Enseigner les mathématiques au collège

Ajustements et clarification du programme de mathématiques au collège

Le 18 juin 2018 a été publié sur le site du ministère de l’Education Nationale, un projet d’ajustement des programmes de mathématiques du collège.

Par une lettre de saisine du 31 janvier 2018, le ministre de l’Éducation nationale a demandé au CSP de clarifier les programmes de français, de mathématiques et d’enseignement moral et civique pour la scolarité obligatoire. En parallèle, le Conseil s’est autosaisi le 8 mars 2018 afin d’effectuer le même travail concernant les programmes de sciences pour la scolarité obligatoire. Les groupes d’experts missionnés par le CSP pour élaborer ces propositions de clarification et d’ajustements ont récemment transmis leurs travaux aux membres du Conseil. Ces derniers ont voté l’ensemble des textes lors de trois séances plénières tenues en mai et juin 2018. Dans chaque projet, les groupes d’experts ont précisé les repères annuels de progressivité afin d’aider les professeurs à mieux organiser leur enseignement au fil du cycle. Ces repères annuels seront plus précisément développés par la Direction générale de l’enseignement scolaire (DGESCO) du ministère de l’Éducation nationale, pour les mathématiques et le français.

Analyse du projet d’ajustement des programmes

Après lecture attentive du projet voici les différences que j’ai pu observer avec les programmes officiels publiés en 2016.

Première chose qui évolue, on constate que les programmes sont maintenant déclinés en Connaissances et Compétences associées et non plus en colonne avec les exemples comme dans la version de 2016.

Cycle 3 : CM1, CM2 et Sixième

À l’introduction du cycle 3 est ajouté le paragraphe suivant concernant les grandeurs :

Les grandeurs font l’objet d’un enseignement structuré et explicite, une bonne connaissance des unités du système international de mesure étant visée. L’étude des préfixes des unités de mesure décimales, en lien avec les unités de numération, facilite la compréhension et l’apprentissage des unités de mesure de la plupart des grandeurs relevant du cycle 3. Dans le prolongement du travail mené au cycle 2, l’institutionnalisation des savoirs dans un cahier de leçon est essentielle. L’introduction et l’utilisation des symboles mathématiques sont réalisées au fur et à mesure qu’ils prennent sens dans des situations basées sur des manipulations, en relation avec le vocabulaire utilisé, assurant une entrée progressive dans l’abstraction qui sera poursuivie au cycle 4. La verbalisation reposant sur une syntaxe et un lexique adaptés est encouragée et valorisée en toute situation et accompagne le recours à l’écrit. 

Nombres et calculs

Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux

Quelques ajustements au sujet des fractions :

  • Connaître diverses désignations des fractions : orales, écrites et décompositions additives et multiplicatives (ex : quatre tiers ; 4/3 ; 1/3+1/3+1/3+1/3 ; 1+1/3 ; 4×1/3) ;
  • Comparer deux fractions de même dénominateur ;
  • Connaître des égalités entre des fractions usuelles (exemples : 5/10=1/2 ; 10/100 = 1/10 ; 2/4=1/2). Utiliser des fractions pour exprimer un quotient.
Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux
  • Mobiliser les faits numériques mémorisés au cycle 2, notamment les tables de multiplication jusqu’à 9.
  • Connaître les multiples de 25 et de 50, les diviseurs de 100.
  • Connaître des propriétés de l’addition, de la soustraction et de la multiplication, et notamment :
    • 12+199 = 199+12
    • 27,9+1,2+0,8 = 27,9+2
    • 3,2 ×25×4 = 3,2 ×100
    • 45×21 = 45×20 + 45
    • 6×18 = 6×20 – 6×2
    • 23×7 + 23×3 = 23×10

Grandeurs et mesures

Le second paragraphe d’introduction a été modifié :

Mesurer une grandeur consiste à déterminer, après avoir choisi une unité, combien d’unités ou de fractionnements de cette unité sont contenus dans cette grandeur, pour lui associer un nombre (entier ou non). Les opérations sur les grandeurs permettent de donner du sens aux opérations sur leurs mesures (par exemple, la somme 30cm+15cm peut être mise en relation avec la longueur de deux bâtons de 30cm et 15cm, mis bout à bout). Les notions de grandeur et de mesure de la grandeur se construisent dialectiquement, en résolvant des problèmes faisant appel à différents types de tâches (comparer, estimer, mesurer). Dans le cadre des grandeurs, la proportionnalité sera mise en évidence et convoquée pour résoudre des problèmes dans différents contextes.

