Le blog de Fabrice ARNAUD

Les nombres entiers en sixième

Pour dire merci….

Avant de commencer, mes CINQ conseils lecture…


Les nombres entiers en sixième

Les programmes officiels

Le plan du cours

La numération Maya

Culture : c’est pas sorcier, les Mayas (on parle de mathématiques à partir de 21 min 30 s).

Pour comprendre la distinction entre chiffres et nombres, je propose à mes élèves d’aborder d’autres types de numération. La numération Maya est une numération en base 20, vigésimale, positionnelle. Elle utilise 20 chiffres très facile à dessiner. Voici une fiche que j’utilise en classe. La décomposition en vingtaine, quatre-centaine… et difficile mais offre de bonnes révisions pour ce début d’année !

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Les nombres en France et à l’étranger

En Français

 

0 – zéro 10 – dix 20 – vingt 90 – quatre-vingt-dix
1 – un 11 – onze 21 – vingt-et-un 91 – quatre-vingt-onze
2 – deux 12 – douze 22 – vingt-deux 99 – quatre-vingt-dix-neuf
3 – trois 13 – treize 30 – trente 100 – cent
4 – quatre 14 – quatorze 40 – quarante 200 – deux-cents
5 – cinq 15 – quinze 50 – cinquante 1 000 – mille
6 – six 16 – seize 60 – soixante 2 000 – deux-mille
7 – sept 17 – dix-sept 70 – soxante-dix 1 000 000 – un million
8 – huit 18 – dix-huit 71 – soixante-et-onze 2 000 000 – deux millions
9 – neuf 19 – dix-neuf 80 – quatre-vingts 1 000 000 000 – un milliard

Il faut donc 26 mots pour les nombres entiers en français jusque 12 chiffres décimaux :

 

En Anglais
0 – nought, zero 10 – ten 20 – twenty 90 – ninety
1 – one 11 – eleven 21 – twenty-one 91 – ninety-one
2 – two 12 – twelve 22 – twenty-two 99 – ninety-nine
3 – three 13 – thirteen 30 – thirty 100 – a hundred
4 – four 14 – fourteen 40 – forty 200 – two hundred
5 – five 15 – fifteen 50 – fifty 1 000 – a thousand
6 – six 16 – sixteen 60 – sixty 2 000 – two thousand
7 – seven 17 – seventeen 70 – seventy 1 000 000 – a million
8 – eight 18 – eighteen 71 – seventy-one 2 000 000 – two million
9 – nine 19 – nineteen 80 – eighty 1 000 000 000 – a billion

Il faut donc 32 mots pour compter jusque 999 9999 999 en anglais :

Les grands nombres en français

Une des questions qui facine les élèves de sixième est la manière de nommer les très grands nombres au delà des 12 chiffres et donc du milliard.

Pour cela on utilise en France l’échelle longue de Chuquet, Nicolas Chuquet était un mathématicien français du moyen-âge (1445-1488).

À cette époque le mot million (grand mille) est déjà utilisé depuis 1270. Nicolas Chuquet découpe les grands nombres en paquet de 6 chiffres. Contrairement à nous qui séparons les chiffres par un espace en paquet de 3, Chuquet sépare les nombres en paquet de 6 chiffres par une virgule. Il part donc du mot million pour créer les suivants : billions, trillions… qui correspondent donc à 1 000 000 000 000 et 1 000 000 000 000 000 000 soit $latex 10^{12}$ et $latex 10^{18}$. Le mot milliard quant à lui existait depuis le XVI ème siècle, il est cité dès 1532 puis par Jacques Peletier du Mans en 1549. On appelle ainsi échelle de Chuquet Peletier la méthode qui consiste à alterner tous les 3 chiffres les noms million, milliard, billion, billiard…

Voici donc ce que l’on obtient (j’ai utilisé les puissances de 10 pour simplifier l’écriture !) :

 

mille $latex 1~000=10^3$
million $latex 1~000~000=10^6$
milliard $latex 1~000~000~000=10^9$
billion $latex 1~000~000~000~000=10^{12}$
billiard $latex 1~000~000~000~000~000=10^{15}$
trillion $latex 10^{18}$
trilliard $latex 10^{21}$
quadrillion $latex 10^{24}$
quadrilliard $latex 10^{27}$
quintillion $latex 10^{30}$
quintilliard $latex 10^{33}$
sextillion $latex 10^{36}$
sextilliard $latex 10^{39}$
septillion $latex 10^{42}$
septilliard $latex 10^{45}$
octilllion $latex 10^{48}$
octilliard $latex 10^{51}$
nonillion $latex 10^{54}$
nonilliard $latex 10^{57}$
decillion $latex 10^{60}$
decilliard $latex 10^{63}$

Cette méthode permet de compter jusque $latex 10^{66}$ ce qui suffit largement pour faire des calculs physiques. C’est la méthode officielle en France depuis 1961 adoptée lors d’une conférence générale des poids et mesures.

Par la suite John Horton Conway et Allan Wechsler ont mit en place un système pour prolonger les préfixes en latin de telle manière à pouvoir passer de déci, 10, à 999 (novenonagentanongenti) ce qui en théorie permet de compter jusque $latex 10^{6~000}$.

Il reste si vous le souhaitez la méthode du capitaine Haddock : 

Mille millions de mille milliards de mille sabords… $latex 10^{21}$…

On aurait pu dire un trilliard de sabords… mais cela a moins de charme !

Les très très grands nombres

Voici une vidéo de Mickaël Launay qui montre ce que sont les grands nombres… vertigineux !

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Mes calculatrices préférées au collège et au lycée

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Mes casse-tête mathématiques

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