 1 sur 7} à la \textbf{page 7 sur 7}. \vspace{1cm} L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé. \vspace{1cm} Le sujet est constitué de 6 exercices indépendants. Le candidat peut les traiter dans l'ordre qui lui convient. \vspace{1cm} \begin{tabular}{|p{5cm}|c|} \hline Exercice \no 1 & 20 points \\ \hline Exercice \no 2 & 16 points \\ \hline Exercice \no 3 & 16 points \\ \hline Exercice \no 4 & 18 points \\ \hline Exercice \no 5 & 16 points \\ \hline Exercice \no 6 & 14 points \\ \hline \end{tabular} \vspace{1cm} \fbox{ \begin{minipage}{18cm} L'évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus largement, la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches engagées, même non aboutis. \end{minipage} } \vfill \end{center} \textbf{18GENMATPO1 \hfill Page 1 sur 7} \newpage \textbf{Exercice 1 \hfill 20 points} \medskip Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse \textbf{en justifiant soigneusement la réponse.} \medskip \begin{enumerate} \item Scratch souhaite rejoindre un ami, mais il a oublié la fin du trajet. Il décide de finir son trajet en prenant, aux intersections, à droite ou à gauche au hasard. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,1)(10,5) %\psgrid \psline(0,3.1)(3,3.1)(9,4.6) \psline(0,2.9)(3,2.9)(9,1.4) \pspolygon(3.3,3)(6,3.7)(9,3)(6,2.3) \psline(9,4.4)(6.4,3.8)(9,3.18) \psline(9,2.82)(6.4,2.2)(9,1.6) \uput[r](9,4.5){\Large A} \uput[r](9,3){\Large B} \uput[r](9,1.5){\Large C} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Affirmation 1 :} La probabilité qu'il arrive en A, en B ou en C est la même. \item On suppose qu'une éolienne produit $5$~GWh d'électricité par an et qu'une personne a besoin de \np{7000}~kWh d'électricité par an. (Wh : Watt-heure) \textbf{Affirmation 2 :} Une éolienne ne couvre pas les besoins en électricité de \np{1000}~personnes pour un an. \item Voici quatre nombres : $45\,\%\:;\quad\dfrac{305}{612} \:;\quad 0,5 \:;\quad 730 \times 10^{-3}$. \textbf{Affirmation 3 :} Ces quatre nombres sont rangés dans l'ordre croissant. \item L'histogramme ci-dessous représente la répartition des salaires dans une entreprise : \begin{center} \psset{xunit=0.01cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(0,-0.6)(800,5) \psframe(100,2)\psframe(100,0)(200,5)\psframe(200,0)(300,4)\psframe(300,0)(400,3) \psframe(400,0)(800,1) \psframe(500,4)(600,5)\uput[r](600,4.5){\footnotesize 1 bloc = 20 employés} \uput[d](0,0){\np{1400}}\uput[d](100,0){\np{1500}}\uput[d](200,0){\np{1600}} \uput[d](300,0){\np{1700}}\uput[d](400,0){\np{1800}}\uput[d](800,0){\np{2200}} \uput[d](550,-0.4){\footnotesize \emph{source : eduscol.education.fr/ressources-2016}} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Affirmation 4 :} Plus de 40\,\% des employés ont un salaire au moins égal à \np{1700}~\eurologo. \end{enumerate} \vfill \textbf{18GENMATPO1 \hfill Page 2 sur 7} \newpage \textbf{Exercice 2 \hfill 16 points} \medskip Les baleines émettent des sons, de fréquences comprises entre 10~Hz et 10~kHz, qui se propagent dans l'eau à une vitesse d'environ \np{1500}~m/s. L'étude des chants des baleines a pour but d'élucider leur possible signification ; sélection du partenaire sexuel et communication sociale sont des hypothèses envisagées. \medskip \begin{enumerate} \item Convertir la vitesse de propagation de ces sons en km/h. \item Deux groupes de baleines situées au large de l'Alaska communiquent entre eux. \begin{enumerate} \item Calculer la distance séparant les deux groupes de baleines. \emph{Vous donnerez le résultat arrondi à $50$km près.