L’arithmétique est une source inépuisable de curiosités mathématiques au collège. Les nombres premiers, en particulier, ont un aspect mystérieux fascinant. Dans cet article, je vous propose une découverte de ces nombres entiers particuliers en essayant dans la plupart des cas de rester au niveau du collège. Quelques conjectures au programme, des nombres sexy et autres jumeaux. On terminera par une liste des tous les nombres premiers inférieurs à 1 000 0000.
Définition
Pour commencer, signalons que tout cet article se place dans le cadre de l’arithmétique. Les nombres dont nous parlons sont des nombres entiers et positifs. Cela permet d’avoir quelques outils mathématiques comme la division euclidienne, les notions de diviseur, multiple et reste.
Un nombre premier est un nombre que l’on ne trouve dans aucune table de multiplication. Ce sont les anomalies des tables de multiplication, ceux qu’on ne trouve jamais, sauf quand on commet des erreurs de calculs. On pense à 17, 13, 43, 37… Pour être précis, un nombre est toujours dans la table de 1, tous les nombres sont des multiples de 1. Dit autrement, 1 divise tous les nombres. De plus, tous les nombres sont dans la table d’eux-même. 17 est un multiple de 17. Tous les nombres sont divisibles par eux-même.
On obtient la définition suivante : un nombre est premier s’il possède exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.
0 est divisible par tous les nombres entiers non nuls, il n’est pas premier
1 est divisible par lui-même, il n’a qu’un seul diviseur.
Le premier nombre premier est donc 2, il n’est divisible que par 1 et 2. D’ailleurs il s’agit du seul nombre premier pair.
3 et 5 sont les deux suivants. Les prochains ne sont divisibles ni par 2, ni par 5. Tous les nombres premiers supérieurs à 5 ont pour chiffre des unités 1 ; 3; 7 ou 9.
Théorème fondamental de l’arithmétique
Un des résultats les plus intéressants avec les nombres premiers est la possibilité de décomposer un nombre entier en produits de facteurs premiers. Tels les atomes de la chimie qui permettent d’écrire toute la matière sous la forme de combinaisons d’atomes élémentaires, les nombres premiers sont les briques élémentaires des nombres entiers.
Ainsi $6=2 \times 3$, $60=2 \times 2 \times 3 \times 5$ et $2025=3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$Le théorème fondamental de l’arithmétique affirme que tous les nombres entiers peuvent se décomposer de manière unique, à l’ordre près, sous la forme d’un tel produit. On considère par extension que l’écriture $7=7$ est un produit d’un facteur premier unique. Ce théorème peut être démontré par récurrence. Il se généralise à une classe de nombres plus complexes dans les anneaux factoriels.
Quelques propriétés étonnantes
On sait depuis Euclide qu’il y a une infinité de nombre premiers, c’est la proposition du Livre IX des Éléments. L’idée de la démonstration est très accessible. C’est un raisonnement par l’absurde.
Imaginons qu’il y ait seulement un nombre fini de nombres premiers. Il y en aurait $n$ et $p_n$ serait le plus grand. On peut ainsi construire un nombre particulier, le produit de tous les nombres premiers auquel on ajoute 1 : $P=p_1 \times p_2 \times p_{n-1} \times p_n +1$. En pensant à la division euclidienne, la division entière, il est facile de voir que lorsqu’on divise $P$ par l’un des $p_k$, alors il reste 1. Par conséquent, $P$ n’est divisible par aucun nombre premier. Il n’est donc divisible que par 1 et lui-même. Il est donc premier. Par construction, $P > p_n$, l’existence d’un plus grand nombre premier est donc remise en cause, d’où le résultat attendu.
Un autre résultat amusant ! Est-il possible de trouver 100 nombres entiers consécutifs sans aucun nombres premiers ? La réponse est oui, il suffit de regarder plus bas. Entre 492 113 et 492 217 il y 114 entiers non premiers. Plus généralement, pour $n$ un entier, peut-on trouver $n$ nombres entiers consécutifs non premiers ?
Les factorielles peuvent venir à notre secours. $n ! =1 \times 2 \times … \times n-1 \times n$. Par exemple, $6!=1\times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6=720$. Pour $n$ un entier, $n!$ est divisible par 1, 2, 3, … $n$ . Ainsi $n!+2$ est divisible par 2, $n!+3$ est divisible par $3$… $n!+n$ est divisible par $n$. Nous venons de montrer $n-1$ nombres entiers consécutifs divisibles par 2, 3, … donc non premiers. Ainsi en partant de $(n+1)!$ on est sur de rencontrer $n$ nombres entiers sans aucun premier.
Par exemple, pour $n=10$, $(n+1)!=11!=39 916 800. En ajoutant 2, 3, 4 … 10 et 11 à ce nombre, on obtient au minimum 10 nombres entiers non premiers. En pratique, entre 139 et 149 on a déjà obtenu un écart de 10. La preuve est valide mais ne donne pas l’écart attendu le plus efficace. D’ailleurs 39 916 801 est premier et le suivant est 39 916 017. Il y a bien 10 nombres entiers non premiers consécutifs, et même 16.
