Enseigner les mathématiques au collège

La notion de ratio au cycle 4

Les programmes de mathématiques pour le cycle 4 du 30 juillet 2018 font référence à la notion de ratio. Je cite :

  • Organisation et gestion de données
    • Résoudre des problèmes de proportionnalité
      • coefficient de proportionnalité ;
      • taux d’évolution, coefficient multiplicateur ;
      • notion de ratio.

On dit par exemple : 

  • que deux nombres a et b sont dans le ratio 2:3 (notation standardisée) si  \displaystyle \frac{a}{2}=\frac{b}{3}
  • que trois nombre a, b et c sont dans le ratio 2:3:7 (notation standardisée) si  \displaystyle \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{7}

Définition et origines

Origines

Ratio vient de l’anglais ratio que l’on traduit par proportion qui lui-même vient du latin ratio qui signifie calcul ou compte.

Ce vocabulaire est très utilisé dans le monde anglo-saxon.

Le mot raison à la même étymologie, il vient du latin rationem, l’accusatif en de ratio.

C’est dans les Éléments d’Euclide et plus exactement dans le Livre V que l’on trouve une première référence à cette notion de ratio. Chez Euclide, il porte le nom de raison. Je ne peux pas me positionner en spécialiste de l’histoire des mathématiques, je me contenterai de reprendre un extrait de la page Wikipédia qui traite du Livre V des Éléments :

Le livre V permet de comparer deux grandeurs de même nature entre elles (deux longueurs, deux aires planes, …). En aucun cas, il n’est permis de faire le rapport de deux grandeurs de nature différente (une longueur divisée par une aire). La déf.3 définit ce qu’est la raison de deux telles grandeurs : une raison est une certaine manière d’être de deux grandeurs homogènes entre elles, suivant la quantité. Sous forme algébrique moderne, nous aurions tendance à voir une raison comme le nombre réel égal au quotient des deux grandeurs, mais c’est ici une vision totalement anachronique. Au temps d’Euclide, la raison n’est pas conçue comme un nombre, mais comme une certaine relation permettant de comparer deux grandeurs. Là où nous dirions \displaystyle a=\sqrt{5}b, un exemple typique de formulation chez Euclide consiste à dire : le carré de a est au carré de b ce que 5 est à 1. D’où la déf.4 : une proportion est une identité de raisons. On trouve de telles formulations jusqu’au XVIIe ou XVIIIe siècle. Ainsi Pascal écrit-il, dans son Traité sur la pesanteur de l’air : « J’ai supposé que le diamètre est à la circonférence, comme 7 à 22 ».

Ainsi quand la notion de nombre rationnel n’est pas encore établi, la notion de raison ou ratio permet de manipuler la notion de proportionnalité sans revenir au coefficient.

Avec deux nombres

Deux nombres a et b sont dans un ratio 2:3 signifie que \displaystyle \frac{a}{2}=\frac{b}{3}

On peut donc de manière équivalente dire que si a et b sont dans un ratio 2:3 si \displaystyle \frac{a}{b}=\frac{2}{3} ou encore  \displaystyle a=\frac{2}{3}b

Cela revient aussi à dire que les nombres a et b sont proportionnels aux nombre 2 et 3.

Une formulation euclidienne consiste à dire que a est à b ce que 2 est à 3.

Avec trois nombres

Trois nombres a, b et c sont dans un ratio  2:3:5 signifie que  \displaystyle \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}

Ainsi une fois encore les nombres a, b et c sont proportionnels aux nombres 2, 3 et 5

La notation utilisée ne doit pas être confondue avec le symbole de la division : et non pas  \div.

Exemples

Avec deux nombres

Les échelles

La notation 1:100 qui correspond à l’écriture 1/100 désigne une échelle. Signalons d’abord que la notation n’est pas préconisée par le  Lexique des règles typographiques en usage à l’Imprimerie nationale édition 2007 qui lui préfère la notation 1/100.

Cette notation signifie en terme de ratio que la grandeur mesurée a et la grandeur réelle b sont dans un ratio de 1:100, c’est à dire que \frac{a}{1}=\frac{b}{100} soit a=\frac{b}{100}

Pour mémoire, les échelles métriques usuelles utilisées en architecture sont :

  • 1:1000 soit 1/1000 où 1 mm correspond à 1 m : dessin de situation ;
  • 1:500 soit 1/500 où 2 mm correspond à 1 m ;
  • 1:200 soit 1/200 où 5 mm correspond à 1 m : dessin de distribution ;
  • 1:100 soit 1/100 où 1 cm correspond à 1 m ;
  • 1:50 soit 1/50 où 2 cm correspond à 1 m : dessin de construction ;
  • 1:20 soit 1/20 où 5 cm correspond à 1 m : dessin de détail ;
  • 1:10 soit 1/10 où 10 cm correspond à 1 m ;
  • 1:5 soit 1/5 où 20 cm corrrespond à 1 m : dessin de modénature (éléments d’ornement)
  • 1:2 soit 1/2 où 50 cm correspond  à 1 m ;
  • 1:1 soit 1/1 échelle grandeur : épure, tracé de charpente

Source : Wikipédia

Les formats

Les formats d’image, en anglais aspect ratio, utilise la notion mathématique de ratio. C’est le rapport entre la largeur et la hauteur d’un écran. Dans le cas du format d’image la notation standardisée est 4:3 et non pas 4/3.