} \begin{center} \includegraphics[width=9cm]{Alaska} \end{center} \item Combien de temps met une onde sonore émise par une baleine du groupe 1 pour parvenir aux baleines du groupe 2 ? \emph{Vous donnerez le résultat arrondi à la minute.} \end{enumerate} \item Le dessin ci-dessous donne une idée de la taille d'une baleine bleue par rapport à celle d'un homme. En considérant que le plongeur sur l'image a une taille égale à $1,75$~m, calculer la taille approximative de la baleine représentée ci-dessous. \emph{Vous donnerez le résultat arrondi au mètre près.} \emph{La démarche et les traces de recherche seront valorisées et prises en compte dans la notation.} \begin{center} \includegraphics[width=12cm]{baleine} \end{center} \end{enumerate} \vfill \textbf{18GENMATPO1 \hfill Page 3 sur 7} \newpage \textbf{Exercice 3 \hfill 16 points} \medskip On demande à quinze élèves d'une classe A et à dix élèves d'une classe B de compter le nombre de SMS qu'ils envoient pendant un week-end. Le lundi on récupère les résultats dans un tableur. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{15}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}c|c|}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M &N &O &P &Q &R\\ \hline 1 &Classe&\multicolumn{15}{|c|}{Nombre de SMS envoyés par élève dans le week-end}&Moy.&Méd.\\ \hline 2 &A &0 &0 &0 &0 &0 &5 &7 &12 &15 &15 &16 &18 &21 &34 &67 & &\\ \hline 3 &B &0 &1 &1 &2 &11 &17 &18 &18 &20 &32 & & & & & &\footnotesize 12 &\footnotesize 14\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le nombre moyen et le nombre médian de SMS envoyés pendant le week-end par ces élèves de la classe A. \item Quelles formules ont pu être écrites dans les cellules Q3 et R3 du tableur ? \item Calculer le nombre moyen de SMS envoyés pendant le week-end par ces $2$5 élèves des classes A et B. \item Calculer le nombre médian de SMS envoyés pendant le week-end par ces $25$ élèves des classes A et B. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 18 points} \medskip \begin{enumerate} \item Le responsable du plus grand club omnisport de la région a constaté qu'entre le 1\up{er} janvier 2010 et le 31 décembre 2012 le nombre total de ses adhérents a augmenté de 10\,\% puis celui-ci a de nouveau augmenté de 5\,\% entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 décembre 2015. Le nombre total d'adhérents en 2010 était de \np{1000}. \begin{enumerate} \item Calculer, en justifiant, le nombre total d'adhérents au 31 décembre 2012. \item Calculer, en justifiant, le nombre total d'adhérents au 31 décembre 2015. \item Martine pense qu'au 31 décembre 2015, il devrait y avoir \np{1150} adhérents car elle affirme : \og \emph{une augmentation de $10$\,\% puis une autre de $5$\,\%, cela fait une augmentation de} 15\,\% \fg. Qu'en pensez-vous? Expliquez votre réponse. \end{enumerate} \item Au 1\up{er} janvier 2017, les effectifs étaient de \np{1260}~adhérents. Voici le tableau de répartition des adhérents en 2017 en fonction de leur sport de prédilection. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline &Effectif en 2017&Angle en degrés correspondant (pour construire le diagramme circulaire)&Fréquence en \%\\ \hline Planche à voile &392 & &\\ \hline Beach volley &224 & &\\ \hline Surf &644 & &\\ \hline Total &\np{1260} &360\degres &100\,\%\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Compléter sur l'annexe, à la fin, la colonne intitulée \og Angle en degrés correspondant \fg. (\emph{Pour expliquer votre démarche, vous ferez figurer sur votre copie les calculs correspondants.