En observant les listes de nombres premiers ci-dessous, on constate qu’ils sont de moins en moins nombreux. Il y en a 25 inférieurs à 100, 21 entre 100 et 200, 14 entre 900 et 1000. En pourcentage, on arrive à 25% avant 100, 16,8% avant 1000, 12,3% avant 10 000, 9,6% avant 100 000, 7,7% avant 1 000 000. Cette décroissance est bien confirmée.
En 1737, Euler démontre que la série $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{13}…$ est divergente et qu’elle tend vers l’infini. Cela laisse entendre que, même si les nombres premiers se raréfient, cette décroissance est très lente.
En 1896, Hadamard et De la Vallée Poussin montrent que à l’infini, le nombre de nombres premiers inférieur à $x$, que l’on note souvent $\pi(x)$, se comporte comme $\dfrac{x}{ln~x}$. $ln~x$ est la fonction logarithme népérien. Elle est croissante, tend vers l’infini mais très lentement. Pour se donner une idée, $ln~x$ est proportionnelle à $log~x$, la fonction logarithme décimale, qui est plus simple à comprendre. Le logarithme décimal renvoi l’exposant de la puissance de 10 qui correspond à un nombre. Ainsi $log~0=1$, $log~10=1$, $log~100=2$ et $log~1~000~000~000=9$. C’est croissant, ça tend vers l’infini, mais lentement…
Un autre résultat simple à comprendre, en 1990 Felgner a démontrer que le n-ième nombres premier, noté $p_n$ est tel que $0,91n~ln~n < p_n < 1,7n~ln~n. Un encadrement qui permet de cibler ces nombres. Par exemple, le 25 ieme nombre premier, 97, doit vérifier $0,91 \times 25 \times ln~25 \approx 73,22 < 97 < 1,7 \times 25 \times ln~25 \approx 136,8. C’est large. Avec 997 le 168 ieme, on obtient $774 < 997 < 1463$, il y a de la marge !
Jumeaux, cousins, sexy et autre conjectures
L’écart entre deux nombres premiers est intéressant. Les seuls nombres premiers dont la différence est 1 sont 2 et 3.
Deux nombres premiers sont jumeaux si leur écart est de 2. Comme 3 et 5, 5 et 7 ou 137 et 139. On ne sait pas s’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux.
On dit que deux nombres premiers sont cousins, si leur écart est de 4. Ils sont sexys, si leur écart est de 6 ( sex pour 6 ).
Entre 1 et 100 :
25 nombres premiers, 8 paires de jumeaux, 7 voisins, 7 sexy, plus grand écart 8 entre 89 et 97
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97
Entre 100 et 1000 :
143 nombres premiers, 27 paires de jumeaux, 40 voisins, 44 sexy, plus grand écart 20 entre 887 et 907
101 ; 103 ; 107 ; 109 ; 113 ; 127 ; 131 ; 137 ; 139 ; 149 ; 151 ; 157 ; 163 ; 167 ; 173 ; 179 ; 181 ; 191 ; 193 ; 197 ; 199
211 ; 223 ; 227 ; 229 ; 233 ; 239 ; 241 ; 251 ; 257 ; 263 ; 269 ; 271 ; 277 ; 281 ; 283 ; 293