Espace et géométrie

Se repérer et se déplacer dans l’espace
  • Programmer les déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur un écran en utilisant un logiciel de programmation :
    • Vocabulaire permettant de définir des positions et des déplacements (tourner à gauche, à droite ; faire demi-tour, effectuer un quart de tour à droite, à gauche).
Reconnaître et utiliser quelques relations géométriques
  • Médiatrice d’un segment :
    • Définition : droite perpendiculaire au segment en son milieu.
    • Caractérisation : ensemble des points équidistants des extrémités du segment.

Cycle 4 : Cinquième, quatrième et troisième

L’introduction a été totalement remodelée, voici quelques extraits :

La logique de cycle doit assurer la stabilité et la pérennité des apprentissages. Afin d’éviter le risque de reporter à la dernière année du cycle les apprentissages jugés délicats, la plupart des notions doivent être abordées dès la première année du cycle puis approfondies et enrichies au cours des deux années ultérieures.

Ce programme est structuré selon cinq thèmes : nombres et calculs ; organisation et gestion de données, fonctions ; grandeurs et mesures ; espace et géométrie ; algorithmique et programmation qui entre dans le cadre d’un enseignement de l’informatique dispensé conjointement en mathématiques et en technologie.

Une place importante doit être accordée à la résolution de problèmes. Mais pour être en capacité de résoudre des problèmes, il faut à la fois prendre des initiatives, imaginer des pistes de solution et s’y engager sans s’égarer en procédant par analogie, en rattachant une situation particulière à une classe plus générale de problèmes, en identifiant une configuration géométrique ou la forme d’un nombre ou d’une expression algébrique adaptée. Ceci suppose de disposer d’automatismes (corpus de connaissances et de procédures automatisées immédiatement disponibles en mémoire). À la fin de l’explicitation des attendus de fin de cycle de chacun des quatre premiers thèmes du programme figure une liste de ces automatismes à développer par les élèves. L’acquisition de ces automatismes est favorisée par la mise en place d’activités rituelles, notamment de calcul (mental ou réfléchi), ayant pour double objectif la stabilisation et la pérennisation des connaissances, des procédures et des stratégies.

Le programme du cycle 4 permet d’initier l’élève à différents types de raisonnement, le raisonnement déductif, mais aussi le raisonnement par disjonction de cas ou par l’absurde. La démonstration, forme d’argumentation propre aux mathématiques, vient compléter celles développées dans d’autres disciplines et contribue fortement à la formation de la personne et du citoyen (domaine 3 du socle). L’apprentissage de la démonstration doit se faire de manière progressive, à travers la pratique (individuelle, collective, ou par groupes), mais aussi par l’exemple. C’est pourquoi il est important que le cours de mathématiques ne se limite pas à l’application de recettes et de règles, mais permette de mettre en place quelques démonstrations accessibles aux élèves. De nombreux résultats figurant dans ce programme peuvent être démontrés en classe, selon des modalités variées : certaines démonstrations peuvent être élaborées et mises au point par les élèves eux-mêmes (de manière individuelle ou collective), sous la conduite plus ou moins forte du professeur ; d’autres, inaccessibles à la recherche des élèves, tireront leur profit des explications et des commentaires apportés par le professeur. Certaines démonstrations possibles (aussi bien sur les nombres et le calcul qu’en géométrie) sont identifiées dans le programme. Les enseignants ont la liberté de choisir ceux des résultats qu’ils souhaitent démontrer ou faire démontrer, en fonction du niveau et des besoins de leurs élèves. Enfin, il vaut mieux déclarer « admise » une propriété non démontrée dans le cours (qui pourra d’ailleurs l’être ultérieurement), plutôt que de la présenter comme une « règle ». Une propriété admise gagne à être explicitée, commentée, illustrée.

