Les nombres entiers en sixième

Les programmes officiels

Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux
- Connaître les unités de la numération décimale pour les nombres entiers (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et les relations qui les lient ;
- Composer, décomposer les grands nombres entiers en utilisant des regroupements par milliers.
- Comprendre et appliquer les règles de la numération décimale de position aux grands nombres entiers (jusqu’à 12 chiffres) ;
- Comparer, ranger, encadrer des grands nombres entiers, les repérer et les placer sur une demi-droite graduée adaptée.

Le plan du cours

L’écriture décimale des nombres entiers
- Écriture positionnelle, chiffres et nombres décimaux.
La demi-droite graduée
- Origine, abscisse
Comparer les nombres entiers en écriture décimaux
- Ordre croissant et décroissant
- Symbole > et <
Vocabulaire des opérations sur les nombres entiers
- Somme, différence et produit ;
- Double, triple, quadruple.

La numération Maya

Culture : c’est pas sorcier, les Mayas (on parle de mathématiques à partir de 21 min 30 s).

Pour comprendre la distinction entre chiffres et nombres, je propose à mes élèves d’aborder d’autres types de numération. La numération Maya est une numération en base 20, vigésimale, positionnelle. Elle utilise 20 chiffres très facile à dessiner. Voici une fiche que j’utilise en classe. La décomposition en vingtaine, quatre-centaine… et difficile mais offre de bonnes révisions pour ce début d’année !

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Les nombres en France et à l’étranger

En Français

0 – zéro	10 – dix	20 – vingt	90 – quatre-vingt-dix
1 – un	11 – onze	21 – vingt-et-un	91 – quatre-vingt-onze
2 – deux	12 – douze	22 – vingt-deux	99 – quatre-vingt-dix-neuf
3 – trois	13 – treize	30 – trente	100 – cent
4 – quatre	14 – quatorze	40 – quarante	200 – deux-cents
5 – cinq	15 – quinze	50 – cinquante	1 000 – mille
6 – six	16 – seize	60 – soixante	2 000 – deux-mille
7 – sept	17 – dix-sept	70 – soxante-dix	1 000 000 – un million
8 – huit	18 – dix-huit	71 – soixante-et-onze	2 000 000 – deux millions
9 – neuf	19 – dix-neuf	80 – quatre-vingts	1 000 000 000 – un milliard

Il faut donc 26 mots pour les nombres entiers en français jusque 12 chiffres décimaux :

tous sont des adjectifs numéraux invariables à part million et milliard qui sont des noms ;
cent et vingt prennent un s au pluriel quand les vingtaines et centaines sont entières ;
dix mots pour désigner les chiffres de 0 à 9 ;
6 mots spéciaux : onze, douze, treize, quatorze, quinze et seize puis des nombres formés sous la forme 10+7, 10+8 et 10+9, ce qui donne une écriture en base 20 (vigésimale) ;
6 mots pour les dizaines entières : dix, vingt, trente, quarante, cinquante et soixante, avec un retour de la base 10 pour les nombres de 20 à 59 : vingt-neuf, trente, trente-et-un, trente-deux (notons le et entre la dizaine et un absent ensuite)
à partir de 60, on revient à la base 20 avec 69, 70, soixante-dix, soixante-et-onze, soixante-douze ;
une exception pour 80, quatre-vingts, formé en base 20 (vigésimale) 4×20 ;
et à nouveau une base vigésimale jusque cent : quatre-vingt-dix-sept….

En Anglais

0 – nought, zero	10 – ten	20 – twenty	90 – ninety
1 – one	11 – eleven	21 – twenty-one	91 – ninety-one
2 – two	12 – twelve	22 – twenty-two	99 – ninety-nine
3 – three	13 – thirteen	30 – thirty	100 – a hundred
4 – four	14 – fourteen	40 – forty	200 – two hundred
5 – five	15 – fifteen	50 – fifty	1 000 – a thousand
6 – six	16 – sixteen	60 – sixty	2 000 – two thousand
7 – seven	17 – seventeen	70 – seventy	1 000 000 – a million
8 – eight	18 – eighteen	71 – seventy-one	2 000 000 – two million
9 – nine	19 – nineteen	80 – eighty	1 000 000 000 – a billion

Il faut donc 32 mots pour compter jusque 999 9999 999 en anglais :

eleven et twelve sont deux exceptions entre 10 et 20, puis les suivants se forment en teen : 3-teen, 4-teen…
les dizaines se construisent en ty, twenty, thirty,… eighty, ninety… pas de trace de numération vigésimale ;

Les grands nombres en français

Une des questions qui facine les élèves de sixième est la manière de nommer les très grands nombres au delà des 12 chiffres et donc du milliard.

Pour cela on utilise en France l’échelle longue de Chuquet, Nicolas Chuquet était un mathématicien français du moyen-âge (1445-1488).

À cette époque le mot million (grand mille) est déjà utilisé depuis 1270. Nicolas Chuquet découpe les grands nombres en paquet de 6 chiffres. Contrairement à nous qui séparons les chiffres par un espace en paquet de 3, Chuquet sépare les nombres en paquet de 6 chiffres par une virgule. Il part donc du mot million pour créer les suivants : billions, trillions… qui correspondent donc à 1 000 000 000 000 et 1 000 000 000 000 000 000 soit $10^{12}$ et $10^{18}$ . Le mot milliard quant à lui existait depuis le XVI ème siècle, il est cité dès 1532 puis par Jacques Peletier du Mans en 1549. On appelle ainsi échelle de Chuquet Peletier la méthode qui consiste à alterner tous les 3 chiffres les noms million, milliard, billion, billiard…

Voici donc ce que l’on obtient (j’ai utilisé les puissances de 10 pour simplifier l’écriture !) :

mille	$1~000=10^3$
million	$1~000~000=10^6$
milliard	$1~000~000~000=10^9$
billion	$1~000~000~000~000=10^{12}$
billiard	$1~000~000~000~000~000=10^{15}$
trillion	$10^{18}$
trilliard	$10^{21}$
quadrillion	$10^{24}$
quadrilliard	$10^{27}$
quintillion	$10^{30}$
quintilliard	$10^{33}$
sextillion	$10^{36}$
sextilliard	$10^{39}$
septillion	$10^{42}$
septilliard	$10^{45}$
octilllion	$10^{48}$
octilliard	$10^{51}$
nonillion	$10^{54}$
nonilliard	$10^{57}$
decillion	$10^{60}$
decilliard	$10^{63}$

Cette méthode permet de compter jusque $10^{66}$ ce qui suffit largement pour faire des calculs physiques. C’est la méthode officielle en France depuis 1961 adoptée lors d’une conférence générale des poids et mesures.

Par la suite John Horton Conway et Allan Wechsler ont mit en place un système pour prolonger les préfixes en latin de telle manière à pouvoir passer de déci, 10, à 999 (novenonagentanongenti) ce qui en théorie permet de compter jusque $10^{6~000}$ .