307 ; 311 ; 313 ; 317 ; 331 ; 337 ; 347 ; 349 ; 353 ; 359 ; 367 ; 373 ; 379 ; 383 ; 389 ; 397
401 ; 409 ; 419 ; 421 ; 431 ; 433 ; 439 ; 443 ; 449 ; 457 ; 461 ; 463 ; 467 ; 479 ; 487 ; 491 ; 499
503 ; 509 ; 521 ; 523 ; 541 ; 547 ; 557 ; 563 ; 569 ; 571 ; 577 ; 587 ; 593 ; 599
601 ; 607 ; 613 ; 617 ; 619 ; 631 ; 641 ; 643 ; 647 ; 653 ; 659 ; 661 ; 673 ; 677 ; 683 ; 691
701 ; 709 ; 719 ; 727 ; 733 ; 739 ; 743 ; 751 ; 757 ; 761 ; 769 ; 773 ; 787 ; 797
809 ; 811 ; 821 ; 823 ; 827 ; 829 ; 839 ; 853 ; 857 ; 859 ; 863 ; 877 ; 881 ; 883 ; 887
907 ; 911 ; 919 ; 929 ; 937 ; 941 ; 947 ; 953 ; 967 ; 971 ; 977 ; 983 ; 991 ; 997
Entre 1000 et 10 000 :
1061 nombres premiers, 170 paires de jumeaux, 202 voisins, 299 sexy, plus grand écart 36 entre 9551 et 9587
1009 ; 1013 ; 1019 ; 1021 ; 1031 ; 1033 ; 1039 ; 1049 ; 1051 ; 1061 ; 1063 ; 1069 ; 1087 ; 1091 ; 1093 ; 1097 ; 1103 ; 1109 ; 1117 ; 1123 ; 1129 ; 1151 ; 1153 ; 1163 ; 1171 ; 1181 ; 1187 ; 1193 ; 1201 ; 1213 ; 1217 ; 1223 ; 1229 ; 1231 ; 1237 ; 1249 ; 1259 ; 1277 ; 1279 ; 1283 ; 1289 ; 1291 ; 1297 ; 1301 ; 1303 ; 1307 ; 1319 ; 1321 ; 1327 ; 1361 ; 1367 ; 1373 ; 1381 ; 1399 ; 1409 ; 1423 ; 1427 ; 1429 ; 1433 ; 1439 ; 1447 ; 1451 ; 1453 ; 1459 ; 1471 ; 1481 ; 1483 ; 1487 ; 1489 ; 1493 ; 1499 ; 1511 ; 1523 ; 1531 ; 1543 ; 1549 ; 1553 ; 1559 ; 1567 ; 1571 ; 1579 ; 1583 ; 1597 ; 1601 ; 1607 ; 1609 ; 1613 ; 1619 ; 1621 ; 1627 ; 1637 ; 1657 ; 1663 ; 1667 ; 1669 ; 1693 ; 1697 ; 1699 ; 1709 ; 1721 ; 1723 ; 1733 ; 1741 ; 1747 ; 1753 ; 1759 ; 1777 ; 1783 ; 1787 ; 1789 ; 1801 ; 1811 ; 1823 ; 1831 ; 1847 ; 1861 ; 1867 ; 1871 ; 1873 ; 1877 ; 1879 ; 1889 ; 1901 ; 1907 ; 1913 ; 1931 ; 1933 ; 1949 ; 1951 ; 1973 ; 1979 ; 1987 ; 1993 ; 1997 ; 1999
2003 ; 2011 ; 2017 ; 2027 ; 2029 ; 2039 ; 2053 ; 2063 ; 2069 ; 2081 ; 2083 ; 2087 ; 2089 ; 2099 ; 2111 ; 2113 ; 2129 ; 2131 ; 2137 ; 2141 ; 2143 ; 2153 ; 2161 ; 2179 ; 2203 ; 2207 ; 2213 ; 2221 ; 2237 ; 2239 ; 2243 ; 2251 ; 2267 ; 2269 ; 2273 ; 2281 ; 2287 ; 2293 ; 2297 ; 2309 ; 2311 ; 2333 ; 2339 ; 2341 ; 2347 ; 2351 ; 2357 ; 2371 ; 2377 ; 2381 ; 2383 ; 2389 ; 2393 ; 2399 ; 2411 ; 2417 ; 2423 ; 2437 ; 2441 ; 2447 ; 2459 ; 2467 ; 2473 ; 2477 ; 2503 ; 2521 ; 2531 ; 2539 ; 2543 ; 2549 ; 2551 ; 2557 ; 2579 ; 2591 ; 2593 ; 2609 ; 2617 ; 2621 ; 2633 ; 2647 ; 2657 ; 2659 ; 2663 ; 2671 ; 2677 ; 2683 ; 2687 ; 2689 ; 2693 ; 2699 ; 2707 ; 2711 ; 2713 ; 2719 ; 2729 ; 2731 ; 2741 ; 2749 ; 2753 ; 2767 ; 2777 ; 2789 ; 2791 ; 2797 ; 2801 ; 2803 ; 2819 ; 2833 ; 2837 ; 2843 ; 2851 ; 2857 ; 2861 ; 2879 ; 2887 ; 2897 ; 2903 ; 2909 ; 2917 ; 2927 ; 2939 ; 2953 ; 2957 ; 2963 ; 2969 ; 2971 ; 2999
