Enseigner les mathématiques au collège

Brevet 2019 – Un exercice par jour pour se préparer en mathématiques


Mes conseils de lecture : octobre 2019


 

Attention, en raison de l’épisode de canicule sur la France, les épreuves du brevet des collèges pour la France métropolitaine sont déplacées à lundi 1er et mardi 2 juillet 2019.

Voir l’information officielle sur le site du ministère de l’Éducation Nationale.

Je vais donc ajouter quelques exercices pour arriver je l’espère au Jour J tant attendu !!


L’épreuve de mathématiques du brevet des collèges 2019 aura lieu en métropole et dans les départements d’outre-mer le vendredi 28 juin. Je vous propose ici pour vous préparer un exercice de mathématique de type brevet par jour avec sa correction détaillée. J’ai ajouté des commentaires dans la correction (ils sont en violet) pour vous aider à écrire une rédaction de la réponse (elle est écrite en noir !) la plus précise possible. Pour chaque exercice les liens mènent à certaines de mes fiches de synthèse très utiles pour préparer l’épreuve de mathématiques du brevet des collèges.

J’utilise ces exercices rapides en classe pour les aider dans leur préparation.

Voici les fiches à imprimer pour leur fournir ces exercices :

Les exercices J-27 à J-20

Les exercices J-19 à J-14

Les exercices J-13 à J-11

Les exercices J-10 à J-7

Les exercices #J-6, #J-5 et #J-2


Exercice 1 #J-27 (correction)
Exercice 2 #J-26 (correction)
Exercice 3 #J-25 (correction)
Exercice 4 #J-24 (correction)
Exercice 5 #J-23 (correction)
Exercice 6 #J-22 (correction)
Exercice 7 #J-21 (correction)
Exercice 8 #J-20 (correction)
Exercice 9 #J-19 (correction)
Exercice 10 #J-18 (correction)
Exercice 11 #J-17 (correction)
Exercice 12 #J-16 (correction)
Exercice 13 #J-15 (correction)
Exercice 14 #J-14 (correction)
Exercice 15 #J-13 (correction)
Exercice 16 #J-12 (correction)
Exercice 17 #J-11 (correction)
Exercice 18 #J-10 (correction)
Exercice 19 #J-9 (correction)
Exercice 20 #J-8 (correction)
Exercice 21 #J-7 (correction)
Exercice 22 #J-6 (correction)
Exercice 23 #J-5 (correction)
Exercice 24 #J-4 (correction)
Exercice 25 #J-3 (correction)
Exercice 26 #J-2 (correction)
Exercice 27 #J-1 (correction)
Exercice 28 #Jour J (correction)
Exercice Bonus sur les ratios (correction)


Exercice 1 #J-27 #unexerciceparjourjusquaubrevet

 

Brevet 2019

Trigonométrie
Brevet des collèges 2010 — Asie

Correction


Exercice 2 #J-26

Réciproque du théorème de Pythagore ,réciproque du théorème de Thalès, propriété des parallèles et des perpendiculaires
Brevet des collèges 2010 — Asie

Correction


Exercice 3 #J-25 #unexerciceparjourjusquaubrevet

Proportionnalité, fonction linéaire, lecture graphique et pourcentages
Brevet des collèges 2010 — Asie

Correction


Exercice 4 #J-24 #unexerciceparjourjusquaubrevet

Probabilités
Brevet des collèges Nouvelle-Calédonie 2014

Correction


Exercice 5 #J-23 #unexerciceparjourjusquaubrevet

Vitesse, tâche complexe
Brevet des collèges Centres étrangers — 2014

Correction


Exercice 6 #J-22 #unexerciceparjourjusquaubrevet

Pourcentage
Brevet des collèges Centres étrangers — 2014

Correction


Exercice 7 #J-21 #unexerciceparjourjusquaubrevet

Fonctions

Correction


Exercice 8 #J-20 #unexerciceparjourjusquaubrevet

Statistiques

Correction


Exercice 9 #J-19 #unexerciceparjourjusquaubrevet

Calcul littéral ,développer, factoriser, produit nul

Correction


Exercice 10 #J-18

Tâche complexe, équation

Correction


Exercice 11 #J-17

Volume

Correction


Exercice 12 #J-16

Tableur, probabilités

Correction


Exercice 13 #J-15

Volume, débit

Correction


Exercice 14 #J-14

Pourcentages

Correction


Exercice 15 #J-13

Échelle, volume, surface

Correction


Exercice 16 #J-12

Transformations

Correction


Exercice 17 # J-11

Lecture graphique, temps, vitesse

Correction


Exercice 18 #J-10

Volume, coordonnées géographiques, sphère

Correction


Exercice 19 #J-9

Arithmétique, nombres premiers, décomposition

Correction


Exercice 20 #J-8

Lecture graphique, fonction, fonction linéaire

Correction


Exercice 21 #J-7

Modélisation, théorème de Pythagore

Correction


Exercice 22 #J-6

Scratch, Calcul littéral

Correction


Exercice 23 #J-25

Homothétie, agrandissement/réduction

Correction


Exercice 24 #J-4

Scratch

Correction


Exercice 25 #J-3

Transformations

Correction


Exercice 26 #J-2

Vitesse

Correction


Exercice 27 #J-1

Calcul littéral, développement, équation, fonctions affines

Correction


Exercice 28 #Jour J

Tâche complexe, trigonométrie, volume

Correction


Exercice 29 #J+1 (canicule)

Ratio

Correction


Exercice 30 #J+2 (canicule)

Triangles semblables, trigonométrie

Correction


Exercice 31 #J+3 (canicule)

Scratch

Correction


Exercice 1 #J-27 — Correction

1) D’après la figure, les points F, R et S sont alignés.

$RF=FS-RS=18~m-1,5~m=16,5~m$

2) Nous pouvons admettre d’après l’énoncé que le triangle $FRP$ est rectangle en R.

Dans ce triangle, sont connues les mesures des côtés $RP=10~m$ et $FR=16,5~m$.

Il faut identifier le nom des côtés en les observant depuis l’angle $\widehat{FPR}$ : $FP$ est la mesure de l’hypoténuse, $PR$ est la mesure du côté adjacent à l’angle $\widehat{FPR}$ (adjacent veut dire qui touche l’angle) et $FR$ est la mesure du côté opposé à l’angle $\widehat{FPR}$.

