À l’approche de l’exceptionnel jour de pi le 14 mars 2015 ( en effet le 14 mars 2015 à 9 h 26 min 53 s nous aurons devant nous : 3 , 14 15 9 26 53 ), il était temps sur ce blog de faire un rapide historique des records de calcul des décimales de Pi. Cette balade à travers le temps est aussi une balade autour du monde qui nous fait visiter à chaque époque les pôles mathématiques d’une époque. J’ai aussi essayé de faire une liste qui ne sera jamais exhaustive des formules célèbres permettant de calculer Pi.
Le dernier record : novembre 2014
Les quatre derniers records ont été obtenus grâce au programme y-cruncher crée en 2009 par Alexander J. Yee. Ce programme libre et gratuit disponible sous tous les systèmes d’exploitation permet d’approcher quelques constantes mathématiques. Son usage permet de tester les capacités d’une machine en lui proposant un stress test qui consiste à calculer un maximum de décimales de $latex \pi$.
Y-cruncher utilise 2 méthodes pour calculer chacune des constantes, une pour calculer et une autre pour vérifier. En ce qui concerne $latex \pi$ il s’agit d’une formule de Ramanujan de 1910 et une autre des frères Chudnovsky de 1989 :
$latex \dfrac{1}{\pi}=\dfrac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(4k)!}{k!^4} \dfrac{1103+26090k}{396^{4k}}$ Ramanujan (1910)
$latex \dfrac{1}{\pi}=\dfrac{\sqrt{10005}}{4270934400}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{(6k)!}{k!^3(3k)!}\dfrac{13591409+545140134k)}{640320^{3k})}$ Chudnovsky (1989)
Le dernier record date de novembre 2014, un certain houkuonchi, j’imagine un pseudo, a réussi à calculer $latex 13~300~000~000~000$ de décimales de $latex \pi$. Pour effectuer ce calcul 208 jours ont été nécessaire avec un ordinateur muni d’un double processeurs 2,6Ghz Xeon E5-4650L , 192Gb DDR3 de mémoire vive accompagnés bien sûr de 24 disques durs de 4To et 30 disques durs de 3 To soit 192 To.
Il faut avouer que la seule contrainte est l’espace disque pour conserver le résultat !
Pour mémoire $latex \pi \approx 3,141~592~653~589~793~238$.
Si vous souhaitez plus de précisions consultez cette page pour en obtenir plusieurs millions ou plus. Vous pouvez aussi sur cette page vérifier si votre date de naissance ou votre numéro de téléphone est présent dans les décimales de $latex \pi$
Les records de calcul des décimales de Pi avant le Moyen-âge
| DATE | QUI et OÙ | DÉCIMALES |
| -2500 | Grande pyramide de Gizeh (Égypte) | $latex \dfrac{22}{7} \approx 3,14$ |
| -2000 | Tablette Babylonienne découverte en 1936 | $latex \dfrac{25}{8} \approx 3,125$ |
| -1650 | Le papyrus Rhind (Égypte) Approximation du cercle par un octogone régulier. |
$latex \left(\dfrac{16}{9}\right)^2 \approx 3,16$ |
| -500 | La Bible I Roi 7:23 :Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d’un bord à l’autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées. II Chroniques 4:2 :Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d’un bord à l’autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées. |
$latex 3$ |
| -400 | Platon Il pensait que $latex \pi=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ |
$latex 3,15$ |
| -434 | Anaxagore (Grèce) | $latex 3,14$ |
| -250 | Archimède (Grèce) Approximation du cercle par un polygone régulier à 96 côtés. |
$latex \dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}{7}$ |
| -20 | Vitruve (Rome) | $latex \dfrac{25}{8}=3,125$ |
| 5 | Liu Xin (Chine) | $latex 3,1457$ |
| 130 | Zhang Heng (Chine) | $latex \sqrt{10} \approx 3,16$ $latex \dfrac{730}{323} \approx 3,1465$ |
| 150 | Claude Ptolémée (Grèce) Approximation du cercle par un polygone régulier à 120 côtés. $latex \pi \approx 3+\dfrac{8}{60}+\dfrac{30}{60^2}$ | $latex \dfrac{377}{120} \approx 3,14166$ |
| 250 | Wang Fan (Chine) | $latex \dfrac{142}{45} \approx 3,15555$ |
| 263 | Liu Hui (Chine)Approximation du cercle par un polygone régulier à 192 côtés. | $latex \dfrac{3927}{1250}=3,1416$ |
| 400 | He Chang Tian (Chine) | $latex \dfrac{111035}{35239} \approx 3,1509$ |
| 480 | Zu Chongzhi (Chine) | $latex \dfrac{355}{113} \approx 3,141592$ |
| 499 | Aryabhata (Inde) | $latex \dfrac{62832}{20000} = 3,1416$ |
| 640 | Brahmagupta (Inde) | $latex \sqrt{10}$ |
| 800 | Al Khwârizmî (Irak) | $latex 3,1416$ |
| 1150 | Bhaskara II (Inde) | $latex 3,14156$ |
L’usage des séries avant l’ordinateur pour calculer Pi
On passe de formules utilisant les polygones réguliers à celles de l’analyse et des séries.