3001 ; 3011 ; 3019 ; 3023 ; 3037 ; 3041 ; 3049 ; 3061 ; 3067 ; 3079 ; 3083 ; 3089 ; 3109 ; 3119 ; 3121 ; 3137 ; 3163 ; 3167 ; 3169 ; 3181 ; 3187 ; 3191 ; 3203 ; 3209 ; 3217 ; 3221 ; 3229 ; 3251 ; 3253 ; 3257 ; 3259 ; 3271 ; 3299 ; 3301 ; 3307 ; 3313 ; 3319 ; 3323 ; 3329 ; 3331 ; 3343 ; 3347 ; 3359 ; 3361 ; 3371 ; 3373 ; 3389 ; 3391 ; 3407 ; 3413 ; 3433 ; 3449 ; 3457 ; 3461 ; 3463 ; 3467 ; 3469 ; 3491 ; 3499 ; 3511 ; 3517 ; 3527 ; 3529 ; 3533 ; 3539 ; 3541 ; 3547 ; 3557 ; 3559 ; 3571 ; 3581 ; 3583 ; 3593 ; 3607 ; 3613 ; 3617 ; 3623 ; 3631 ; 3637 ; 3643 ; 3659 ; 3671 ; 3673 ; 3677 ; 3691 ; 3697 ; 3701 ; 3709 ; 3719 ; 3727 ; 3733 ; 3739 ; 3761 ; 3767 ; 3769 ; 3779 ; 3793 ; 3797 ; 3803 ; 3821 ; 3823 ; 3833 ; 3847 ; 3851 ; 3853 ; 3863 ; 3877 ; 3881 ; 3889 ; 3907 ; 3911 ; 3917 ; 3919 ; 3923 ; 3929 ; 3931 ; 3943 ; 3947 ; 3967 ; 3989
4001 ; 4003 ; 4007 ; 4013 ; 4019 ; 4021 ; 4027 ; 4049 ; 4051 ; 4057 ; 4073 ; 4079 ; 4091 ; 4093 ; 4099 ; 4111 ; 4127 ; 4129 ; 4133 ; 4139 ; 4153 ; 4157 ; 4159 ; 4177 ; 4201 ; 4211 ; 4217 ; 4219 ; 4229 ; 4231 ; 4241 ; 4243 ; 4253 ; 4259 ; 4261 ; 4271 ; 4273 ; 4283 ; 4289 ; 4297 ; 4327 ; 4337 ; 4339 ; 4349 ; 4357 ; 4363 ; 4373 ; 4391 ; 4397 ; 4409 ; 4421 ; 4423 ; 4441 ; 4447 ; 4451 ; 4457 ; 4463 ; 4481 ; 4483 ; 4493 ; 4507 ; 4513 ; 4517 ; 4519 ; 4523 ; 4547 ; 4549 ; 4561 ; 4567 ; 4583 ; 4591 ; 4597 ; 4603 ; 4621 ; 4637 ; 4639 ; 4643 ; 4649 ; 4651 ; 4657 ; 4663 ; 4673 ; 4679 ; 4691 ; 4703 ; 4721 ; 4723 ; 4729 ; 4733 ; 4751 ; 4759 ; 4783 ; 4787 ; 4789 ; 4793 ; 4799 ; 4801 ; 4813 ; 4817 ; 4831 ; 4861 ; 4871 ; 4877 ; 4889 ; 4903 ; 4909 ; 4919 ; 4931 ; 4933 ; 4937 ; 4943 ; 4951 ; 4957 ; 4967 ; 4969 ; 4973 ; 4987 ; 4993 ; 4999
5003 ; 5009 ; 5011 ; 5021 ; 5023 ; 5039 ; 5051 ; 5059 ; 5077 ; 5081 ; 5087 ; 5099 ; 5101 ; 5107 ; 5113 ; 5119 ; 5147 ; 5153 ; 5167 ; 5171 ; 5179 ; 5189 ; 5197 ; 5209 ; 5227 ; 5231 ; 5233 ; 5237 ; 5261 ; 5273 ; 5279 ; 5281 ; 5297 ; 5303 ; 5309 ; 5323 ; 5333 ; 5347 ; 5351 ; 5381 ; 5387 ; 5393 ; 5399 ; 5407 ; 5413 ; 5417 ; 5419 ; 5431 ; 5437 ; 5441 ; 5443 ; 5449 ; 5471 ; 5477 ; 5479 ; 5483 ; 5501 ; 5503 ; 5507 ; 5519 ; 5521 ; 5527 ; 5531 ; 5557 ; 5563 ; 5569 ; 5573 ; 5581 ; 5591 ; 5623 ; 5639 ; 5641 ; 5647 ; 5651 ; 5653 ; 5657 ; 5659 ; 5669 ; 5683 ; 5689 ; 5693 ; 5701 ; 5711 ; 5717 ; 5737 ; 5741 ; 5743 ; 5749 ; 5779 ; 5783 ; 5791 ; 5801 ; 5807 ; 5813 ; 5821 ; 5827 ; 5839 ; 5843 ; 5849 ; 5851 ; 5857 ; 5861 ; 5867 ; 5869 ; 5879 ; 5881 ; 5897 ; 5903 ; 5923 ; 5927 ; 5939 ; 5953 ; 5981 ; 5987