}) \item Pour représenter la situation, construire un diagramme circulaire de rayon 4~cm. \item Compléter sur l'annexe la colonne \og Fréquence en \% \fg. (\emph{Pour expliquer votre démarche, vous ferez figurer sur votre copie les calculs correspondants. Vous donnerez le résultat arrondi au centième près.}) \end{enumerate} \end{enumerate} \vfill \textbf{18GENMATPO1 \hfill Page 4 sur 7} \newpage \bigskip \bigskip \textbf{Exercice 5 \hfill 16 points} \medskip \textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip Mario, qui dirige un centre de plongée sous-marine en pleine expansion, décide de construire un bâtiment pour accueillir ses clients lors de la pause déjeuner. Celui-ci sera constitué d'un rez-de-chaussée climatisé servant de réfectoire et d'un étage non climatisé qui pourra être utilisé pour le stockage du matériel de plongée. Pour finir d'établir son budget, il ne lui reste plus qu'à choisir un modèle de climatisation adapté et à calculer la quantité nécessaire de tuiles pour couvrir le toit de sa construction qu'il a schématisé ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Document 1 :} Croquis réalisé par Mario.\\ \begin{center} \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture}(16,9.5) %\psgrid \psframe[linewidth=1.25pt](4.5,1)(9.5,4)%IKDF \psframe(4.5,1)(4.7,1.2)\psframe(9.5,1)(9.3,1.2) \psframe(4.5,4)(4.7,3.8)\psframe(9.5,4)(9.3,3.8) \psline[linewidth=1.25pt](9.5,1)(15.5,3.1)(15.5,6.1)(9.5,4)%KLCD %\psline[linewidth=1.25pt](15.5,6.1) \psline[linewidth=1.25pt](7,4)(7,7.9)(13,10)(15.5,6.1)%EABC \psline[linewidth=1.25pt](4.5,4)(7,7.9)(9.5,4)%FAD \psframe(6,1)(8,2.8) \psline(7,1)(7,2.8) \psline(12.5,2.05)(12.5,3.85) \psarc(7,7.9){0.5}{-90}{-60}\rput(7.3,7){38\degres} \psarc(7,7.9){0.5}{-120}{-90}\rput(6.7,7){38\degres} \rput(2,2.4){FI = DK = CL = 2,70~m} \rput(7,0.3){IK = FD = 5,06~m} \psline{<->}(4.5,0.8)(9.5,0.8) \psline{<->}(4.2,1)(4.2,4) \psline{<->}(9.7,0.8)(15.6,2.9) \psline(11.8,1.8)(11.8,3.6)(13.2,4.1)(13.2,2.3) \rput{19}(12.5,1.5){KL = DC = AB = 13~m} \uput[u](7,7.9){A} \uput[u](13,10){B} \uput[ur](15.5,6.1){C} \uput[dr](9.5,4){D} \uput[ul](4.5,4){F} \uput[dl](4.5,1){I} \uput[dr](9.45,1){K} \uput[r](15.5,3.1){L} \uput[d](7,4){E}\psframe(7,4)(7.2,4.2) \psline(5.7,3.9)(5.8,4.1)\psline(5.8,3.9)(5.9,4.1) \psline(8.2,3.9)(8.3,4.1)\psline(8.3,3.9)(8.4,4.1) \psline(7.15,7.7)(7.35,7.8)(7.25,8) \end{pspicture} \end{center} \smallskip Le croquis n'est pas réalisé à l'échelle. Les deux pentes (ou versants) de la toiture forment un angle $\widehat{\text{FAD}}$ de mesure $76$\degres{} qui est partagé en deux parties égales de $38$\degres.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Document 2 :} Tuiles plates choisies par Mario pour recouvrir son toit.\\ \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{center}\begin{pspicture}(4,3.9) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0,3.8)(2.8,3.9)(3.7,2.2)(3.15,2.18)(3.5,1.4)(3.05,1.35)(3.4,0.5)(0.4,0) \psline[linewidth=1.25pt](2,3.9)(2.8,2.1) \psline[linewidth=1.25pt](1,3.85)(1.8,2.) \psline[linewidth=1.25pt](0,3.4)(0.65,1.9) \psline[linewidth=1.25pt](0,1.9)(3.7,2.2) \psline[linewidth=1.25pt](2.3,2.1)(2.6,1.3) \psline[linewidth=1.25pt](1.15,1.95)(1.5,1.1) \psline[linewidth=1.25pt](0,1.65)(0.3,0.9) \psline[linewidth=1.25pt](2,1.2)(2.35,0.4) \psline[linewidth=1.25pt](0.9,1)(1.2,0.2) \psline[linewidth=1.25pt](3.5,1.4)(0,0.9) \psline[linewidth=1.25pt](3.4,0.5)(0.35,0) %\psgrid \end{pspicture} \end{center}}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{ Prévoir $26$ tuiles par m$^2$ \medskip Prix : $0,65$ eurologo l'unité.