| 1120 | Fibonacci (Léonard de Pise) (Italie) | $latex 3,141818$ |
| 1320 | Zhao Youqin (Chine) | $latex 3,141592$ |
| 1400 | Madhava of Sangamagrama (Inde)$latex \dfrac{\pi}{4}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-…$ | $latex 3,1415926535$ |
| 1420 | Jamshid Al-Kashi (Iran)Approximation du cercle par un polygone régulier à $latex 3\times 2^{28}$ côtés. $latex \pi \approx 3+\dfrac{8}{60}+\dfrac{29}{60^2}+\dfrac{44}{60^3}+\dfrac{0}{60^4}+\dfrac{47}{60^5}+\dfrac{25}{60^6}+\dfrac{53}{60^7}+\dfrac{7}{60^8}+\dfrac{25}{60^9}$ |
17 décimales |
| 1573 | Valentin Otho (Allemagne) | $latex \dfrac{355}{113}$ |
| 1579 | François Viète ( France)$latex \dfrac{2}{\pi}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}…$ | 9 décimales |
| 1593 | Adriaan Van Roomen (Pays-Bas) | 15 décimales |
| 1596 | Ludolph Van Ceulen (Allemagne) Approximation du cercle par un polygone régulier à $latex 2^{31}$ côtés. |
20 décimales |
| 1615 | Ludolph Van Ceulen (Allemagne) Approximation du cercle par un polygone régulier à $latex 3^{62}$ côtés. |
32 décimales |
| 1621 | Willebrord Snell (Pays-Bas) | 35 décimales |
| 1630 | Christopher Grienberger (Autriche) | 38 décimales |
| 1665 | John Wallis (Angleterre)$latex \dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2\times 2 \times 4 \times 4 \times 6 \times 6…}{1 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 7…}$ | |
| 1665 | Isaac Newton (Angleterre) $latex \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3 \times 2^3}+\dfrac{1 \times 3}{2 \times 4} \times \dfrac{1}{5 \times 2^5}+\dfrac{1\times 3 \times 5}{2\times 4 \times 6}\times \dfrac{1}{7 \times 2^7}…$ |
16 décimales |
| 1671 | James Gregory (Écosse) $latex \dfrac{\pi}{4}=arctan(1)=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+…$ |
|
| 1681 | Takakazu Seki (Japon) | 16 décimales |
| 1699 | Abraham Sharp (Angleterre) $latex \dfrac{\pi}{6}=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\left[1-\dfrac{1}{3\times 3}+\dfrac{1}{5\times 3^2}-\dfrac{1}{7\times 3^3}+…\right]$ |
71 décimales |
| 1706 | John Machin (Angleterre) $latex \dfrac{\pi}{4}=4arctan\dfrac{1}{5}-arctan \dfrac{1}{239}$ $latex \pi=\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{239}\right)-\left(\dfrac{4}{3\times 5^3}-\dfrac{1}{3\times 239^3}\right)+\left(\dfrac{4}{5\times 5^5}-\dfrac{1}{5 \times 239^5}\right)…$ |
100 décimales |
| 1706 | William Jones (Pays de Galles) Il utilise pour la première fois le symbole $latex \pi$ |
|
| 1719 | Thomas Fantet de Lagny (France) | 112 décimales |
| 1722 | Toshikiyo Kamata (Japon) | 24 décimales |