6007 ; 6011 ; 6029 ; 6037 ; 6043 ; 6047 ; 6053 ; 6067 ; 6073 ; 6079 ; 6089 ; 6091 ; 6101 ; 6113 ; 6121 ; 6131 ; 6133 ; 6143 ; 6151 ; 6163 ; 6173 ; 6197 ; 6199 ; 6203 ; 6211 ; 6217 ; 6221 ; 6229 ; 6247 ; 6257 ; 6263 ; 6269 ; 6271 ; 6277 ; 6287 ; 6299 ; 6301 ; 6311 ; 6317 ; 6323 ; 6329 ; 6337 ; 6343 ; 6353 ; 6359 ; 6361 ; 6367 ; 6373 ; 6379 ; 6389 ; 6397 ; 6421 ; 6427 ; 6449 ; 6451 ; 6469 ; 6473 ; 6481 ; 6491 ; 6521 ; 6529 ; 6547 ; 6551 ; 6553 ; 6563 ; 6569 ; 6571 ; 6577 ; 6581 ; 6599 ; 6607 ; 6619 ; 6637 ; 6653 ; 6659 ; 6661 ; 6673 ; 6679 ; 6689 ; 6691 ; 6701 ; 6703 ; 6709 ; 6719 ; 6733 ; 6737 ; 6761 ; 6763 ; 6779 ; 6781 ; 6791 ; 6793 ; 6803 ; 6823 ; 6827 ; 6829 ; 6833 ; 6841 ; 6857 ; 6863 ; 6869 ; 6871 ; 6883 ; 6899 ; 6907 ; 6911 ; 6917 ; 6947 ; 6949 ; 6959 ; 6961 ; 6967 ; 6971 ; 6977 ; 6983 ; 6991 ; 6997
7001 ; 7013 ; 7019 ; 7027 ; 7039 ; 7043 ; 7057 ; 7069 ; 7079 ; 7103 ; 7109 ; 7121 ; 7127 ; 7129 ; 7151 ; 7159 ; 7177 ; 7187 ; 7193 ; 7207 ; 7211 ; 7213 ; 7219 ; 7229 ; 7237 ; 7243 ; 7247 ; 7253 ; 7283 ; 7297 ; 7307 ; 7309 ; 7321 ; 7331 ; 7333 ; 7349 ; 7351 ; 7369 ; 7393 ; 7411 ; 7417 ; 7433 ; 7451 ; 7457 ; 7459 ; 7477 ; 7481 ; 7487 ; 7489 ; 7499 ; 7507 ; 7517 ; 7523 ; 7529 ; 7537 ; 7541 ; 7547 ; 7549 ; 7559 ; 7561 ; 7573 ; 7577 ; 7583 ; 7589 ; 7591 ; 7603 ; 7607 ; 7621 ; 7639 ; 7643 ; 7649 ; 7669 ; 7673 ; 7681 ; 7687 ; 7691 ; 7699 ; 7703 ; 7717 ; 7723 ; 7727 ; 7741 ; 7753 ; 7757 ; 7759 ; 7789 ; 7793 ; 7817 ; 7823 ; 7829 ; 7841 ; 7853 ; 7867 ; 7873 ; 7877 ; 7879 ; 7883 ; 7901 ; 7907 ; 7919 ; 7927 ; 7933 ; 7937 ; 7949 ; 7951 ; 7963 ; 7993
8009 ; 8011 ; 8017 ; 8039 ; 8053 ; 8059 ; 8069 ; 8081 ; 8087 ; 8089 ; 8093 ; 8101 ; 8111 ; 8117 ; 8123 ; 8147 ; 8161 ; 8167 ; 8171 ; 8179 ; 8191 ; 8209 ; 8219 ; 8221 ; 8231 ; 8233 ; 8237 ; 8243 ; 8263 ; 8269 ; 8273 ; 8287 ; 8291 ; 8293 ; 8297 ; 8311 ; 8317 ; 8329 ; 8353 ; 8363 ; 8369 ; 8377 ; 8387 ; 8389 ; 8419 ; 8423 ; 8429 ; 8431 ; 8443 ; 8447 ; 8461 ; 8467 ; 8501 ; 8513 ; 8521 ; 8527 ; 8537 ; 8539 ; 8543 ; 8563 ; 8573 ; 8581 ; 8597 ; 8599 ; 8609 ; 8623 ; 8627 ; 8629 ; 8641 ; 8647 ; 8663 ; 8669 ; 8677 ; 8681 ; 8689 ; 8693 ; 8699 ; 8707 ; 8713 ; 8719 ; 8731 ; 8737 ; 8741 ; 8747 ; 8753 ; 8761 ; 8779 ; 8783 ; 8803 ; 8807 ; 8819 ; 8821 ; 8831 ; 8837 ; 8839 ; 8849 ; 8861 ; 8863 ; 8867 ; 8887 ; 8893 ; 8923 ; 8929 ; 8933 ; 8941 ; 8951 ; 8963 ; 8969 ; 8971 ; 8999
9001 ; 9007 ; 9011 ; 9013 ; 9029 ; 9041 ; 9043 ; 9049 ; 9059 ; 9067 ; 9091 ; 9103 ; 9109 ; 9127 ; 9133 ; 9137 ; 9151 ; 9157 ; 9161 ; 9173 ; 9181 ; 9187 ; 9199 ; 9203 ; 9209 ; 9221 ; 9227 ; 9239 ; 9241 ; 9257 ; 9277 ; 9281 ; 9283 ; 9293 ; 9311 ; 9319 ; 9323 ; 9337 ; 9341 ; 9343 ; 9349 ; 9371 ; 9377 ; 9391 ; 9397 ; 9403 ; 9413 ; 9419 ; 9421 ; 9431 ; 9433 ; 9437 ; 9439 ; 9461 ; 9463 ; 9467 ; 9473 ; 9479 ; 9491 ; 9497 ; 9511 ; 9521 ; 9533 ; 9539 ; 9547 ; 9551 ; 9587 ; 9601 ; 9613 ; 9619 ; 9623 ; 9629 ; 9631 ; 9643 ; 9649 ; 9661 ; 9677 ; 9679 ; 9689 ; 9697 ; 9719 ; 9721 ; 9733 ; 9739 ; 9743 ; 9749 ; 9767 ; 9769 ; 9781 ; 9787 ; 9791 ; 9803 ; 9811 ; 9817 ; 9829 ; 9833 ; 9839 ; 9851 ; 9857 ; 9859 ; 9871 ; 9883 ; 9887 ; 9901 ; 9907 ; 9923 ; 9929 ; 9931 ; 9941 ; 9949 ; 9967 ; 9973
