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Jeux de grattage de la FDJ : ce que disent les mathématiques

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Jeux de grattage de la FDJ : ce que disent les mathématiques

Temps de lecture : 38 minutes

Je fréquente avec assiduité les maisons de la presse autour de chez moi. Mon rituel du mercredi consiste à acheter le dernier numéro de Charlie Hebdo, d’ajouter le Canard Enchaîné, Franc-Tireur et Télérama. Je complète régulièrement avec Pour la Science, Tangente et les albums photos de Reporters sans frontière. Comme, par manque de volonté, je n’ai jamais réussi à fumer ni à jouer aux jeux de la française des jeux, je peux m’accorder mes achats presse du mercredi. Un moyen d’affirmer mon soutien modeste pour les journalistes de presse écrite et les dessinateurs de Charlie que j’admire presque autant que les médailles Fields !

Je reste cependant très curieux de tous ces jeux de grattage, que les personnes devant moi, dans la file d’attente, achètent en quantité immodérée. Je me suis donc décidé à faire un petit tour sur le site de la Française des Jeux en me demandant comment fonctionne tout cela. Comment gagner à ces jeux de grattage ? Quel jeu permet d’espérer les meilleurs gains ? Quelles sont mes chances de devenir millionnaire ?

Ma réponse est radicale : il suffit de ne pas jouer ! 100% des gagnants ont tenté leur chance, dit le slogan génial de la FDJ. Sa contraposée est vraie. 100% de ceux qui n’ont jamais tenté leur chance n’ont rien perdu !

Je divulgache un peu la fin de cet article : pour minimiser vos pertes vous devriez joeur en priorité au Solitaire. Il faut éviter Banco et le Ticket d’or…

Voici, par pur intérêt mathématique, une petite analyse de niveau secondaire, des principaux jeux de grattage de la FDJ. N’y voyez surtout pas un conseil pour jouer à ce genre de loterie. Comme le dit Jean-Paul Delahaye dans un article fameux de Pour la Science : notre vision du hasard est bien hasardeuse ! Méfiance…


Les jeux de grattage de la FDJ
Probabilité et espérance de gain au grattage
Analyse des probabilités et des espérances de gains pour les jeux de grattage de la FDJ
Maxi Astro
Bingo
Mission Nature
Star Max
X5
Maxi BlackJack
Ticket d’Or
Club Color
Astro
Crescendo
As de coeur
Super 5 ou 50
Numéro fétiche
Mini Jackpot
Carré or
Black Jack
X 20
X 10
Cash
Banco
Méga Goal
Méga Mots Croisés
Maxi Mots Croisés
Mots Croisés
Super 10 ou 200
Solitaire
Jackpot
Maxi Goal
Vegas
Mini Mots Croisés
Pactole
Goal

Solitaire

Conclusion et conseils : on fait quoi avec tout cela ?

Les jeux de grattage de la FDJ

Contrairement au Loto ou à l’Euromillions, pour lesquels je vous conseille vivement la lecture de l’excellent article : Euromillions, gagner au loto grâce aux mathématiques, le tirage au sort à eu lieu en amont de l’achat du client. C’est en effet par lot que sont vendus les tickets de grattage. Dans un lot, qui peut contenir plusieurs millions de ticket, la FDJ détermine à l’avance de nombre de tickets gagnants pour chaque montant. Je vous rappelle que l’état a le monopole des jeux de hasards en France. Même si un taux de redistribution est souvent présenté, autour de 70%, cela signifie que 30% des mises des joueurs rentrent dans les caisses de l’État. Dans la liste ci-dessous, ce pourcentage de gain pour l’état correspond à l’espérance de gain du joueur. Elle est négative pour ces jeux, forcément, et comprise entre 26,5 % et 43,5 %.

Comme j’aime le dire à mes élèves, les probabilités ne permettent pas aux joueurs de trouver une méthode, une martingale, pour gagner. Elles permettent, au mieux, de déterminer entre plusieurs jeux, celui qui nous serait le moins défavorable. En revanche, les probabilités disent avec une précision chirurgicale (comme disent les influenceurs en crypto-actifs), combien un nouveau jeu de hasard va rapporter à l’État. La seule incertitude pour la FDJ est le nombre de joueurs qui tenteront la nouvelle carte à gratter, d’où les nombreuses campagnes de publicité pour augmenter les ressources du pays. Bref, la FDJ est bien une succursale du Trésor Public, elle récolte un impôt volontaire payé par des citoyens qui font la queue devant moi dans les maisons de la presse.

