2020 : quelques propriétés mathématiques du nouveau millésime

Publié par Fabrice ARNAUD le

Toutes les occasions sont bonnes de faire des mathématiques. Les questions les plus saugrenues cachent souvent des problèmes insoupçonnés et des surprises étonnantes. Je vous propose ci-dessous une sélection non exhaustive de propriétés mathématiques qui concerne le nouveau millésime : $2~020$.

En binaire, en ternaire, en octal, en hexadécimal…

$2~020=1~024+512+256+128+2$ donc $2~020=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^1$

$2~020 \equiv _2 11110000010$

 

$2~020=2\times 3^6+2\times 3^5+2\times 3^3+2\times 3^2+3^1+3^0$

$2~020 \equiv_3 2202211$

 

$2~020=3\times 8^3+7\times 8^2+4 \times 8+4$

$2~020 \equiv_8 3744$

 

$2~020=7\times 16^2+14\times 16+4$

$2~020 \equiv_{16} 7E4$

Décomposition en facteurs premiers

$2~020=2^2 \times 5 \times 101$

$2~020$ n’est donc pas un nombre premier : c’est un nombre composé.

Théorème de Pythagore

$2~020=16^2+42^2$

$2~020=24^2+38^2$

Somme de quatre carrés

D’après le théorème des quatre carrés de Lagrange, tous les nombres entiers peuvent s’écrire sous la forme de la somme de quatre carrés.

$2~020=17^2+19^2+23^2+29^2$

Les diviseurs de $2~020$

$2~020=2^2 \times 5^1 \times 101^1$, il possède donc $(2+1)\times (1+1)\times (1+1)=3 \times 2 \times 2=12$ diviseurs (produit des exposants augmenté d’une unité).

Voici la liste des $12$ diviseurs  de $2~020$ :

$1$ ; $2$ ; $4$ ; $5$ ; $10$ ; $20$ ; $101$ ; $202$ ; $404$ ; $505$ ; $1~010$ ; $2~020$

Suite aliquote

Une suite aliquote est une suite où chaque terme est la somme des diviseurs propres (les diviseurs du nombre sauf le nombre lui-même) de son prédécesseur.

Voici la suite aliquote dont le premier terme est $2~020$ :

$u_0=2~020$

La somme des diviseurs propres de $2~020$ est : $\sigma(2~020)=1+2+4+5+10+20+101+202+404+505+1~010=2~264$

$2~020$ est un nombre abondant : la somme de ses diviseurs propres est supérieure à lui-même.

$u_1=2~264$ et $2~264=2^3 \times 283$

$u_2=1+2+4+8+283+566+1~132=1~996$ et $1~996=2^2 \times 499$

$u_3=1+2+4+499+998=1~504$ et $1~504=2^5 \times 47$

$u_4=1+2+4+8+16+32+47+94+188+376+752=1~349$ et $1~349=19 \times 71$

$u_5=1+19+71=91$ or $91$ est premier.

$u_6=1$

La suite aliquote cherchée est $2~020$ ; $2~264$ ; $1~996$ ; $1~504$ ; $1~349$ ; $91$ ; $1$ ; $1$ ; …

Nombre ayant $2~020$ diviseurs

Le plus petit entier ayant exactement $2~020$ diviseurs est :

Comme $2~020=2 \times 2 \times 5 \times 101$

$2^{100} \times 3^4 \times 5 \times 7=3~593~789~451~647~030~353~243~153~587~240~960$

Conjecture de Syracuse

La conjecture de Syracuse ou conjecture $3n+1$ consiste à se demander si en partant d’un nombre entier et en appliquant l’algorithme suivant, on arrive à un moment donné au nombre 1 :

  • si le nombre est pair, on divise par 2 ;
  • si le nombre est impair, on multiplie par 3 et on ajoute 1.

En partant de $2~020$ on obtient la suite de Syracuse suivante :

$2~020$ ; $1~010$ ; $505$ ; $1~516$ ; $758$ ; $379$ ; $1~138$ ; $569$ ; $1~708$ ; $854$ ; $427$ ; $1~282$ ; $641$ ; $1~924$ ; $962$ ; $481$ ; $1~444$ ; $722$ ; $361$ ; $1~084$ ; $542$ ; $271$ ; $814$ ; $407$ ; $1~222$ ; $611$ ; $1~834$ ; $917$ ; $2~752$ ; $1~376$ ; $688$ ; $344$ ; $172$ ; $86$ ; $43$ ; $130$ ; $65$ ; $196$ ; $98$ ; $49$ ; $148$ ; $74$ ; $37$ ; $112$ ; $56$ ; $28$ ; $14$ ; $7$ ; $22$ ; $11$ ; $34$ ; $17$ ; $52$ ; $26$ ; $13$ ; $40$ ; $20$ ; $10$ ; $5$ ; $16$ ; $8$ ; $4$ ; $2$ ; $1$ ; $4$ ; $2$ ; $1$ ; …

Pour $2~020$ voici quelques caractéristiques de cette suite :

  • le temps de vol est $63$ ;
  • le temps de vol en altitude est $0$ ;
  • l’altitude maximale est $2~752$.