On connaît donc le côté opposé et le côté adjacent à l’angle $\widehat{FPR}$, d’après le cours de trigonométrie nous allons donc pouvoir calculer la tangente de l’angle $\widehat{FPR}$.

Dans le triangle $FPR$ rectangle en R,

$\tan \widehat{FPR}=\dfrac{FR}{RP}$

$\tan \widehat{FPR}=\dfrac{16,5~m}{10~m}=1,65$

À la calculatrice on obtient $\widehat{FPR} \approx 59°$

Pour obtenir cette valeur il faut utiliser la fonction Arctan de la calculatrice. Les calculatrices Casio et Texas Instrument permettent d’accéder à cette fonction à l’aide de la touche tan en appuyant au préalable sur la touche Seconde. Il faut penser à vérifier que la calculatrice est bien configurée pour calculer les angles en degré et penser à faire un arrondi à l’unité.

3) La question consiste à calculer la mesure de l’hypoténuse du triangle $FPR$ rectangle en R. On peut penser à deux méthodes : la plus naturelle consiste à utiliser le théorème de Pythagore, l’autre fait passer à nouveau par la trigonométrie en utilisant le résultat de la question 2).

Méthode 1 : en utilisant le théorème de Pythagore

Dans le triangle $FPR$ rectangle en R,

D’après le théorème de Pythagore on a :

$RF^2+RP^2=FP^2$

$16,5^2+10^2=FP^2$

$FP^2=272,25+100$

$FP^2=372,25$

$FP=\sqrt{372,25}$

$FP \approx 19,29$

La distance $FP$ mesure environ $19,29~m$.

L’échelle de $25~m$ est donc largement suffisante !

Méthode 2 : en utilisant la trigonométrie

On sait que l’angle $\widehat{FPR}$ mesure environ $59°$.

On cherche l’hypoténuse du triangle $FPR$ et on connaît le côté opposé et le côté adjacent à l’angle $\widehat{FPR}$. On peut donc utiliser au choix le cosinus ou le sinus de cet angle.

J’utilise ici le cosinus. Le raisonnement est identique avec le sinus.

Dans le triangle $FPR$ rectangle en R,

$\cos 59°=\dfrac{RP}{PF}$

$\cos 59°=\dfrac{10~m}{RF}$

Donc $RF=\dfrac{10~m}{\cos 59°} \approx 19,41~m$

Pour cette dernière étape, une des méthodes pour obtenir la bonne expression consiste à se ramener à l’égalité de deux quotients et à utiliser la règle de trois issues de l’égalité des produits en croix. Voici comment s’en souvenir :

$\cos 59°=\dfrac{10~m}{RF}$ donc $\dfrac{\cos 59°}{1}=\dfrac{10~m}{RF}$ on écrit un nombre sous forme d’un quotient.

Ainsi en appliquant la méthode de la quatrième proportionnelle ou règle de trois on arrive à l’expression ci-dessus.

On remarque enfin l’écart entre le résultat avec le théorème de Pythagore et la trigonométrie. Il est une conséquence de l’arrondi à 59° de l’angle. Le résultat avec le théorème de Pythagore est plus précis et reste à privilégier.


Exercice 2 #J-26 — Correction

On fera l’hypothèse que les points B, O et D ainsi que les points A, O et C sont alignés. On reconnaît une situation d’usage du théorème de Thalès dans sa forme papillon.

1) On voit ici un usage habituel de la réciproque du théorème de Pythagore puisqu’on connaît la mesure des trois côtés.

Le plus grand côté de ce triangle est $AB$.

Comparons $OA^2+OB^2$ et $AB^2$.

$OA^2+OB^2=4,8^2+3,6^2$

$OA^2+OB^2=23,04+12,96$

$OA^2+OB^2=36$

$AB^2=6^2$

$AB^2=36$

Ainsi on constate que $OA^2+OB^2=AB^2$, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OAB$ est rectangle en $O$.

Il faut bien penser à faire les deux calculs de manière indépendante puis de conclure ensuite.

2) On pense à une situation de Thalès dans la configuration papillon, les deux droites $(BD)$ et $(AC)$ sont sécantes en $O$.

Comparons $\dfrac{OA}{OC}$ et $\dfrac{OB}{OD}$

$\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{4,8}{6}=0,8$

$\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{6}{7,5}=0,8$

On constate que $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}$, or les points $O$, $A$ et $C$ sont alignés et dans le même ordre que les points alignés $O$, $B$ et $D$, ainsi d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

On pense dans la rédaction à parler de l’alignement et de l’ordre des points, c’est indispensable pour utiliser le théorème réciproque. Il faut également faire les calculs des deux fractions de manière indépendante et conclure ensuite.

3) Nous avons vu dans la première question que les droites $(AB)$ et $(AO)$ sont perpendiculaires.

Nous venons de démontrer dans la question 2) que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont paralléles.

On sait que :

Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

On en conclut que $(AO)$ est perpendiculaire à $(CD)$, cela démontre que le triangle $OCD$ est rectangle en $C$.

Bien penser à écrire clairement la propriété énoncée en sixième !


Exercice 3 #J-25 — Correction

1.a) Pour $6~L$ d’eau on obtient $6,5~L$ de glace.

Cela revient à lire l’image de $6~L$ par la fonction dont est tracée la représentation graphique.

1.b) Pour obtenir $10~L$ de glace il faut utiliser environ $9,3~L$ d’eau liquide.

Cela revient à lire un antécédent de $10~L$ par la fonction dont est tracée la représentation graphique.

2) La représentation graphique du volume de glace en litre en fonction du volume d’eau liquide en litre est une droite passant par l’origine, cela caractérise le fait que ces deux grandeurs sont proportionnelles.

3) Méthode 1 : recherche du coefficient d’augmentation.

On cherche le nombre $k$ tel que $10 \times k=10,8$.

$k=\dfrac{10,8}{10}=1,08$

Or $1,08=1+0,08=1+\dfrac{8}{100}$

En gelant le volume d’eau augmente de 8 %.

Méthode 2 : en utilisant un tableau de proportionnalité.