Entre 10 000 et 100 000 :
8363 nombres premiers, 1019 paires de jumeaux, 1215 voisins, 1940 sexy, plus grand écart 72 entre 31 397 et 31 469
10007 ; 10009 ; 10037 ; 10039 ; 10061 ; 10067 ; 10069 ; 10079 ; 10091 ; 10093 ; 10099 ; 10103 ; 10111 ; 10133 ; 10139 ; 10141 ; 10151 ; 10159 ; 10163 ; 10169 ; 10177 ; 10181 ; 10193 ; 10211 ; 10223 ; 10243 ; 10247 ; 10253 ; 10259 ; 10267 ; 10271 ; 10273 ; 10289 ; 10301 ; 10303 ; 10313 ; 10321 ; 10331 ; 10333 ; 10337 ; 10343 ; 10357 ; 10369 ; 10391 ; 10399 ; 10427 ; 10429 ; 10433 ; 10453 ; 10457 ; 10459 ; 10463 ; 10477 ; 10487 ; 10499 ; 10501 ; 10513 ; 10529 ; 10531 ; 10559 ; 10567 ; 10589 ; 10597 ; 10601 ; 10607 ; 10613 ; 10627 ; 10631 ; 10639 ; 10651 ; 10657 ; 10663 ; 10667 ; 10687 ; 10691 ; 10709 ; 10711 ; 10723 ; 10729 ; 10733 ; 10739 ; 10753 ; 10771 ; 10781 ; 10789 ; 10799 ; 10831 ; 10837 ; 10847 ; 10853 ; 10859 ; 10861 ; 10867 ; 10883 ; 10889 ; 10891 ; 10903 ; 10909 ; 10937 ; 10939 ; 10949 ; 10957 ; 10973 ; 10979 ; 10987 ; 10993 ; 11003 ; 11027 ; 11047 ; 11057 ; 11059 ; 11069 ; 11071 ; 11083 ; 11087 ; 11093 ; 11113 ; 11117 ; 11119 ; 11131 ; 11149 ; 11159 ; 11161 ; 11171 ; 11173 ; 11177 ; 11197 ; 11213 ; 11239 ; 11243 ; 11251 ; 11257 ; 11261 ; 11273 ; 11279 ; 11287 ; 11299 ; 11311 ; 11317 ; 11321 ; 11329 ; 11351 ; 11353 ; 11369 ; 11383 ; 11393 ; 11399 ; 11411 ; 11423 ; 11437 ; 11443 ; 11447 ; 11467 ; 11471 ; 11483 ; 11489 ; 11491 ; 11497 ; 11503 ; 11519 ; 11527 ; 11549 ; 11551 ; 11579 ; 11587 ; 11593 ; 11597 ; 11617 ; 11621 ; 11633 ; 11657 ; 11677 ; 11681 ; 11689 ; 11699 ; 11701 ; 11717 ; 11719 ; 11731 ; 11743 ; 11777 ; 11779 ; 11783 ; 11789 ; 11801 ; 11807 ; 11813 ; 11821 ; 11827 ; 11831 ; 11833 ; 11839 ; 11863 ; 11867 ; 11887 ; 11897 ; 11903 ; 11909 ; 11923 ; 11927 ; 11933 ; 11939 ; 11941 ; 11953 ; 11959 ; 11969 ; 11971 ; 11981 ; 11987 ; 12007 ; 12011 ; 12037 ; 12041 ; 12043 ; 12049 ; 12071 ; 12073 ; 12097 ; 12101 ; 12107 ; 12109 ; 12113 ; 12119 ; 12143 ; 12149 ; 12157 ; 12161 ; 12163 ; 12197 ; 12203 ; 12211 ; 12227 ; 12239 ; 12241 ; 12251 ; 12253 ; 12263 ; 12269 ; 12277 ; 12281 ; 12289 ; 12301 ; 12323 ; 12329 ; 12343 ; 12347 ; 12373 ; 12377 ; 12379 ; 12391 ; 12401 ; 12409 ; 12413 ; 12421 ; 12433 ; 12437 ; 12451 ; 12457 ; 12473 ; 12479 ; 12487 ; 12491 ; 12497 ; 12503 ; 12511 ; 