Nombres autobiographiques

$2~020$ est le deuxième nombre autobiographique.

Un nombre autobiographique est un nombre en base 10 de moins de 10 chiffres où le chiffre de rang $p$ en partant de la gauche indique le nombre de fois où apparaît le chiffre $p-1$.

$1~210$ est le plus petit nombre autobiographique : il contient $1$ zéro, $2$ uns, $1$ deux et $0$ trois.

$2~020$ contient $2$ zéros, $0$ un, $2$ deux et $0$ trois.

Les nombres autobiographiques sont $1~210$, $2~020$, $21~200$, $3~211~000$, $42~101~000$, $521~001~000$ et $6~210~001~000$.

$2~020$ dans les décimales de nombres célèbres

D’après le site dcode, $2~020$ apparaît :

  • en $7~285~\iem$ position dans les décimales de $\pi$ ;
  • en $15~490~\ieme$ position dans les décimales de $e$ le nombre d’Euler ;
  • en $19~230~\iem$ position dans les décimales de $\phi$ le nombre d’or ;
  • en $20~114~\ieme$ position dans les décimales de $\gamma$ la constante gamma d’Euler-Mascheroni ;
  • en $6~970~\ieme$ position dans les décimales du nombre de Champernowne ;
  • en $12~979~\ieme$ position dans les décimales de $\sqrt{2}$ ;
  • en $2~401~\ieme$ position dans les décimales de $\sqrt{3}$ ;
  • en $19~095~\ieme$ position dans les décimales de $\sqrt{5}$ ;
  • en $1~134~\ieme$ position dans les décimales de $\sqrt{7}$?

La formule la moins chère de l’année

Je ne sais plus où j’ai lu pour la première fois les règles du jeux suivant. Je le trouve cependant chaque année très amusant et riche en mathématiques. Je ne sais d’ailleurs pas si cette question porte un nom connu et si des résultats sérieux ont été découverts à son sujet.

L’objectif est d’écrire l’expression la moins chère égale à $2~020$ en respectant les règles suivantes :

  • $2$ et $0$ sont interdits (les chiffres du millésime) ;
  • $1$ coûte $1$ euro, $3$, $3$ euros, $4$, $4$ euros…
  • un symbole opératoire $+$, $-$, $\times$, $\div$ coûte chacun $1$ euro ;
  • la racine carrée, le passage à l’exposant, la factorielle coûte chacun $1$ euro ;
  • une parenthèse ouvrante coûte $1$ euro, la parenthèse fermante aussi.

Je tente :

$2~020=13^3-177$ : elle coûte $1+3+1+3+1+1+7+7=24$ euros

Peut-on faire mieux ?

Congruent

Un nombre entier est congruent s’il est l’aire d’un triangle rectangle dont les trois côtés sont des nombres rationnels.

$2~020$ est-il congruent ? On ne sait pas. Mais il est congru à 4 modulo 8 ce qui n’en fait pas un bon candidat.

 

 


    4 commentaires

    Pierre · lundi 6 janvier 2020 à 22:41

    Belle liste !!
    Je connaissais pas les nombres autobiographiques, c’est bien marrant ! 😀

    deterville · mercredi 8 janvier 2020 à 23:10

    Bonjour,

    je ne suis pas tout à fait d’accord avec vos triplets pythagoriciens car 2020 n’est pas un carré parfait. (3;4;5) est, par exemple, un triplet pythagoricien car 5² = 3² + 4²

      Fabrice ARNAUD · vendredi 10 janvier 2020 à 16:12

      Vous avez tout à fait raison… je me suis emballé… j’avais commencé par appeler cette partie, théorème de Pythagore… et je corrige
      Merci 🙂

        deterville · vendredi 10 janvier 2020 à 18:21

        Bonjour,

        J’appellerais plutôt cette partie « somme de deux carrés » car le théorème de Pythagore n’est pas très adapté étant donné qu’il n’y a pas de carrés à cause du signe égal.

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