Volume d’eau $10~L$ $100~L$
Volume de glace $10,8~L$ $\dfrac{10,8 \times 100}{10}=108$

On passe donc de $100~L$ à $108~L$ soit une augmentation de 8 %.


Exercice 4 #J-24 — Correction

1.a L’expérience aléatoire consiste à choisir de manière équiprobable une des trois possibilités : pierre, feuille ou ciseau.

Il y a 3 issues possibles à cette expérience.

Sur ces 3 issues, pierre perd seulement contre feuille.

J’ai donc 1 chance sur 3 de perdre soit une probabilité de $\dfrac{1}{3}$ ou encore d’environ $0,33$ soit environ $33\%$.

1.b Ne pas perdre la partie signifie la gagner ou faire match nul.

L’issue pierre produit un match nul, l’issue ciseau fait gagner.

Il y a donc 2 chances sur 3 de ne pas perdre soit $\dfrac{2}{3}$ ou encore d’environ $0,67$ soit environ $67\%$.

Une seconde méthode consistait à remarquer qu’il s’agit de l’événement contraire de l’événement de la question 1.a.

Ainsi la probabilité de ne pas perdre est égale à $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.

2. On peut construire un arbre des possibles comme demandé dans l’exercice. On peut aussi présenter cette expérience aléatoire à deux épreuves dans un tableau.

3.a On déduit du tableau ou de l’arbre qu’il y a 9 issues possibles à cette expérience aléatoire à deux épreuves.

Comme je joue systématiquement pierre, pour gagner deux fois il faut que l’adversaire joue deux fois ciseau soit CC.

Il n’y a qu’une issue CC.

La probabilité de gagner deux fois est donc $\dfrac{1}{9}$ soit environ $0,11$ ou encore $11\%$.

3.b Pour ne perdre aucune partie il faut que l’adversaire joue ciseau (je gagne) ou pierre (match nul).

Les issues CC, CP, PP et PC correspondent à cette situation.

La probabilité de ne pas perdre est donc $\dfrac{4}{9}$ soit environ $0,44$ ou encore $44\%$.


Exercice 5 — #J-23 Correction

1. D’après le document, il est prévu de parcourir $993~km$ en $8~h~31~min$.

Pour les calculs qui concernent le temps, il est souvent pratique de convertir les durées dans l’unité la plus précise de l’exercice.

$8~h~31~min=8\times 60~min+31~min=511~min$

Quand on parle de vitesse moyenne, on suppose que le temps et la distance parcourue sont deux grandeurs proportionnelles.

Distance $993~km$ $\dfrac{993~km \times 60~min}{511~min} \approx 117~km$
Temps 511~min$ $1~h=60~min$

 
La vitesse moyenne prévue sur autoroute est d’environ $117~km/h$

2. Il faut rouler pendant $8~h~47~min$ en faisant une pause d’au minimum $10~min$ toutes les $2~h$.

Une pause de $10~min$ au bout de $2~h$, une autre au bout de $4~h$, puis $6~h$ et enfin $8~h$ même s’il reste moins d’une heure de route.

Il faut donc faire 4 pauses d’au minimum $10~min$ soit $40~min$.

Le trajet va donc durer au minimum $8~h~47~min+40~min=9~h~27~min$

3. Calculons le prix d’un plein ! $60 \times 1,42~€=85,20~€$

Un plein coûte 85,20 €, donc comme le site propose un prix de 89,44 €, il va falloir s’arrêter pour refaire le plein !


Exercice 6 — #J-22 Correction

1. Le magasin A et B proposent des réductions à partir de deux cahiers pour l’un et trois pour l’autre.

Pour l’achat d’un seul cahier, seul le magasin C est rentable.

2.a Comparons les prix pour les trois magasins.

La difficulté de l’exercice réside dans le fait que le prix d’un cahier n’est pas précisé. Un raisonnement à partir d’un exemple générique serait acceptable. Un raisonnement en utilisant le calcul littéral est recommandé.

À partir d’un exemple générique… supposons que le cahier coûte 3 €.

Le magasin A nous fait payer 6 €.

Le magasin B fait payer 3 € + 1,5 €=4,5 €.

Le magasin C propose 30 % de réduction. Comme $3 \times \dfrac{30}{100}=\dfrac{90}{100}=0,9$ cela fait 0,9 € de réduction par cahier.

On paye donc 2,10 € + 2,10 €=4,20 €.

Le magasin C est donc le plus rentable pour deux cahiers !

À partir du calcul littéral… notons $c$ le prix d’un cahier.

Le magasin A fait payer $2c$.

Le magasin B fait payer $c+0,5c=1,5c$

Le magasin C diminue le prix de 30 %, il passe donc à $\right(1-\drac{30}{100}\left) \times c=0,70c$.

On paye ainsi pour deux cahiers $0,70c+0,70c=1,40c$

Comme $c>0$ (c’est un prix) on arrive à :

$1,40c \simeq 1,50c \simeq 2c$

Le magasin C est le plus rentable !

2.b On reprend le raisonnement précédent pour 3 cahiers.

À partir du même exemple générique…

Dans le magasin A on paye 6 €. (car le troisième est gratuit !)

Dans le magasin B on paye 3 € + 1,5 € + 3 €=7,5 €.

Dans le magasin C on paye 2,10 €+2,10 € + 2,10 €=6,30 €.

Le magasin A devient le plus rentable.

À partir du calcul littéral…

Dans le magasin A on paye $2c$.

Dans le magasin B on paye $c+0,5c+c=3,5c$

Dans le magasin C on paye 3 \times 0,70c=2,10c$

Le magasin A est le plus rentable !

3. Léa va obtenir 10 % de réduction sur un article soldé à 30 %.

À partir d’un exemple générique… à nouveau 3 €.

Le cahier passe de 3 € à 2,10 €.

Comme $2,10 \times \dfrac{10}{100}=0,21$, le prix final est $2,10~€-0,21~€=1,89~€$.

Reste à déterminer le pourcentage de diminution qui permet de passer de 3 € à 1,89 €.

Il y a deux méthodes possibles :

Méthode antérieure à la troisième : une fréquence ou le tableau de proportionnalité

$3~€ – 1,89~€=1,11~€$

Or $\dfrac{1,11}{3}=0,37$ donc 1,11 € correspond à 37 % de 3 €.