Voici quelques formats d’image :

  • 4:3 ou 1,333:1 : le format du cinéma muet utilisé en télévision et sur les DVD ;
  • 1,375:1 : le format académique du film 35 mm ;
  • 2,39:1 : le format Cinémascope ;
  • 2,20:1 : le format Todd-Ao ;
  • 1,50:1 : le format Vista-Vision ;
  • 14:9 : format intermédiaire utilisé pour les écrans 4:3 diffusant du 16:9 ;
  • 16:9 ou 1,777:1 : format le plus courant pour un compromis entre l’image cinéma et les écrans ;
  • 1,85:1 : format Panoramique Américains ;
  • 1,896:1 : cinéma numérique.

Les ratios entre nombres non entiers

Pour reprendre une formulation à la Euclide, on peut dire que le rayon et le périmètre du cercle sont dans un ratio 1:2\pi

Deux termes consécutifs d’une suite de Fibonnacci sont dans un ratio  \displaystyle 1:\frac{1+\sqrt{5}}{2}, the Golden Ratio.

 

Avec trois nombres

On trouve difficilement des exercices en français. Voici quelques exemples issues du monde anglo-saxon.

Dosage du béton

Pour remplir une bétonnière on utilise souvent le ratio suivant qui est un bon moyen mnémotechnique : 1 volume de ciment, 2 volume de sable et 3 de gravier. Les quantités de ciment, sable et gravier sont donc dans le ratio 1:2:3.

Si on tient compte de l’eau, pour un béton classique on obtient un ratio à quatre nombres : les quantités d’eau, de ciment, de sable et de gravier sont dans un ratio 1:2:4:6.

Je souhaite obtenir 12~m^3 de béton pour une terrasse, quelle quantité de ciment, de sable et de gravier dois-je prévoir ?

Dosage

Le fameux quatre-quarts est un gâteau dont la quantité d’ingrédients, les oeufs, la farine, le lait et le sucre sont dans un ratio 1:1:1:1.

Plus globalement les problèmes de recettes peuvent s’exprimer en langage de ratio :

Par exemple pour une pâte à crêpes il faut 300g de farine, 3 oeuf et 75 cL de lait pour 3 personnes, on doit pouvoir dire que le nombre de personnes, la farine, les oeuf et le lait (avec la bonne unité) sont dans un ratio de 3:300:3:75.
Ce ratio se simplifie en 1:100:1:25

Agrandissement réduction

Les longueurs des arêtes d’un pavé droit sont dans un ratio 3:6:8. La plus courte de ces longueurs mesure 15 cm, combien mesurent les deux autres ?

Les longueurs des côtés d’un triangle sont dans un ratio 3:4:5. Montrer que ce triangle est rectangle.

Deux triangles dont les 3 côtés sont dans un ratio identique sont des triangles semblables.

Les angles d’un triangle sont dans un ratio 3:4:5. Le plus petit des angles mesure 45°. Déterminer les mesures des deux autres angles.

Même problème avec un périmètre. Si les mesures d’un triangle de périmètre 60 cm sont dans un ratio 3:4:5, quelle est la mesure de chaque côté ?

Simplification de ratio

Les ratios 2:5 et 4:10 sont identiques, il est parfois écrit de manière abusive que 2:5=4:10. Cela tient au fait que \displaystyle \frac{2}{5}=\frac{4}{10}

Autres problèmes

J’aime bien cette situation :

Trois nombres a, b et c sont tels que a et b sont dans un ratio 5:9 et b et c sont dans un ratio 7:4. Dans quel ratio sont ces trois nombres ?

De manière plus compacte cette question peut s’écrire : Si a:b=5:9 et b:c=7:4, calculer a:b:c

La stratégie consiste à rendre identique le nombre b dans les deux ratios :

a:b=5:9=35:63 et b:c=7:4=63:36 donc a:b:c=35:63:36

Conclusion

La notion de ratio permet de régler des problèmes de proportionnalité sans avoir recours à la notion de coefficient de proportionnalité, de quotient ou même de produit en croix. Elle permet de mettre en avant le caractère linéaire des situations de proportionnalité et de raisonner en terme de combinaisons plutôt que de quotient.

Cela correspond également à l’arrivée de la notion de figure semblable au collège. Quand on montre que le théorème de Thalès en terme d’égalité de trois quotients correspond au caractère semblable de deux triangles on utilise la notion de ratio. La triple égalité des quotients de Thalès décrit trois grandeurs dans un ratio à trois nombres. Ainsi tout triangle dont les mesures sont dans un ratio 3:4:5 est rectangle !

D’ailleurs la notion de ratio pourrait être utilisé quand on parle d’agrandissement/réduction pour montrer une autre manière de parler du coefficient.

C’est un langage qu’il faut acquérir et qui ensuite peut faire l’objet de problèmes originaux !

Quelques sources 

http://www.hufsd.edu/assets/pdfs/academics/algebra_text/Chapter06.pdf

https://somersetelementary.files.wordpress.com/2017/11/mathlinks8_2.pdf

 

 

 

 

Une réflexion au sujet de « La notion de ratio au cycle 4 »

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