En complément, dans le cadre du travail personnel soumis aux élèves, beaucoup d’exercices et de problèmes peuvent servir de support à la démonstration. De manière à encourager les élèves dans l’exercice de la démonstration, il est important de ménager une progressivité dans l’apprentissage de la recherche de preuve et de ne pas avoir trop d’exigences concernant le formalisme. 

Pour certains élèves, l’accès à l’abstraction ne peut se faire que s’il est précédé par deux phases intermédiaires : celle de la manipulation, puis celle de la verbalisation (mise en mots) ou de la représentation (mise en images). De nombreux objets réels (carreaux de mosaïque, morceaux de ficelle, balances et autres instruments de mesure, solides, etc.) permettent d’approcher certaines notions abstraites (numération, fractions, équations, aires et volumes, etc.) de manière tactile, sensorielle. Il ne faut pas se priver d’y recourir lorsque cela s’avère nécessaire, même au collège. La mise en mots (par oral ou par écrit) dans le langage courant, véritable moyen de développer sa pensée, aide à la compréhension, à la mémorisation et à la routinisation de connaissances et de procédures. En parallèle et en complément, la constitution d’un répertoire d’images mentales est un autre atout pour la mémorisation.

Quelques mots au sujet de la trace écrite :

Une trace de cours claire, explicite et structurée aide l’élève dans l’apprentissage des mathématiques. Faisant suite aux étapes importantes de recherche, de découverte, d’appropriation individuelle ou collective, de présentation commentée, de débats, de mise au point, la trace écrite récapitule de façon organisée les connaissances, les procédures et les stratégies étudiées. Ne se limitant pas à un catalogue de recettes, mais explicitant les objectifs et les liens, elle constitue pour l’élève une véritable référence vers laquelle il pourra se tourner autant que de besoin et tout au long du cycle. Sa consultation régulière (notamment au moment de la recherche d’exercices et de problèmes, sous la conduite du professeur ou en autonomie) favorise à la fois la mise en mémoire et le développement de compétences. Le professeur doit avoir le souci de la bonne qualité (mathématique, rédactionnelle) des traces figurant au tableau ou dans les cahiers d’élèves. En particulier, il est essentiel de distinguer le statut des énoncés (définition, propriété-admise ou démontrée-, conjecture, démonstration, théorème) et de respecter les enchaînements logiques. Pour être accessible au plus grand nombre, y compris les familles et les accompagnateurs du périscolaire, la mise en mots de certains énoncés mathématiques gagne à être reformulée dans le langage courant.

Nombres et calculs

Utiliser le calcul littéral
  • Notions d’inconnue, d’équation, d’indéterminée, d’identité
  • Propriétés de distributivité (simple et double)
  • Annulation d’un produit (démonstration possible par disjonction de cas)
  • Factorisation a^2-b^2
  • Résoudre algébriquement des équations du premier degré ou s’y ramenant (équations produits), en particulier des équations du type x^2=a

 

 

 

 

 

 

Une réflexion au sujet de « Ajustements et clarification du programme de mathématiques au collège »

  1. Bonjour,

    Bravo pour ces rapides analyses des ajustements.
    Quelques réflexions personnelles :
    – Disparition du critère de divisibilité par 4 (cycle 3 et 4)
    – Disparition des inéquations (cycle 4)
    – Faut-il comprendre que pour les équations, le programme se limite aux équations où l’inconnue ne figure que dans un seul membre ?
    – Faut-il comprendre que pour les identités remarquables, le programme se limite à la 3ème et dans le sens de la factorisation qui plus est (en lien avec les équations produits) ? Exit les développements avec les trois identités remarquables ? Exit les factorisations avec les deux premières identités remarquables ?

    Avez-vous depuis fait d’autres analyses pour les cycle 4 ? On en voit peu ci-dessus.

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