Le blog de Fabrice ARNAUD

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Dans cet article vous apprendrez à compter comme Boby Lapointe qui en 1968 breveta une manière originale de nommer les nombres entiers. Inspiré largement par l’hexadécimal ce système de numération permet de faire de jolis jeux de mots ce qui était la raison d’être de nombreux texte de Boby Lapointe

Qui était Boby Lapointe ?

Robert Lapointe dit Boby Lapointe est un auteur chanteur et compositeur français né en 1922 à Pézenas où il meurt 50 ans plus tard. Je vous laisse consulter sa fiche Wikipédia pour des informations plus précises. J’ai rentenu de sa biographie qu’il montre assez jeune une vraie passion pour les mathématiques, il prépare les concours aux grandes écoles mais la seconde guerre mondiale va arrêter son élan. Il est connu encore aujourd’hui pour ses chansons construites autour de jeux de mots, de calembours et de contrepéteries. 

 

 

La numération décimale

Comme son nom l’indique, la numération décimale que nous utilisons quotidiennement est basée sur l’usage de 10 chiffres. Attention aux mauvaises habitudes prises parfois à l’école, un nombre décimal n’est pas forcément un nombre à virgule, c’est un nombre constitué à partir des dix chiffres et éventuellement une virgule. Plus mathématiquement un nombre décimal est une fraction dont le numérateur est une entier relatif et le dénominateur une puissance de 10.

J’aime dire à mes élèves qu’un nombre décimal est un nombre que l’on peut écrire en utilisant les dix chiffres et éventuellement une virgule. Cela élimine les nombres dont l’écriture décimale est infinie. Je ne rentre pas ici dans le débat 0,99999…=1 que je laisserai le soin de résoudre à ceux qui aborderont plus tard les séries.

En veillant à rester compréhensible pour un collègien, on peut dire que le sens des chiffres dans l’écriture décimale correspond à l’égalité suivante :

$latex 2~018=2 \times 1~000+0 \times 100+1 \times 10+8 \times 1$

Ce qui en utilisant le langage des puissances de 10 donne :

$latex 2~018=2 \times 10^3+0 \times 10^2+1 \times 10^1+8 \times 10^0$

Je laisse les curieux étudier de cette manière les nombres ayant une partie décimale à l’aide des exposants négatifs des puissances de 10.

Petite remarque importante pour la suite, effectuons les divisions successives d’un nombre décimal (écrit en base 10) par 10 et observons les restes :

• Divisons 2018 par 10, le quotient est 201 le reste est 8 ;
• Divisons 201 par 10, le quotient est 20 le reste est 1 ;
• Divisons 20 par 10, le quotient est 2 le reste est 0 ;
• Divisons 2 par 10, le quotient est 0 le reste est 2.

Les chiffres en base 10 du nombre 2018 sont les restes des divisions successives par 10.

Enfin pour conclure cette partie n’oublions pas que le nombre 2018 et ses propriétés arithmétiques ne sont pas attachées à son écriture en base 10… Que l’on écrive 2018, deux mille dix-huit, MMXVIII… nous parlons bien du même nombre, le successeur de 2017 ou le produit de 1009 par 2 ! Même si dans la vie courante on ne distingue par un nombre de son écriture décimale, il ne faut pas oublier qu’un nombre a une existence en dehors de sa représentation écrite.

Les numérations binaire et hexadécimale

Nous venons de d’expliquer le sens des chiffres dans la numération décimale à dix chiffres et même comment retrouver ces chiffres en utilisant la méthode des divisions successives. Nous pouvons nous amuser à utiliser d’autres bases de numération. En voici quelques-unes :

La numération binaire

La numération binaire utilise deux chiffres seulement : 0 et 1. Elle est particulièrement utile en électronique ou en informatique puisqu’il n’existe que deux états électriques : allumé ou éteint.

Alors que la numération décimale utilise la notion de dizaines pour écrire les nombres (après 9 on passe à 10, c’est à dire 1 dizaine et 0 unité) nous allons utiliser la notion de deux-zaine pour l’écriture binaire.

Le nombre 2 est donc constitué d’une deux-zaine et de 0 unité, il s’écrit 10 en binaire.

Le nombre 3 est constitué d’une deux-zaine et de 1 unité, il s’écrit 11 en binaire.

Pour l’écriture décimale nous avons observé les puissances successives de 10 : 1, 10, 100, 1000 …

Pour l’écriture binaire il faut travailler avec les puissances de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048…

Ainsi $latex 4=1\times 4+0 \times 2+0 \times 0$ donc 4 s’écrit 100 en binaire.

$latex 2~018=1~024+512+256+128+64+32+2$

$latex 2~018=1\times 1024+1\times 512+1\times 256+1\times 128+1\times 64+1\times 32+0\times 16+0\times 8+0\times 4+1\times 2+0\times 1$

$latex 2~018=1\times 2^{10}+1\times 2^9+1\times 10^8+1\times 2^7+1\times 2^6+1\times 10^5+0\times 2^4+0\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+0\times 2^0$

2018 s’écrit donc 11111100010 en binaire !