| 1722 | Katahiro Kenko (Japon) | 41 décimales |
| 1739 | Yoshisuke Matsunaga (Japon) | 51 décimales |
| 1748 | Leonhard Euler ( Suisse) Il utilise la lettre grecque $latex \pi$ $latex \dfrac{\pi^2}{6}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}..$ $latex \dfrac{\pi^2}{8}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+…$ $latex \dfrac{\pi^3}{32}=\dfrac{1}{1^3}-\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{5^3}-\dfrac{1}{7^3}…$ $latex \dfrac{\pi^4}{90}=\dfrac{1}{1^4}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^4}+\dfrac{1}{5^4}$ $latex \dfrac{\pi^6}{945}=\dfrac{1}{1^6}+\dfrac{1}{2^6}+\dfrac{1}{3^6}+\dfrac{1}{4^6}+\dfrac{1}{5^6}+…$ $latex \dfrac{\pi^8}{9450}=\dfrac{1}{1^8}+\dfrac{1}{2^8}+\dfrac{1}{3^8}+\dfrac{1}{4^8}+\dfrac{1}{5^8}+…$ $latex \dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2\times 4 \times 6 \times 8 …}{3\times 5 \times 7 \times 9…}$ |
|
| 1761 | Johann Heinrich Lambert (Allemagne)Il prouve que $latex \pi$ est irrationnel, il suggère qu’il est transcendant sans le prouver. | |
| 1775 | Leonhard Euler (Suisse) Il conjecture que $\pi$ est transcendant. |
|
| 1789 | Jurij Vega (Slovénie) $latex \dfrac{\pi}{4}=5arctan\dfrac{1}{7}+2arctan\dfrac{3}{79}$ $latex \dfrac{\pi}{4}=5arctan\dfrac{1}{3}+arctan\dfrac{1}{7}$ |
126 décimales |
| 1792 | Jurij Vega (Slovénie) | 136 décimales |
| 1794 | Adrien Marie Legendre (France) Il montre que $latex \pi^2$ est irrationnel et conjecture la transcendance de $latex \pi$ |
|
| 1797 | Manuscrit anonyme | 152 décimales |
| 1841 | William Rutherford (Angleterre) $latex \dfrac{\pi}{4}=4arctan \dfrac{1}{5}-arctan\dfrac{1}{70}+arctan \dfrac{1}{99}$ |
152 décimales |
| 1844 | Johann Dase (Allemand) Calculateur prodige, il utilise la formule de Machin |
200 décimales |
| 1847 | Thomas Clausen (Danemark) $latex \dfrac{\pi}{4}=2arctan \dfrac{1}{3}+arctan \dfrac{1}{7}$ (Hutton) |
248 décimales |
| 1853 | Lehmann $latex \dfrac{\pi}{4}=arctan \dfrac{1}{2}+arctan \dfrac{1}{3}$ (Euler) |
261 décimales |
| 1855 | Richter | 500 décimales |
| 1874 | William Shanks (Angleterre) Il passe 15 ans à calculer 707 décimales de $latex \pi$ mais seule les 527 premières sont justes. Il utilise la formule de Machin |
527 décimales |
| 1882 | Von Lindemann (Allemand) Il prouve que $latex \pi$ est transcendant. |
De Ramanujan aux ordinateurs
Srinivasa Ramanujan marque un tournant dans les formules permettant de calculer $latex \pi$. La plupart de ces très nombreuses formules mystérieuses servent enocre aujourd’hui à calculer les décimales de $latex \pi$ avec un ordinateur.