}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item \textbf{PARTIE 1 :} Calcul du budget correspondant aux tuiles. \smallskip \begin{enumerate} \item Calculer AD. \emph{Vous donnerez le résultat arrondi au centimètre près}. \item Calculer AE. \emph{Vous donnerez le résultat arrondi au centimètre près}. \item En déduire le prix des tuiles nécessaires à la couverture des deux pentes du toit. \end{enumerate} \item \textbf{PARTIE 2 :} Choix d'un climatiseur adapté. \smallskip À l'aide des documents, faire un choix de climatiseur raisonné, adapté et le moins cher possible pour climatiser le rez-de-chaussée du bâtiment, c'est dire à dire le réfectoire. \vfill \textbf{18GENMATPO1 \hfill Page 5 sur 7} \newpage \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Document 3 :} Comment choisir un climatiseur ?\\[4pt] Étape 1 : Connaître la puissance frigorifique nécessaire.\\[4pt] Celle-ci dépend du volume des pièces à refroidir. La puissance de froid s'exprime en BTU qui est une unité de mesure frigorifique. Le tableau ci-dessous fait la correspondance entre le volume du bâtiment à refroidir et la puissance en BTU nécessaire. \begin{center} \begin{tabular}{|m{2cm}|c|}\hline Volume &Puissance frigorifique\\ \hline 100 m$^3$ &\np{12000} BTU\\ \hline 150 m$^3$ &\np{18000} BTU\\ \hline 250 m$^3$ &\np{25000} BTU\\ \hline 300 m$^3$ &\np{33000} BTU\\ \hline 350 m$^3$ &\np{41000} BTU\\ \hline 400 m$^3$ &\np{49000} BTU\\ \hline 450 m$^3$ &\np{56000} BTU\\ \hline 500 m$^3$ &\np{62000} BTU\\ \hline \multicolumn{2}{r}{\hfill \footnotesize \emph{BTU : British Thermal Unit}} \end{tabular} \end{center} \medskip Étape 2 : Choisir le climatiseur le plus adapté.\\[4pt] \begin{center} \begin{tabular}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}c|}}\hline Modèle de différentes marques &Type & Puissance frigorifique&Prix T.T.C. en Euros\\ \hline Freez 4000 &monobloc &\np{15000} BTU &880\\ \hline Freez 8000 &monobloc &\np{22000} BTU &\np{1050}\\ \hline Air 10 pingouin &Bi-split &\np{27000} BTU &990\\ \hline Air 100 phoque &Bi-split &\np{39000} BTU &\np{1390}\\ \hline Pôle Nord 500 &Quadri-split &\np{48000} BTU &\np{1180}\\ \hline Laponglace &Quadri-split &\np{50000} BTU &\np{2300}\\ \hline Maxi Everest $+$ &Quadri-split &\np{53000} BTU &\np{1990}\\ \hline Froid Extrême 2000 &Inverter &\np{55000} BTU &\np{2650}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \vfill \textbf{18GENMATPO1 \hfill Page 6 sur 7} \newpage \textbf{Exercice 6 \hfill 14 points} \medskip Voici un script saisi par Alice dans un logiciel d'algorithmique. \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{X} \begin{scratch} \blockinit{quand \greenflag est cliqué} \blocksensing{demander \txtbox{Choisissez un nombre ?} et attendre} \blockevent{envoyer à tous \ovalvariable{le nombre a été saisi}} \blockvariable{mettre \ovalvariable{Nombre} \`a \ovaloperator{\ovalvariable{réponse} }} \blockvariable{mettre \ovalvariable{Résultat 1} \`a \ovaloperator{2*\ovalvariable{Nombre} +3}} \blockvariable{mettre \ovalvariable{Résultat 1} \`a \ovaloperator{Résultat 1}*\ovaloperator{Résultat 1}} \blocklook{dire \txtbox{regroupe} \ovalvariable{le résultat 1 est \ovaloperator{Résultat 1}}pendant \ovalnum{2} secondes} \end{scratch}\\[5pt] \begin{scratch} \blockinit{quand je reçois \txtbox{le nombre a été saisi}} \blockvariable{mettre \ovalvariable{Résultat 2} \`a \ovaloperator{Nombre}*\ovaloperator{Nombre}} \blockvariable{mettre \ovalvariable{Résultat 2} \`a \ovaloperator{Résultat 2}*\ovaloperator{4}} \blockvariable{mettre \ovalvariable{Résultat 2} \`a \ovaloperator{Résultat 2}+\ovaloperator{12}*\ovaloperator{Nombre}} \blockvariable{mettre \ovalvariable{Résultat 2} \`a \ovaloperator{Résultat 2}+\ovaloperator{9}} \blockcontrol{attendre \ovalnum{3} seconde} \blocklook{dire \txtbox{regroupe} \ovalvariable{le résultat 2 est \ovaloperator{Résultat 2} }} \end{scratch}\\ \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Alice a choisi 3 comme nombre, calculer les valeurs de Résultat 1 et de Résultat 2 ? \emph{Justifier en faisant apparaître les calculs réalisés}. \item Généralisation \begin{enumerate} \item En appelant $x$ le nombre choisi dans l'algorithme, donner une expression littérale traduisant la première partie de l'algorithme correspondant à Résultat 1. \item En appelant $x$ le nombre choisi dans l'algorithme, donner une expression littérale traduisant la deuxième partie de l'algorithme correspondant à Résultat 2. \item Trouver le ou les nombres choisis par Alice qui correspondent au résultat affiché ci-dessous. \begin{center} \ovallook{Résultat 2 \ovalnum{9}} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \vfill \textbf{18GENMATPO1 \hfill Page 7 sur 7} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \vspace{2cm} \textbf{À DÉTACHER DU SUJET ET À JOINDRE AVEC LA COPIE} \vspace{3cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 4 question 2 :} \end{flushleft} \vspace{1cm} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\textbf{Effectif en 2017}&\textbf{Angle en degrés correspondant} &\textbf{Fréquence en \%}\\ \hline Planche à voile &392 & &\\ \hline Beach volley &224 & &\\ \hline Surf &644 & &\\ \hline \textbf{Total} &\np{1260} &360\degres &100\,\%\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{center} %}}} \newpage %{{{ Correction \newpage \centerline{\Huge Correction} \bigskip \centerline{\Large Polynésie - Juin 2018 - Mathématiques} \vspace{1cm} \textit{Ce document est une correction commentée du sujet de brevet. Les commentaires ne font pas partie de la rédaction demandée lors de l'épreuve. Pour certains exercices plusieurs solutions sont proposées. Au brevet une seule solution est demandée et parfois même sans justification quand c'est précisé dans le sujet !} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 1} : Quatre affirmations \bigskip {\footnotesize \textbf{Connaissances : } \begin{itemize} \item Probabilités \item Préfixes \item Pourcentage \item Fractions \item Puissances \end{itemize} } \normalsize \bigskip \textbf{Affirmation 1} Il y a 4 chemins possibles : 1 qui conduit à A, 2 qui conduisent à B, 1 qui conduit à C. La probabilité de se rendre vers B est donc égale à $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ alors qu'elle est de $\dfrac{1}{4}$ pour chacun des deux autres. \bigskip \fbox{Affirmation 1 est fausse.} \bigskip \textbf{Affirmation 2} G signifie giga soit un milliard. k signifie kilo, mille et M méga soit un million. \smallskip $5~GWh=5~000~000~000~Wh=5~000~000~kWh$ \smallskip $1000 \times 7~kWh=7~000~kWh=7~MWh$ \bigskip \fbox{Affirmation 2 est fausse, une éolienne couvre largement les besoins de 1000 personnes.} \bigskip \textbf{Affirmation 3} $45~\%=\dfrac{45}{100}=0,45$ $\dfrac{305}{612}\approx 0,498$ \smallskip $730\times 10^{-3}=0,730$ \smallskip Ainsi $45~\% < \dfrac{305}{612} < 0,5 < 730 \times 10^{-3}$ \bigskip \fbox{L'affirmation 3 est vraie.