On peut aussi retrouver cette écriture en passant par les divisions successives :

• Divisons 2018 par 2, le quotient est 1009, le reste 0 ;
• Divisons 1009 par 2, le quotient est 504, le reste 1;
• Divisons 504 par 2, le quotient est 252, le reste 0;
• Divisons 252 par 2, le quotient est 126, le reste 0;
• Divisons 126 par 2, le quotient est 63, le reste 0 ;
• Divisons 63 par 2, le quotient est 31, le reste 1 ;
• Divisons 31 par 2, le quotient est 15, le reste 1 ;
• Divisons 15 par 2, le quotient est 7, le reste 1 ;
• Divisons 7 par 2, le quotient est 3, le reste 1 ;
• Divisons 3 par 2, le quotient est 1, le reste 1 ;
• Divisons 1 par 2, le quotient est 0, le reste 1.

Comme pour l’écriture décimale on lit les chiffres, donc les restes, de bas en haut. On arrête quand le quotient est nul.

Voici les premiers nombres entiers en décimal et en binaire :

 

Conséquence de l’écriture des nombres en binaire, on peut par exemple affirmer que tous les nombres inférieurs à 500 peuvent s’exprimer de manière unique comme la somme des nombres 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 et 256.

Prenons un nombre de notre choix : 499. Comme son écriture en binaire est 111110011 on obtient $latex 499=256+128+64+32+16+2+1$ !

 

La numération hexadécimale

La numération hexadécimale utilise seize chiffres  : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Elle est particulièrement utile en informatique où les informations sont comptés en octet (8 bit, soit un nombre écrit en binaire de 8 chiffres), un nombre en écriture hexadécimale permet d’écrire deux octets avec un seul caractère.

Alors que la numération décimale utilise la notion de dizaines, et le binaire les deux-zaines, l’hexadécimal compte les seize-aines.

Les nombres de 0 à 9 s’écrivent comme en décimal. 10 s’écrit A, 11 s’écrit B, 12 s’écrit C, 13 s’écrit D, 14 s’écrit E et 15 s’écrit F.

16 est constitué d’une seize-aine et 0 unité soit A0.

Pour l’écriture décimale nous avons observé les puissances successives de 10 : 1, 10, 100, 1000 …

Pour l’écriture binaire nous avons travaillé avec les puissances de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048…

Pour l’écriture hexadécimale il faut utiliser les puissances de 16 : 1, 16, 256, 4 096, 65 536…

Ainsi $latex 2~018=7 \times 256+14 \times 16+2$

$latex 2~018=7\times 16^2+14\times 16^1+2\times 16^0$

2018 s’écrit donc 7E2 en hexadécimal car E correspond à 14 !

On peut aussi retrouver cette écriture en passant par les divisions successives :

• Divisons 2018 par 16, le quotient est 126, le reste 2 ;
• Divisons 126 par 16, le quotient est 7, le reste 14;
• Divisons 7 par 16, le quotient est 0, le reste 7.

Comme pour l’écriture décimale on lit les chiffres, donc les restes, de bas en haut. On arrête quand le quotient est nul.

Voici les premiers nombres entiers en décimal, en binaire et en hexadécimal :

 

Remarquons pour les informaticiens qu’il suffit de regrouper l’écriture binaire en paquet de 8 chiffres (8 bit) pour obtenir l’écriture hexadécimale et réciproquement.

Ainsi 2018 s’écrit 11111100010 en binaire. On peut couper ce nombre par paquet de 4 chiffres en ajoutant des zéros : 0000 0111  1110 0010.

Or comme 1111 en binaire correspond à 15 en décimal, avec 4 chiffres binaires on peut écrire 16 nombres décimaux soit un chiffre hexadécimal.

Revenons à 2018, 0000 en binaire s’écrit 0 en hexadécimal, 0111 s’écrit 7, 1110 s’écrit 14 en décimal et donc E en hexadécimal et 0010 s’écrit 2. On retrouve 7E2 en hexadécimal.

La numération Bibi binaire

Passons maintenant aux choses sérieuses !

La numération hexadécimale permet déjà de jouer avec les sylabes. Par exemple le nombre FABADA en hexadécimal est assez rigolo. Il correspond à : $latex 15\times 16^5+10\times 16^4+11\times 16^3+10\times 16^2+13\times 16^1+10\times 16^0=16~431~834$

Je vous laisse écrire 51 914 en hexadécimal pour tester cette possibilité !

Le défaut de cet amusement est que pour obtenir des mots amusant comme FABADA il faut utiliser de grands nombres.

L’idée géniale de Boby Lapointe est d’utiliser 16 autres chiffres pour sa numération Bibi binaire. Chacun de ces chiffres est une syllabe. Il utilise pour cela les voyelles O, A, E et I dans cet ordre et les consonnes H, B, K et D dans cet ordre.

Voici donc les 16 chiffres de la numération Bibi binaire :

 

Attention le E se prononce E mais pas É ou È !

Voici donc comment en compte en Bibinaire :

Alors, et 2018 ?

2018 s’écrit 7E2 en hexadécimal. En Bibi binaire 7 correspond à BI, E à DE et 2 à HE.

Nous sommes donc en l’année BIDEHE !

Boby Lapointe pouvait donc transformer son prénom BOBI en nombre $latex 4 \times 16+7=71$.

Les grands nombres s’écrivent joliement : KOKOHADEBOKADODEBOBI (Coco a de beaux cadeaux de Bobi, Colette était la première femme de Boby).

Ce nombre s’écrit 881E49CE47 en hexadécimal soit

$latex 8\times 16^9+8\times 16^8+1\times 16^7+14\times 16^6+4\times 16^5+9\times 16^4+12\times 16^3+14\times 16^2+4\times 16^1+7\times 16^0=584~623~705~671$

C’est tellement plus élégant !

Les chiffres de la numération Bibi binaire