| DATE | QUI et OÙ | DÉCIMALES |
| 1910 | Srinivasa Ramanujan (Inde) Il prouve de nombreuses formules dont vont se servir les calculateurs numériques par la suite.$latex 10-\pi^2=\dfrac{1}{1^3 \times 2^3}+\dfrac{1}{2^3 \times 3^3}+\dfrac{1}{3^3 \times 4^4}+\dfrac{1}{4^3 \times 5^3}+…$$latex |
|
| 1946 | FergusonIl utilise pour la première fois un calculateur informatique, une calculatrice de bureau. | 620 décimales |
| 1947 | FergusonIl prouve que Shanks avait commis une erreur. | 710 décimales |
| 1947 | Ferguson | 808 décimales |
| 1949 | Ferguson | 1120 décimales |
| 1949 | John Wrench (États-Unis) Le premier à utiliser un ordinateur (l’ENIAC) en 70 heures. | 2037 décimales |
| 1953 | Kurt Malher (Allemagne) Il prouve que $latex \pi$ n’est pas un nombre de Liouville, il ne peut donc pas être approché finement par une suite de rationnels. | |
| 1954 | Nicholson et Jeenel (États-Unis)Il calcule ces décimales en 13 minutes sur le NORC ( IBM) | 3 093 décimales |
| 1957 | George E Felton (Angleterre)Concepteur de l’OS GEORGE il utilise le Ferranti Pegasus Computer | 7 480 décimales |
| 1958 | François Genuys (France) IBM 704 en 1 h 42 min | 10 000 décimales |
| 1958 | George E Felton (Angleterre) en 33 h | 10 021 décimales |
| 1959 | François Genuys (France) IBM 704 en 4 h 20 min | 16 167 décimales |
| 1961 | Daniel Shanks et John Wrench (États-Unis)Sur un IBM 7090 en 8 h 40 min | 100 265 décimales |
| 1966 | Jean Guilloud et J. Filliatre (France)Sur un IBM 7030 en 28 h | 250 000 décimales |
| 1967 | Jean Guilloud at M. Dichampt (France)Sur un CDC 6600 en 28 h | 500 000 décimales |
| 1973 | Jean Guilloud et Martin Bouyer (France)Sur un CDC 7600 en 23 h 20 min | 1 001 250 décimales |
| 1976 | Richard Brent (Allemagne) et Eugène Salamin (Angleterre)Il démontre la convergence vers $latex \pi$ de :$latex u_n=\dfrac{4a_{n+1}^2}{1-\sum_{i=1}^{n}2^{i+1}(a_i^2-g_i^2)}$
où $latex a_0=1$, $latex g_0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $latex a_{n+1}=\dfrac{a_n+g_n}{2}$ et $latex g_{n+1}=\sqrt{a_ng_n}$ |
|
| 1981 | Kazunori Miyoshi et Yasumasa Kanada (Japon)Sur un FACOM M-200 | 2 000 036 décimales |
| 1982 | Yoshiaki Tamura (Japon)Sur un MELCOM 900II et la formule de Brent Salamin | 2 097 144 décimales |
| 1982 | Yoshiaki Tamura et Yasumasa Kanada (Japon)Sur un HITAC M-280H en 2 h 54 min et la formule de Brent Salamin | 4 194 288 décimales |
| 1982 | Yoshiaki Tamura et Yasumasa Kanada (Japon)Sur un HITAC M-280H | 8 388 576 décimales |
| 1982 | Kikuo Takano (1982)$latex \dfrac{\pi}{4}=12arctan \dfrac{1}{49}+32arctan \dfrac{1}{57}-5arctan \dfrac{1}{239}+12arctan \dfrac{1}{110443}$ | |
| 1983 | Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino and Yoshiaki Tamura (Japon)Sur un HITAC M-280H | 16 777 206 décimales |
| 1985 | Bill Gosper (États-Unis)Sur un Symbolics 3670 | 17 526 200 décimales |
| 1986 | David H. Bailey (Étas-Unis)Sur un CRAY-2 | 29 360 111 décimales |
| 1986 | Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura (Japon)Sur un HITAC S-810/20 | 33 554 414 décimales |
| 1986 | Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura (Japon)Sur un HITAC S-810/20 | 67 108 839 décimales |
| 1987 | Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo (Japon)Sur un NEC SX-2 | 134 214 700 décimales |
| 1988 | Yasumasa Kanada and Yoshiaki Tamura (Japon)Sur un HITAC S-820/80 | 201 326 551 décimales |
| 1989 | Gregory V. Chudnovsky & David V. Chudnovsky (États-Unis)Sur un CRAY-2 & IBM 3090/VF | 480 000 000 décimales |
| 1946 | FergusonIl utilise un calculateur informatique | 620 décimales |
Quand calculer Pi est à la portée de tout le monde… ou presque
Tous les records qui suivent ont été réalisé avec des ordinateurs du commerce.
Le calcul de $latex \pi$ est sorti des laboratoires
| DATE | QUI et OÙ | DÉCIMALES |
| 2009 | Grande pyramide de Gizeh (Égypte) | $latex \dfrac{22}{7} \approx 3,14$ |
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