On pouvait aussi utiliser un tableau de proportionnalité entre le prix de départ et la réduction…

Méthode de troisième : le coefficient de réduction

On cherche le coefficient de réduction $k$ tel que $3k=1,89$

$k=\dfrac {1,89}{3}=0,63$

Or $0,63=1-0,37=1-\dfrac{37}{100}$

Il s’agit bien d’une réduction de 37 % !

À partir du calcul littéral :

Le prix de départ étant $c$, le prix diminué de 30% est 0,70c.

On diminue encore de 10% donc $\right(1-\dfrac{10}{100}\left) \times 0,70c=0,90 \times 0,70c=0,63c$

Or $0,63=1-0,37$

On retrouve les 37 % de réduction !

On pouvait bien sur mélanger les différentes méthodes de résolution : exemple générique, exemple littéral, coefficient de réduction, tableau de proportionnalité, raisonnement à partir du montant de la réduction…


Exercice 7 #J-21 Correction

1. Il suffit d’observer la case C2. On constate que $f(0)=-7$

2. On constate dans le tableau, case F2, on constate que $f(6)=47$

Par le calcul on trouve $f(6)=6^2+3\times 6-7=36+18-7=47$

3. L’expression $x^2+3x-7$ correspond à la fonction $f(x)$ et donc à la ligne 2.

L’expression $4x+5$ correspond à la fonction $g(x)$ et donc à la ligne 3.

En observant ces deux lignes, on constate qu’il y a une égalité dans la colonne E.

Donc pour $x=4$ nous avons $x^2+3x-7=4x+5$.

4 est donc une solution de cette équation !

4. La fonction $h$ est affine, donc son expression est du type $h(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont des nombres.

On cherche à déterminer ces deux nombres.

On constate dans le tableau que $h(0)=5$.

Or $h(0)=a\times 0+b=b$ du coup $b=5$.

La fonction affine $h$ s’écrit donc $h(x)=ax+5$.

Utilisons une autre image connue, par exemple $h(2)=1$.

Comme $h(2)=a \times 2+5=2a+5$, le nombre $a$ est solution de l’équation $2a+5=1$

$2a+5=1$

$2a=1-5$

$2a=-4$

$a=-\dfrac{4}{2}$

$a=-2$

La fonction $h$ a donc pour expression : $h(x)=-2x+5$


Exercice 8 #J-20 Correction

1. Calculons $\frac{23+9+10+10+23+22+18+16+13+8+8+16+18+10+12}{15}=\dfrac{216}{15}=14,4$

La moyenne de cette série est 14,4 cm.

2. Il faut classer les mesures dans l’ordre croissant. Il y a 15 valeurs, la médiane est donc la huitième puisque 7+1+7=15.

On a :

$8\simeq 8 <9<10 \simeq 10 \simeq 10 <12<13<16 \simeq 16 <18 \simeq 18 < 22 < 23 \simeq 23$

La huitième mesure est 13 cm : il s’agit de la médiane de  cette série !

3. Les crabes mesurant moins de 14 cm ont été remis en liberté.

8 crabes ont une mesure inférieure à 14 cm.

$\dfrac{8}{14} \approx 0,57$

Il a du remettre à l’eau $\dfrac{8}{14}$ soit 57 % des crabes pêchés.


Exercice 9 #J-19 Correction

1. Développons $E=(x-2)(2x+3)-3(x-2)$

$E=2x^2+3x-4x-6-3x+6$

$E=2x^2-4x$

2. Factoriser $E=(x-2)(2x+3)-3(x-2)$

On constate que c’est une expression constituée de deux termes. Dans chaque terme, le facteur commun est $(x-2)$.

$E=(x-2)\right[(2x+3)-3 \left]$

$E=(x-2)\right[2x+3-3\left]$

$E=2x(x-2)$

On constate que $E=2 \times x(x-2)$ soit $E=2F$ où $F=x(x-2)$

3. Il faut résoudre l’équation $(x-2)(2x+3)-3(x-2)=0$ soit $E=0$.

Pour résoudre ce genre d’équation, il faut utiliser la forme factorisée.

$2x(x-2)=0$

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul.

2x=0 ou x-2=0

x=0 ou x=2

Il y a deux solutions : les nombres 0 et 2.

On ne sait pas résoudre des équations ayant un terme en $x^2$ en troisième. Quand la forme développée d’une équation contient un terme en $x^2$, c’est vraisemblablement qu’il faut utiliser la forme factorisée !


Exercice 10 #J-18 Correction

1. Il faut absolument prendre un peu de temps pour lire et comprendre l’expression proposée. En particulier se concentrer sur les unités utilisées dans cette expression. Dans l’expression $R=\dfrac{e}{c}$, $e$ est une épaisseur en mètre, $c$ un coefficient, donc un nombre et $R$ est un nombre.

Dans le cas de Noa, on a $R=\dfrac{15cm}{0,035}=\dfrac{0,15~m}{0,035} \approx 4,3$

Comme il faut que le coefficient $R$ soit supérieur à $4$, la maison de Noa respecte la norme RT2012 des maisons BBC.

2. Pour Camille il faut résoudre l’équation d’inconnue $e$ :

$\dfrac{e}{0,04}=5$

$e=5\times 0,04$

$e=0,20$

Il faut donc $0,20~m=20~cm$ d’isolant sur le mur !


Exercice 11 #J-17 Correction

1.a.b

2. Calculons le volume de chacun de ces solides en utilisant les expressions données dans l’énoncé.

$V_{pyramide}=\dfrac{6~cm \times 3~cm \times 6~cm}{3}=36~cm^3$

$V_{cylindre}=\pi \times (2~cm)^2 \times 3~cm=12\pi~cm^3 \approx 37,7~cm^3$

$V_{cone}=\dfrac{\pi \times (3~cm)^2 \times 3~cm}{3}=9\pi~cm^3 \approx 28,3~cm^3$

$V_{boule}=\dfrac{4}{3} \pi \times (2~cm)^3=\dfrac{32\pi}{3}~cm^3 \approx 33,5~cm^3$

Voici le classement dans l’ordre croissant que l’on obtient :

$V_{cone} < V_{boule} < V_{pyramide} <V_{cylindre}$

Il est important d’utiliser les unités dans les calculs !