} \bigskip \textbf{Affirmation 4} Il faut compter les blocs de 20 employés ! Il y en a 18 au total soit $18\times 20=360$ employés. Il y a 7 blocs soit $140$ employés qui gagnent $1~700$~\eurologo au moins. \smallskip $\dfrac{140}{360} \approx 0,389$ \bigskip \fbox{Affirmation 4 fausse : moins de $40~\%$ des employés gagnent au moins $1~700$\eurologo} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2} : Les baleines \bigskip {\footnotesize \textbf{Connaissances : } \begin{itemize} \item Vitesse \item Échelle \end{itemize} } \normalsize \bigskip \textbf{1.} Le son se propage dans l'eau à la vitesse de $1~500~m/s$ soit $1~500~m$ en $1~s$. Il y a $60~s$ dans une minute et $60~min$ dans une heure soit $1~h=60\times 60~s=3~600~s$. $3~600 \times 1~500~m=5~400~000~m=5~400~km$ \bigskip \fbox{Le son se propage à $5~400~km/h$} \bigskip \textbf{2.a} Il faut mesurer la distance entre les deux groupes sur la carte et mesurer le segment qui fournit l'échelle. Attention, l'impression ou la lecture sur écran de ce sujet ne donnera pas forcément la même longueur pour l'échelle et l'écartement des points. Cependant cela n'a pas d'importance puisque c'est le rapport entre la longueur mesurée et l'échelle qui nous intéresse. En ce qui me concerne, en mesurant sur l'écran de l'ordinateur sur lequel je compose cette correction, voici ce que j'obtiens en unité arbitraire : $55~u$ pour la distance entre les deux groupes et $10~u$ pour l'échelle soit un rapport de $\dfrac{55}{10}=0,55$ Or $0,55 \times 1~000~km=550~km$ \bigskip \fbox{Les deux groupes sont distants de $550~km$.} \bigskip \textbf{2.b} $550~km=550~000~m$. La vitesse de propagation du son est de $1~500~m$ par seconde. $550~000~m \div 1~500~m \approx 367$. \smallskip Le son met environ $367~s$ à se propager. Or $367~s=6\times 60~s+7~s$ \bigskip \fbox{Le son se propage en environ $6~min$.} \bigskip \textbf{3.} Là encore les mesures prises sur l'écran sont sans importance, seul compte le quotient. De la tête au pied, le plongeur mesure environ $2~u$ sur mon écran. En ajoutant la longueur de deux segments pour représenter la courbure de la baleine, je mesure : $26~u+8~u=34~u$ \smallskip La baleine est donc $\dfrac{34~u}{2~u}=17$ fois plus grande que le plongeur. \smallskip $17\times 1,75~m=29,75~m$ \bigskip \fbox{Cette baleine mesure environ $30~m$.} D'après Wikipédia une baleine bleue peut en effet mesurer $30~m$ pour une masse de $180$~tonnes ! \vspace{1cm} \textbf{Exercice 3} : Les SMS \bigskip {\footnotesize \textbf{Connaissances : } \begin{itemize} \item Statistiques \item Médiane \item Moyenne \item Tableur \end{itemize} } \normalsize \bigskip \textbf{1.} Pour calculer la moyenne des envoies de la classe $A$ il faut effectuer : \smallskip $\dfrac{0+0+0+0+0+5+7+12+15+15+16+18+21+34+67}{15}=\dfrac{210}{15}=14$ \bigskip \fbox{La classe A a envoyé $14$ SMS en moyenne ce week-end.} \bigskip Les résultats sont classés par ordre croissant. La médiane de cette série de $15$ résultats est la huitième valeur. \bigskip \fbox{La médiane de cette série est $12$.} \bigskip \textbf{2.} Dans les programmes officiels la connaissance des fonctions du tableur n'est pas explicitée. On peut dans le cas de cet exercice utiliser la fonction $=SOMME(A1:A10)$ qui ajoute les termes de $A1$ à $A10$, on peut utiliser la fonction $=MOYENNE(A1:A10)$ qui calcule la moyenne de cette série ou encore $=MEDIANE(A1:A10)$ qui calcule la médiane. Je fais le choix de n'utiliser aucune des ces fonctions ce qui suppose pour la médiane que l'on sait que la valeur cherchée est le huitième. \bigskip \fbox{Dans $Q3$ on écrit $=(B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2+I2+J2+K2+L2+M2+N2+P2)/15$.} \bigskip \fbox{Dans $R3$ on écrit $=I2$.} \bigskip \textbf{3.