12517 ; 12527 ; 12539 ; 12541 ; 12547 ; 12553 ; 12569 ; 12577 ; 12583 ; 12589 ; 12601 ; 12611 ; 12613 ; 12619 ; 12637 ; 12641 ; 12647 ; 12653 ; 12659 ; 12671 ; 12689 ; 12697 ; 12703 ; 12713 ; 12721 ; 12739 ; 12743 ; 12757 ; 12763 ; 12781 ; 12791 ; 12799 ; 12809 ; 12821 ; 12823 ; 12829 ; 12841 ; 12853 ; 12889 ; 12893 ; 12899 ; 12907 ; 12911 ; 12917 ; 12919 ; 12923 ; 12941 ; 12953 ; 12959 ; 12967 ; 12973 ; 12979 ; 12983 ; 13001 ; 13003 ; 13007 ; 13009 ; 13033 ; 13037 ; 13043 ; 13049 ; 13063 ; 13093 ; 13099 ; 13103 ; 13109 ; 13121 ; 13127 ; 13147 ; 13151 ; 13159 ; 13163 ; 13171 ; 13177 ; 13183 ; 13187 ; 13217 ; 13219 ; 13229 ; 13241 ; 13249 ; 13259 ; 13267 ; 13291 ; 13297 ; 13309 ; 13313 ; 13327 ; 13331 ; 13337 ; 13339 ; 13367 ; 13381 ; 13397 ; 13399 ; 13411 ; 13417 ; 13421 ; 13441 ; 13451 ; 13457 ; 13463 ; 13469 ; 13477 ; 13487 ; 13499 ; 13513 ; 13523 ; 13537 ; 13553 ; 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92789 ; 92791 ; 92801 ; 92809 ; 92821 ; 92831 ; 92849 ; 92857 ; 92861 ; 92863 ; 92867 ; 92893 ; 92899 ; 92921 ; 92927 ; 92941 ; 92951 ; 92957 ; 92959 ; 92987 ; 92993 ; 93001 ; 93047 ; 93053 ; 93059 ; 93077 ; 93083 ; 93089 ; 93097 ; 93103 ; 93113 ; 93131 ; 93133 ; 93139 ; 93151 ; 93169 ; 93179 ; 93187 ; 93199 ; 93229 ; 93239 ; 93241 ; 93251 ; 93253 ; 93257 ; 93263 ; 93281 ; 93283 ; 93287 ; 93307 ; 93319 ; 93323 ; 93329 ; 93337 ; 93371 ; 93377 ; 93383 ; 93407 ; 93419 ; 93427 ; 93463 ; 93479 ; 93481 ; 93487 ; 93491 ; 93493 ; 93497 ; 93503 ; 93523 ; 93529 ; 93553 ; 93557 ; 93559 ; 93563 ; 93581 ; 93601 ; 93607 ; 93629 ; 93637 ; 93683 ; 93701 ; 93703 ; 93719 ; 93739 ; 93761 ; 93763 ; 93787 ; 93809 ; 93811 ; 93827 ; 93851 ; 93871 ; 93887 ; 93889 ; 93893 ; 93901 ; 93911 ; 93913 ; 93923 ; 93937 ; 93941 ; 93949 ; 93967 ; 93971 ; 93979 ; 93983 ; 93997 ; 94007 ; 94009 ; 94033 ; 94049 ; 94057 ; 94063 ; 94079 ; 94099 ; 94109 ; 94111 ; 94117 ; 94121 ; 94151 ; 94153 ; 94169 ; 94201 ; 94207 ; 94219 ; 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95581 ; 95597 ; 95603 ; 95617 ; 95621 ; 95629 ; 95633 ; 95651 ; 95701 ; 95707 ; 95713 ; 95717 ; 95723 ; 95731 ; 95737 ; 95747 ; 95773 ; 95783 ; 95789 ; 95791 ; 95801 ; 95803 ; 95813 ; 95819 ; 95857 ; 95869 ; 95873 ; 95881 ; 95891 ; 95911 ; 95917 ; 95923 ; 95929 ; 95947 ; 95957 ; 95959 ; 95971 ; 95987 ; 95989 ; 96001 ; 96013 ; 96017 ; 96043 ; 96053 ; 96059 ; 96079 ; 96097 ; 96137 ; 96149 ; 96157 ; 96167 ; 96179 ; 96181 ; 96199 ; 96211 ; 96221 ; 96223 ; 96233 ; 96259 ; 96263 ; 96269 ; 96281 ; 96289 ; 96293 ; 96323 ; 96329 ; 96331 ; 96337 ; 96353 ; 96377 ; 96401 ; 96419 ; 96431 ; 96443 ; 96451 ; 96457 ; 96461 ; 96469 ; 