Pour mémoire et bien que cela ne soit pas demandé dans cet exercice, il peut être nécessaire de se souvenir de la définition du litre :

$1~L=1~dm^3$

$1~L=1~000~cm^3$

$1~000~L=1~m^3$


Exercice 12 #J-16 Correction

1. Dans la cellule H2 a été saisie la formule :

=B2+C2+D2+E2+F2+G2 ou =SOMME(B2:G2)

Dans les programmes on parle d’usage du tableur, aucune fonction particulière ni aucune marque de tableur n’est indiqué. Les formules les plus simples sont donc préconisées. Pour le choix des tableurs on privilégiera les logiciels libres et gratuits conformément à l’exemple de neutralité commercial que doit donner un fonctionnaire de l’état : Libreoffice semble donc la meilleur solution !

2. L’expérience aléatoire revient ici à choisir un volet parmi 500. Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité car tous les volets sont semblables.

Il y a 500 volets en tout. 186 sont tombés en panne entre 3000 et 3999 utilisations, 84 entre 4000 et 4999 utilisations et 19 au delà des 5000 utilisations.

$186+84+19=289$ donc sur les 500 volets, 289 ont dépassé les 3000 utilisations.

La probabilité cherchée est donc $\dfrac{289}{500}=0,578$ soit $57,8~\%$

3. Seulement 20 volets ne dépassent pas les 1000 montées/descentes. Il y a donc 480 volets fiables sur 500.

$\dfrac{480}{500}=0,96$ soit $96~\%.

Ce lot de volets roulants est donc fiable !


Exercice 13 #J-15 Correction

Cette piscine est en forme de pavé droit (parallélépipède rectangle). Comme on souhaite laisser 20 cm d’espace, l’eau va donc prendre la forme d’un pavé droit de 8 m de long, 4 m de large et 1,60 m de haut.

Le volume d’eau est donc : $V=8~m \times 4~m \times 1,60~m=51,2~m^3$

On sait que :

$1~L=1~dm^3=1~000~cm^3$ ou encore que $1~m^3=1~000~L$.

Le volume d’eau est donc $V=51,2~m^3=51~200~L$.

Le débit pour remplir la piscine est de $10~L$ en $18~s$.

On peut utiliser deux méthodes équivalentes :

Méthode 1 : le retour à l’unité

$10~L$ en $18~s$ donc cela fait $1~L$ en $\dfrac{18}{10}~s=1,8~s$.

Il faut donc $51~200 \times 1,8~s=92~160~s$

Méthode 2 : le tableau de proportionnalité

Le volume d’eau versé et le temps sont deux grandeurs proportionnelles.

Volume d’eau $10~L$ 51~200~L$
Temps $18~s$ $\dfrac{51~200~L \times 18~s}{10~L}=92~160~s$

Reste à convertir dans des unités plus adaptés $92~160~s$.

La division euclidienne est le bon outil pour cette tâche.

$92~160~s=60~s \times 1~536=1~536~min$

$1~536~min=60~min \times 25+36~min=25~h~36~min=1~j~1~h~36~min$

Il faut donc plus d’une journée pour remplir cette piscine !


Exercice 14 #J-14 – Correction

1. La cuisine à la forme d’un rectangle de 4 m par 5 m. Sa surface mesure donc $4~m \times 5~m=20~m^2$

Il est conseillé de commander 5% en plus. Or $20~m \times \dfrac{20}{100}=1$

Il faut donc bien commander $21~m^2$ de carrelage.

2. Un paquet permet de couvrir $1,12~m^2$.

$21~m^2 \div 1,12~m^2 =18,75$

Il faudra acheter $19$ paquets de carrelage.

3. Un paquet coûte $31~€$.

$19 \times 31~€=589~€$

Le prix du carrelage est $589~€$

4. Pour déterminer le nombre de sachet de croisillons il faut commencer par calculer le prix des croisillons.

Le prix total hors taxe est $88~€$. Or $36~€+45~€=81~€$.

Il manque donc $7~€$ soit le prix d’un sachet de croisillon.

Le prix de 2 sacs de joint est $45~€$. Le prix unitaire est donc $45~€\div 2=22,50~€$

À $88~€$ il faut ajouter 20% de taxe soit $88~€ \times \dfrac{20}{100}=16,60~€$.

Le prix total toutes taxes comprises est donc $88~€+16,60~€=104,60~€$.

Voici la facture complétée :


Exercice 15 #J-13 – Correction

1. Une reproduction à l’échelle 1/300 signifie que 1 unité mesurée sur la maquette correspond à 300 unités dans la réalité. Ou encore que les mesures de la réalité ont été multipliée par $\dfrac{1}{300}$ c’est à dire divisée par 300. (Multiplier par un nombre non nul revient en effet à diviser par son inverse… et réciproquement..). On peut aussi raisonner en terme de ratio et dire que les mesures sur la maquette et en vraies grandeurs sont dans un ratio 1:300.

$317~m \div 300 approx 1,047~m$ soit environ $105~cm$.

$279~m \div 300=0,93$ soit $93~cm$.

2.a Attention, on peut constater que $317~m \times 279~m=88~443~m^3 \neq 69~500~m^2$. Cela signifie que la surface au sol de ce stade n’est pas un rectangle mais une figure qui correspond à l’intersection de l’ovale avec le plan du sol. Il ne faut donc pas utiliser la formule de l’aire d’un rectangle mais plutôt le lien entre agrandissement/réduction et aire.

On sait que si les dimensions des longueurs d’un solide sont multipliées par $k$, alors les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$.

Ici la maquette est une réduction de coefficient $k=\dfrac{1}{300}$. L’aire de la maquette est donc multipliée par $k^2=\left(\dfrac{1}{300}\right)^2=\dfrac{1}{90~000}$

$69~500~m^2 \times \dfrac{1}{90~000} \approx 0,77~m^2$

2.b Comme $0,77~m^2<1~m^2$ il pourra réaliser cette maquette !


Exercice 16 #J-12 – Correction

1. C’est une translation.

On ne peut pas préciser ici le vecteur de translation, c’est à dire le point d’origine et d’arrivée. On pourrait devancer le cours de seconde et parler de la translation de vecteur $\overrightarrow{2LK$}$.