} Il faut calculer : \smallskip $\dfrac{210+0+1+1+2+11+17+18+18+20+32}{25}=\dfrac{210+120}{25}=\dfrac{330}{25}=13,2$ On pouvait calculer la somme de la classe $B$ en multipliant la moyenne $12$ par $10$ l'effectif ! \bigskip \fbox{La moyenne sur les deux classes est de $13,2$ SMS ce week-end.} \bigskip \textbf{4.} L'effectif est maintenant de $25$ personnes, la valeur médiane est donc la treizième. Voici le classement : 0 ; 0 ; 0; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 11 ; 12 ; 15 ; 15... \bigskip \fbox{La médiane de cette série est $15$.} \bigskip Attention la médiane des deux séries n'est pas la moyenne des médianes ! \vspace{1cm} \textbf{Exercice 4} : Le club omnisport \bigskip {\footnotesize \textbf{Connaissances : } \begin{itemize} \item Pourcentage \item Proportionnalité \item Tracé d'un diagramme circulaire \end{itemize} } \normalsize \bigskip \textbf{1.a} Il y avait $1~000$ adhérents en $2010$ et ce nombre a augmenté de $10~\%$. \smallskip On peut de manière simple calculer $10~\%$ de $1~000$ soit $1~000 \times \dfrac{10}{100}=1~000 \times 0,10=100$. \smallskip On ajoute ensuite $1~000+100=1~100$. \bigskip Une méthode plus experte consiste à utiliser le coefficient multiplicatif qui correspond à une augmentation de $10~\%$. \smallskip Ce coefficient est $1+\dfrac{10}{100}=1+0,10=1,10$. \smallskip $1~000 \times 1,10=1~100$ \bigskip \fbox{Il y avait $1~100$ adhérents en 2012.} \bigskip \textbf{1.b} On applique directement le coefficient multiplicatif qui correspond à une augmentation de $5~\%$ soit $1,05$. $1~100 \times 1,05=1~155$ \bigskip \fbox{Il y avait $1~155$ adhérents en 2015.} \bigskip \textbf{1.c} On ne peut pas ajouter les pourcentages car ils ne s'appliquent pas aux mêmes nombres. En reprenant les coefficients multiplicateurs, on constate que l'on a multiplié par $1,10$ puis par $1,05$. \smallskip $1~000 \times 1,10=1~100$ puis $1~100 \times 1,05=1~155$ On a donc effectué : $1~000\times 1,10 \times 1,05=1~000 \times 1,155$ et non pas $1~000 \times 1,15$. \smallskip D'ailleurs $1,155=1+\dfrac{15,5}{100}$ \bigskip \fbox{C'est faux, cela fait une augmentation de $15,5~\%$.} \bigskip \textbf{2.ac} On compléte le tableau en utilisant des produits en croix. Les fréquences en pourcentages et les angles sont en effet proportionnels aux effectifs. On peut calculer les fréquences en pourcentages en divisant les effectifs par l'effectif total. On peut aussi obtenir la colonne des angles en multipliant les fréquences en pourcentages par $360^o$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\textbf{Effectif en 2017}&\textbf{Angle en degrés correspondant} &\textbf{Fréquence en \%}\\ \hline & & & \\ Planche à voile &392 &$\frac{392}{1~260} \times 360$\degres~$=112$\degres &$\frac{392}{1~260}\times 100\approx 31,11~\%$\\ & & & \\ \hline & & & \\ Beach volley &224 &$\frac{224}{1~260} \times 360$\degres~$=64$\degres &$\frac{224}{1~260}\times 100\approx 17,78~\%$\\ & & & \\ \hline & & & \\ Surf &644 &$\frac{644}{1~260} \times 360$\degres~$=184$\degres &$\frac{644}{1~260}\times 100\approx 51,11~\%$\\ & & & \\ \hline & & & \\ \textbf{Total} &\np{1260} &360\degres &100\,\%\\ & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{2.b} \begin{center} \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \pscircle(0,0){4cm} \pswedge[fillcolor=gray, fillstyle=solid](0,0){4cm}{0}{112} \pswedge[fillcolor=red, fillstyle=solid](0,0){4cm}{112}{176} \pswedge[fillcolor=cyan, fillstyle=solid](0,0){4cm}{176}{360} \rput(2,1){\large Planche à voile} \rput(-2,1){\large Beach volley} \rput(1,-1.5){\large Surf} \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 