96479 ; 96487 ; 96493 ; 96497 ; 96517 ; 96527 ; 96553 ; 96557 ; 96581 ; 96587 ; 96589 ; 96601 ; 96643 ; 96661 ; 96667 ; 96671 ; 96697 ; 96703 ; 96731 ; 96737 ; 96739 ; 96749 ; 96757 ; 96763 ; 96769 ; 96779 ; 96787 ; 96797 ; 96799 ; 96821 ; 96823 ; 96827 ; 96847 ; 96851 ; 96857 ; 96893 ; 96907 ; 96911 ; 96931 ; 96953 ; 96959 ; 96973 ; 96979 ; 96989 ; 96997 ; 97001 ; 97003 ; 97007 ; 97021 ; 97039 ; 97073 ; 97081 ; 97103 ; 97117 ; 97127 ; 97151 ; 97157 ; 97159 ; 97169 ; 97171 ; 97177 ; 97187 ; 97213 ; 97231 ; 97241 ; 97259 ; 97283 ; 97301 ; 97303 ; 97327 ; 97367 ; 97369 ; 97373 ; 97379 ; 97381 ; 97387 ; 97397 ; 97423 ; 97429 ; 97441 ; 97453 ; 97459 ; 97463 ; 97499 ; 97501 ; 97511 ; 97523 ; 97547 ; 97549 ; 97553 ; 97561 ; 97571 ; 97577 ; 97579 ; 97583 ; 97607 ; 97609 ; 97613 ; 97649 ; 97651 ; 97673 ; 97687 ; 97711 ; 97729 ; 97771 ; 97777 ; 97787 ; 97789 ; 97813 ; 97829 ; 97841 ; 97843 ; 97847 ; 97849 ; 97859 ; 97861 ; 97871 ; 97879 ; 97883 ; 97919 ; 97927 ; 97931 ; 97943 ; 97961 ; 97967 ; 97973 ; 97987 ; 98009 ; 98011 ; 98017 ; 98041 ; 98047 ; 98057 ; 98081 ; 98101 ; 98123 ; 98129 ; 98143 ; 98179 ; 98207 ; 98213 ; 98221 ; 98227 ; 98251 ; 98257 ; 98269 ; 98297 ; 98299 ; 98317 ; 98321 ; 98323 ; 98327 ; 98347 ; 98369 ; 98377 ; 98387 ; 98389 ; 98407 ; 98411 ; 98419 ; 98429 ; 98443 ; 98453 ; 98459 ; 98467 ; 98473 ; 98479 ; 98491 ; 98507 ; 98519 ; 98533 ; 98543 ; 98561 ; 98563 ; 98573 ; 98597 ; 98621 ; 98627 ; 98639 ; 98641 ; 98663 ; 98669 ; 98689 ; 98711 ; 98713 ; 98717 ; 98729 ; 98731 ; 98737 ; 98773 ; 98779 ; 98801 ; 98807 ; 98809 ; 98837 ; 98849 ; 98867 ; 98869 ; 98873 ; 98887 ; 98893 ; 98897 ; 98899 ; 98909 ; 98911 ; 98927 ; 98929 ; 98939 ; 98947 ; 98953 ; 98963 ; 98981 ; 98993 ; 98999 ; 99013 ; 99017 ; 99023 ; 99041 ; 99053 ; 99079 ; 99083 ; 99089 ; 99103 ; 99109 ; 99119 ; 99131 ; 99133 ; 99137 ; 99139 ; 99149 ; 99173 ; 99181 ; 99191 ; 99223 ; 99233 ; 99241 ; 99251 ; 99257 ; 99259 ; 99277 ; 99289 ; 99317 ; 99347 ; 99349 ; 99367 ; 99371 ; 99377 ; 99391 ; 99397 ; 99401 ; 99409 ; 99431 ; 99439 ; 99469 ; 99487 ; 99497 ; 99523 ; 99527 ; 99529 ; 99551 ; 99559 ; 99563 ; 99571 ; 99577 ; 99581 ; 99607 ; 99611 ; 99623 ; 99643 ; 99661 ; 99667 ; 99679 ; 99689 ; 99707 ; 99709 ; 99713 ; 99719 ; 99721 ; 99733 ; 99761 ; 99767 ; 99787 ; 99793 ; 99809 ; 99817 ; 99823 ; 99829 ; 99833 ; 99839 ; 99859 ; 99871 ; 99877 ; 99881 ; 99901 ; 99907 ; 99923 ; 99929 ; 99961 ; 99971 ; 99989 ; 99991
Entre 100 000 et 1 000 000 :
68 906 nombres premiers, 8169 paires de jumeaux, 8143 voisins, 13 549 sexy, plus grand écart 114 entre 492 113 et 492 217
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