2. Nous allons compter le nombre de carrés pleins et de demi-carrés.

Il y a 4 carrés pleins et 8 demi-carrés. Un carré a une aire de $1~cm^2$

L’aire du motif est donc : $4\times 1~cm^2+8 \times 0,5~cm^2=8~cm^2$

3. Si on divise par $k$ les longueurs d’un objet alors les aires sont divisées par $k^2$. Vérifions dans ce cas :

Le carré de $1~cm$ de côté passe à $0,5~cm$. Son aire devient donc $0,5~cm \times 0,5~cm=0,25~cm^2$.

Son aire a donc bien été divisée par 4. Le motif a donc une aire de $2~cm^2$.


Exercice 17 #J-11 – Correction

1. On ne peut donner qu’une valeur approximative. Au début de la course son rythme cardiaque est d’environ 53 battements par minute.

2. Entre la 25eme et 30eme minute de course, la fréquence cardiaque dépasse les 160 battements par minute.

3. Il faut soustraire $9~h~33~min$ à $10~h~26~min$.

Il manque $27~min$ pour atteindre $10~h$ depuis $9~h~33~min$. Il faut ajouter $26~min$.

La course a duré $53~min$.

4. Il a parcouru $11~km$ en $53~min$. On cherche sa vitesse moyenne en $1~h$, c’est à dire la distance parcourue en $1~h$.

Méthode 1 : usage de l’expression $v=\dfrac{d}{t}$

La difficulté réside dans la conversion de $53~min$ en heure.

Comme $1~h=60~min$, $53~min=\dfrac{53}{60}~h$

Il faut donc calculer $v=11 \div \dfrac{53}{60}=11 \times \dfrac{60}{53} \approx 12,45$

La vitesse moyenne est d’environ $12,45~km/h$

Méthode 2 : tableau de proportionnalité

Quand on calcule la vitesse moyenne, on suppose que le temps et la distance sont deux grandeurs proportionnelles.

Distance $11~km$ $11~km \times 60~min \div 53~min=12,45~km$
Temps $53~min$ $1~h=60~min$

La vitesse moyenne est bien d’environ $12,5~km/h$.

5. Un effort soutenu correspond à 70% à 85% de la fréquence cardiaque maximale.

La fréquence cardique maximale de Chris (FCM) est 190 battements par minute.

$190 \times \dfrac{70}{100}=190 \times 0,70=133$ et $190 \times 0,85=161,5$

Reste à lire graphiquement le temps passé entre ces deux fréquences.

Le graphique indique de Chris dépasse les 133 battements par minute au bout de 8 min pour repasser en dessous qu’après 41 min.

Chris a fait un effort soutenu pendant 33 min.


Exercice 18 #J-10 – Correction

1. La latitude correspond à une lecture verticale des angles. Pour s’en souvenir on peut penser que suivant la latitude le climat est différent : l’équateur est à la latitude 0° et le pôle Nord à la latitude 90° Nord.

La longitude correspond à une lecture horizontale des angles. La longitude 0° correspond au méridien de Greenwich qui passe en France.

PyeongChang est situé à environ 35° de latitude Nord et 130° de longitude Est.

Un petit tour sur Qwant nous apprend que les coordonnées GPS de PyeongChang sont : 37° N et 128° E.

2.  Aucune formule de volume n’est indiquée dans cet exercice… il faut les avoir mémorisée !

Le volume du cylindre : $V_{cylindre}=Aire\ de\ la\ base \times hauteur$

La base du cylindre est un disque, l’aire d’un disque se calcule en fonction du rayon $R$ par $\pi \times R^2$ (à ne pas confondre avec le périmètre du cercle dont l’expression est $2\pi \times R$).

Le volume de la boule : $V_{boule}=\dfrac{4}{3} \pi \times R^3$

La boule a un diamètre de $23~cm$ donc un rayon de $11,5~cm$.

$V_{boule}=\dfrac{4}{3} \times \pi \times (11,5~cm)^3 \approx 6~371~cm^3$

3.Attention, on donne le diamètre de 6 cm, donc le rayon mesure 3 cm !

$V_{cylindre}=\pi \times (3~cm)^3 \times 23 ~cm=207\pi~cm^3 \approx 650~cm^3$

Le volume total du trophée est donc $6371~cm^3+650~cm^3=7021~cm^3$

Or $7~027~m^3 \times \dfrac{90}{100}=6~318,9~cm^3$

On peut en effet considérer que le volume de la boule correspond à environ 90% du volume du trophée.


Exercice 19 #J-9 – Correction

1. Il faut penser à la liste des nombres premiers. Par exemple en voici quelques-uns : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 …

Il faut penser aussi aux critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9.

$162=2\times 81$ ; $81=3 \times 27 ; $27=3 \times 9$ ; $9=3 \times 3$ ainsi $162=2\times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^4$

$108=2\times 54$ ; $54=2 \times 27$  ; $27=3 \times 9 ; $9=3\times 3$ ainsi $108=2\times 2 \times 3 \times 3 \times 3=2^2 \times 3^3$.

2. On peut combiner les produits de nombres premiers communs pour obtenir ces diviseurs.

Voici la liste complète des diviseurs communs à $162$ et $108$ :

$1$ ; $2$ ; $3$ ; $2\times 3=6$ ; $3\times 3=9$ ; $2 \times 3 \times 3=18$ ; $3 \times 3 \times 3=27$ ; $2 \times 3 \times 3 \times 3=54$

Parmi ces diviseurs, $18$, $27$ et $54$ sont supérieurs à $10$.

3.a Il ne peut pas composer $36$ barquettes car $36$ n’est pas un diviseur commun de $162$ et $108$

D’ailleurs $162=36 \times 4,5$ et $108=36 \times 3$

3.b Il faut choisir le plus grand diviseur commun $54$, on a bien $162=54 \times 3$ et $108=54 \times 2$

3.c Il y aura 3 nems et 2 samosas dans chacune des 54 barquettes identiques.