5} : Le toit et le climatiseur \bigskip {\footnotesize \textbf{Connaissances : } \begin{itemize} \item Trigonométrie \item Aire \item Volume d'un pavé \end{itemize} } \normalsize \bigskip \textbf{1.a} Dans le triangle $ADE$ rectangle en $E$ On a $ED=5,06m \div 2=2,53~m$ car $E$ est le milieu de $[FD]$. \bigskip $\sin\widehat{EAD}=\dfrac{ED}{DA}$ donc $\sin38\degres=\dfrac{2,53}{DA}$ donc $AD=\dfrac{2,53}{\sin38\degres}\approx 4,11$ \bigskip \fbox{$AD\approx 4,11~m$} \bigskip \textbf{1.b} Dans le triangle $ADE$ rectangle en $E$ On a $ED=5,06m \div 2=2,53~m$ car $E$ est le milieu de $[FD]$. \bigskip $\tan\widehat{EAD}=\dfrac{ED}{EA}$ donc $\tan38\degres=\dfrac{2,53}{EA}$ donc $EA=\dfrac{2,53}{\tan38\degres}\approx 3,23$ \bigskip \fbox{$EA\approx 3,23~m$} \bigskip \textbf{1.c} Le toit est constitué de deux rectangles mesurant $3,23~m$ de large sur $4,11~m$ de long. La surface du toit est donc : $2\times 4,11~m \times 3,23~m=26,5506~m^2$ \bigskip Il faut prévoir $26$ tuiles par $m^2$. Or $26 \times 26,5506=690,3156$ Nous allons donc acheter $691$ tuiles (j'en aurai bien pris au moins $700$ !). \bigskip $691 \times 0,65$~\eurologo$=449,15~$\euro ($455~$\euro pour $700$ tuiles). \bigskip \fbox{Il faut prévoir environ $450$~\eurologo pour l'achat des tuiles.} \bigskip \textbf{2.} D'après l'énoncé, que je ne trouve pas très précis, il faut climatiser le rez-de-chaussée, je comprends qu'il s'agit de la partie en forme de pavé droit. On pourrait faire le calcul en ajoutant la partie sous le toit, il faut alors considérer un prisme droit dont la base est un triangle isocèle. \bigskip Calculons le volume du pavé droit : $V=13~m \times 5,06~m \times 2,70~m=177,606~m^3$ Nous allons donc nous diriger vers une climatisation pour environ $150~m^3$ soit une puisance calorifique de $18~000~BTU$. \bigskip \fbox{Le Freez 8000 correspond à la demande, il coûte $1~050~$\eurologo.} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 6} : Scratch \bigskip {\footnotesize \textbf{Connaissances : } \begin{itemize} \item Scratch \item Programme de calcul ; \item Équation produit \end{itemize} } \normalsize \bigskip \textbf{1.} Dans la première partie du programme, en partant du nombre $3$ au départ, on trouve successivement : Résultat1 reçoit $2\times 3+3=6+3=9$. Puis Résultat1 reçoit $9\times 9=81$. Le programme affiche ainsi le résultat1 est $81$. \bigskip Résultat2 reçoit $3\times 3=9$, puis Résultat2 reçoit $9\times 4=36$. Ensuite Résultat2 reçoit $36+12\times3=36+36=72$ et enfin Résultat2 reçoit $72+9=81$ Le programme affiche le résultat2 est $81$ \bigskip \fbox{Résultat1 et Résultat2 sont égaux à $81$.} \bigskip \textbf{2.a} Posons $x$ le nombre de départ. Résultat1 reçoit $2\times x+3=2x+3$ puis Résultat1 reçoit $(2x+3)(2x+3)$ \bigskip \textbf{2.b} Posons $x$ le nombre de départ. Résultat2 reçoit $x \times x=x^2$ puis Résultat2 reçoit ensuite $x^2 \times 4=4x^2$. Ensuite Résultat2 reçoit $4x^2+12\times x=4x^2+12x$ et enfin Résultat2 reçoit $4x^2+12x+9$. \bigskip \textbf{2.c} Il faut résoudre l'équation : $$4x^2+12x+9=9$$ $$4x^2+12x=0$$ Il faut penser à factoriser pour poursuivre : $$4x(x+3)=0$$ Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul. \begin{multicols}{2} $$4x=0$$ $$x=0$$ \columnbreak $$x+3=0$$ $$x=-3$$ \end{multicols} \fbox{Il y a deux nombres de départ qui donnent $9$ à la fin : $0$ et $-3$.} \bigskip Il est surprenant qu'on ne nous ait pas demandé pourquoi le Résultat1 et le Résultat2 étaient identiques dans tous les cas. On a en effet : $(2x+3)(2x+3)=4x^2+6x+6x+9=4x^2+12x+9$ %}}} \end{document}