Exercice 20 #J-8 – Correction

1.a Le nageur 1 a parcouru $2~000~m$

1.b Il a parcouru les $200~m$ en $5~min$

2. On peut remarquer par exemple qu’il parcoure $200~m$ en $5~min$ et $2~000~m$ en $45~min$. Comme $200~m \times 10=2~000~m$ et que $5~min \times 10 \neq 45~min$ on peut affirmer que le temps et la distance ne sont pas proportionnels.

On peut aussi dire que la représentation grapĥique de deux grandeurs proportionnelles est une droite qui passe par l’origine du repère. Ici clairement ce n’est pas le cas !

3. Il parcoure $2~000~m$ en $45~min$.

$2~000~m \div 45 \approx 44,44$ soit environ $44~m/min$

4.a $f(x)=50x$ donc $f(10)=50\times 10=500$ : $500$ est l’image de $10$ par la fonction $f$

4.b $f(30)=50 \times 30=1~500$ : $1~500$ est l’image de $30$ par la fonction $f$.

5.a D’après la question 4.a le nageur 2 a parcouru $500~m$ au bout de $10~min$ alors que la nageur 1 a parcouru $400~m$. Le nageur 2 est en tête avec $100~m$ d’avance sur la nageur 1.

5.b Le nageur 1 a aparcouru $1~600~m$ au bout de $30~mi$ alors que le nageur 2, d’après la question 4.b, a parcouru seulement $1~500~m$. Le nageur 1 est maintenant en avance de $100~m$ sur le nageur 2.


Exercice 21 #J-7 – Correction

Il faut dans cet exercice calculer la diagonale $[AC]$ du rectangle, c’est à dire l’hypoténuse $[AC]$ du triangle rectangle $ABC$ et vérifier que cette mesure est inférieure à $2,05~m$.

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, d’après le théorème de Pythagore on a :

$BA^2+BC^2=AC^2$

$59^2+198^2=AC^2$

$AC^2=3~481+39~204=42~685$

$AC=\sqrt{42~685} \approx 206,6$

La longueur $AC\approx 206,6~m$

On ne peut donc pas lever ce réfrigérateur dans le camion sans bouger le point d’appui.


Exercice 22 #J-6 – Correction

1. La première partie du programme calcule le Résultat1 et la seconde le Résultat2.

En partant du nombre $3$ on obtient  :

Résultat 1 : $2\times 3+3=6+3=9$ puis $Résultat1=9\times 9=81$.

Résultat 2 : $3\times 3=9$ puis $9\times 4=36$ ensuite $36+12\times 3=36+36=72$ et enfin $Résultat2=72+9=81$

2.a Prenons $x$ pour nombre de départ.

On a : $2\times x+3=2x+3$ puis $Résultat1=(2x+3)^2$.

2.b Prenons $x$ pour nombre de départ.

On a : $x \times x=x^2$ puis $x^2\times 4=4x^2$ ensuite $4x^2+12\times x=4x^2+12x$ et enfin $Résultat2=4x^2+12x+9$

2.c Il faut résoudre $4x^2+12x+9=9$

Tout d’abord on peut remarquer en développant que :

$(2x+3)^2=(2x+3)(2x+3)=4x^2+6x+6x+9=4x^2+12x+9$

Il y a plusieurs méthodes de résolutions, au moins 3 :

Méthode 1 :

$(2x+3)^2=9$

On sait que $(-3)^2=9$ et que $3^2=9$

Il y a donc deux possibilités :

$2x+3=3$ ou $2x+3=-3$

$2x=0$ ou $2x=-6$

$x=0$ ou $x=-3$

Méthode 2 :

$(2x+3)^2=9$

$(2x+3)^2-9=0$

$(2x+3)^2-3^2=0$

On factorise en utilisant l’identité $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$\left[(2x+3)+3\right]\left[(2x+3)-3\right]=0$

$(2x+6)(2x)=0$

On sait qu’un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul

Il y a donc deux possibilités :

$2x+6=0$ ou $2x=0$

$2x=-6$ ou $x=0$

$x=-3$ ou $x=0$

Méthode 3 :

$4x^2+12x+9=9$

$4x^2+12x=0$

On factorise $x$

$x(4x+12)=0$

On sait qu’un produit de facteurs est nul si un des facteurs est nul

Il y a donc deux possibilités :

$x=0$ ou $4x+12=0$

$x=0$ ou $4x=-12$

$x=0$ ou $x=-3$

Les nombres $0$ et $-3$ sont ceux qui donnent $9$ dans les programmes.


Exercice 23 #J-5 – Correction

1. On remarque de la figure C est un agrandissement de la figure A. Le rapport d’homothétie est donc supérieur à $1$.

$OA=1~u$ (unité) et $OC=3~u$

Le rapport de cette homothétie est donc $3$.

2. $OE=5~u$ donc $\dfrac{3}{5} \times OE=3~u$. Or $OC=3~u$

Il s’agit donc de la figure C.

3. On sait que quand les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$.

Or $4=2^2$. C’est donc en multipliant les longueurs par $2$ que les aires sont multipliées par $4$.

Comme $OB=2~u$, il s’agit de la figure B.


Exercice 24 #J-4 – Correction

1. Dans la boucle, Scratch trace une pointe de l’étoile. C’est une étoile à 5 branches, le nombre cherché est donc 5.

2. D’après le programme, pour tracer une branche, Scratch parcoure deux fois 80 unités, soit 160 unités pour une branche.

$160~u \times 5=800~u$

Cette étoile a un périmètre de $800$ unités.

3. Il faut modifier les valeurs $80$ en $160$ pour doubler le périmètre.

Dans un agrandissement on obtient une figure semblable donc les angles ne changent pas, on garde donc 144° et 72°.

Le nombre de branche ne change pas donc on boucle 5 fois.

Seul le nombre $80$ devient $160$ deux fois dans le programme.


Exercice 25 #J-3 – Correction

1. C’est une symétrie d’axe $(AB)$, en effet dans ce cas les points $A$ et $B$ ne sont pas modifiés.

De plus comme $ABC$ est isocèle en $C$, on sait que $C$ est sur la médiatrice du segment $[AB]$.

2. Il s’agit de la translation qui tranforme $A$ en $D$, c’est la même translation que celle qui transforme $C$ en $B$


Exercice 26 #J-2 – Correction

D’après l’écran, $9,7~Mo$ ont été téléchargés sur $115,2~Mo$. Il reste donc $115,2~Mo-9,7~Mo=105,5~Mo$ à télécharger.

La vitesse moyenne de téléchargement est de $1,3~Mo/s$.

$105,5~Mo \div 1,3~Mo \approx 81,15$

Il faut encore environ $81~s=1~min~21~s$ pour terminer le téléchargement.

Il faudra donc moins de $1~min~25~s$.


Exercice 27 #J-1 – Correction

1. $A=2x(x-1)-4(x-1)$

$A=2x^2-2x-4x+4$

$A=2x^2-6x+4$

2. Dans l’expression $(2x+1)(x-2)$ calculons pour $x=-5$.

$(2\times (-5)+1)(-5-2)=(-10+1)\times (-7)=(-9) \times (-7)=63$.

3.a Il s’agit de la droite $(d_2)$.

3.b Plusieurs manière de raisonner :

Tout d’abord il faut préciser que la fonction $f(x)=-3x+1,5$ est une fonction affine dont le coefficient directeur est $3$ et l’ordonnée à l’origine est $1,5$. Sa représentation graphique est donc une droite.

  • La droite $(d_1)$ « monte », la droite $(d_2)$ « descend.
    Or la fonction affine $f(x)=-3x+1,5$ a un coefficient directeur négatif, donc la droite doit « descendre » ;
  • L’ordonnée à l’origine est $1,5$, cette droite doit passer par le point $(0;1,5)$ c’est à dire qu’elle coupe l’axe des ordonnées à l’ordonnée $1,5$. La droite $(d_1)$ coupe l’axe des abscisses en $1,5$… c’est un piège !
  • On peut calculer une image : $f(1)=-3 \times 1+1,5=-1,5$. Le point $(1;-1,5)$ est sur la droite $(d_2)$ et aussi sur la droite  $(d_1)$, encore un piège… Par contre $f(-1)=-3 \times (-1)+1,5=4,5$. Le point $(-1;4,5)$ est bien sur la droite $(d_2)$ et pas sur la droite $(d_1)$ !

Exercice 28 #Jour J – Correction

1. Dans le triangle $APB$ rectangle en $P$

$AP=AD-FG=0,27~m-0,15~m=0,12~m$

$PB=5~m$

Il s’agit respectivement du côté opposé et du côté adjacent à l’angle $\widehat{ABP}$

$\tan \widehat{ABP}=\dfrac{0,12~m}{5~m}=0,024$

À la calculatrice on trouve $\widehat{ABP} \approx 1,37^\circ$

Le projet de Mme Martin vérifie bien les conditions demandées.

2. Volume de béton :

Le solide $DCGHABFE$ est un prisme droit dont les bases parallèles sont les quadrilatères $ADCB$ et $EHGF$ et la hauteur mesure $8~m$ la distance entre ces deux bases.

Il faut calculer l’aire de ces quadrilatères.

On constate qu’il s’agit d’un rectangle $PBCD$ auquel est ajouté un triangle rectangle $PBA$.

$Aire_{PBA}=\dfrac{AP \times PB}{2}=\dfrac{0,12~m \times 5~m}{2}=0,3~m^2$

$Aire_{PBCD}=PD \times DC=0,15~m \times 5~m=0,75~m^2$

Donc $Aire_{base}=0,3~m^2+0,75~m^2=1,05~m^2$

$Volume_{beton}=Aire_{base} \times hauteur=1,05~m^2 \times 8~m=8,4~m^3$

Prix du béton :

Il faut $8,4~m^3$ de béton dont le prix est $95$ € pour $1~m^3$.

$95~€ \times 8,4=798~€$

Prix du transport :

La toupie contient au maximum $6~m^3$ de béton, il faut donc prévoir deux voyages aller-retour.

$23~km \times 2 \times 2=96~km$

Le prix du kilomètre parcouru est $5~€$.

$5~€ \times 96=480~€$

Bilan :

Prix du béton : $798~€$

Prix du transport : $480~€$

Prix total : $798~€+480~€=1~278~€$

L’entreprise va établir une factire de $1~278~€$ !

 

 

 


Exercice Bonus sur les ratios – Correction

1. On dit que deux grandeurs $a$ et $b$ sont dans un ratio $16:9$ si $\dfrac{a}{16}=\dfrac{b}{9}$

Donc par l’égalité des produits en croix on a $9a=16b$ mais aussi $\dfrac{a}{b}=\dfrac{16}{9}$.

On peut aussi dire que les grandeurs $a$ et $b$ sont proportionnelles aux nombres $16$ et $9$.

Ou encore que le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :

Grandeurs $a$ $b$
Nombres $16$ $9$

 

Dans cette question comme $\dfrac{112}{63}=\dfrac{16 \times 7}{9 \times 7}=\dfrac{16}{9}$ c’est la réponse B.

2. On peut utiliser un tableau de proportionnalité :

Grandeurs   $1~080$
Nombres $16$ $9$

On nous donne la largeur donc c’est le plus petit des deux nombres.

La valeur manquante est donc $\dfrac{16 \times 1~080}{9}=1~920$ c’est la réponse A.

3. On peut à nouveau utiliser un tableau de proportionnalité en ajoutant une colonne pour le total.

  Soeur 1 Soeur 2 Soeur 3 Total
Héritage       $10~800$ €
Nombres $2$ $3$ $4$ $9$

On trouve les valeurs manquantes en utilisant la règle de 3 :

Soeur 1 : $\dfrac{2 \times 10~800~€}{9}=2~400~€$

Soeur 2 : $\dfrac{3 \times 10~800~€}{9}=3~600~€$

Soeur 3 : $\dfrac{4 \times 10~800~€}{9}=4~800~€$

C’est la réponse C.

4. On utilise un tableau de proportionnalité comme dans la question 3.

  Angle 1 Angle 2 Angle 3
Angles $45^\circ$    
Nombres $3$ $4$ $5$

Angle 2 : $\dfrac{4 \times 45^\circ}{3}=60^\circ$

Angle 3 : $\dfrac{5 \times 45^\circ}{3}=75^\circ$

C’est la réponse A.

2 réflexions au sujet de « Brevet 2019 – Un exercice par jour pour se préparer en mathématiques »

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