Probabilité et espérance de gain au grattage

Quand une expérience aléatoire se déroule, par exemple une boule choisie au hasard parmi 49 au loto, deux dés cubiques lancés aux petits chevaux, une carte à gratter dans un bureau de tabac, les probabilités permettent de calculer un nombre, compris entre 0 et 1 qui mesure le niveau d’incertitude du gain. La probabilité 0 ou 0% correspond à l’impossibilité du gain, la probabilité de 1 ou 100% . Entre ces deux bornes se situent des nombres compris entre 0 et 1, l’intervalle [0;1] comme on dit au lycée. Souvenons-nous à cette occasion que la notation pourcentage désigne simplement une fraction sur 100. Ainsi 78 % = 0,78. Il est courant d’écrire une probabilité sous la forme d’une fraction. Par exemple, la fraction 1/6 correspond à la probabilité d’obtenir un cinq avec un dé cubique, on dit souvent 1 chance sur 6. Comme 1/6 vaut environ 0,16667 cela représente presque 17% de chance de réalisation du gain.

L’espérance de gain est un nombre particulièrement pertinent pour les jeux de hasard. On l’associe à une variable aléatoire qui correspond à l’expérience aléatoire. Cette variable aléatoire est tout simplement la liste des gains ou des pertes possibles à ce jeu. Prenons un exemple simple. Je vous propose de jouer à Pile ou Face contre moi. Une partie coûte 2 euros. Si vous faites Pile, vous gagnez 3 euros, sinon vous perdez. Il y a deux événements à étudier, celui qui consiste à faire Pile et celui qui consiste à faire Face. Ces deux événements ont une probabilité de 1/2 soit 0,50 ou 50%. La variable aléatoire associe le nombre +3 à Pile et -2 à Face, les gains et les pertes. Pour calculer l’espérance de gain à ce jeu, il suffit de faire la moyenne des gains et des pertes pondérées par les probabilités. Plus clairement, cette espérance est égale à :

$E = \frac{3 \times 0,5 + (-2) \times 0,5}{0,5+0,5}=3 \times 0,5+(-2) \times 0,5 = 1,5-1=0,5$

On sait que la somme des probabilités est égale à 1, cela simplifie ce calcul.

Dans l’exemple ci-dessus, E=0,5 ce qui signifie qu’en moyenne, à ce jeu, le joueur gagne 0,5 euro à chaque partie (une valeur négative indiquerait une perte.) Il faudrait, en théorie, ne jouer de l’argent que quand l’espérance de gain est positive. Dans tous les cas, il est recommandé de comparer les espérances pour le choix entre plusieurs jeux hasardeux !

Analyse des probabilités et des espérances de gains pour les jeux de grattage de la FDJ

En utilisant le site officiel de la FDJ, qui est dans l’obligation légale de fournir les tableaux de gains, voici quelques éléments sur les jeux de grattage. Je propose ces jeux dans l’ordre antéchronologique, les derniers sortis en premiers. C’est un travail un peu répétitif, à la date de mise à jour de cet article, il y 33 jeux à gratter disponibles en France…

Cette recherche est enrichissante… Intellectuellement j’entends, je n’ai pas trouvé une martingale géniale ! En revanche, les tableaux des gains fournis par la FDJ montre que ce sont bien les mathématiciens qui sont les créateurs de ces jeux. C’est ce que j’affirme sans cesse à mes élèves. Les probabilités ne vont pas vous permettre de gagner aux jeux de hasard, elles vont vous donner la manière de créer un jeu de hasard qui vous fera gagner beaucoup d’argent ! Heureusement qu’en France cette prérogative appartient à l’état ! Pour le joueur, les probabilités permettent de limiter les pertes en faisant de bon choix. Le meilleur étant de fuir les jeux d’argent !

Trève de moralisation mathématique, c’est parti !

Maxi astro

Bingo

Mission nature

Star Max

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement-star-max-en-pdv.pdf

X5

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement-x5-internet.pdf

Maxi BlackJack

Ce jeu est plus complexe que les précédents. Quand le joueur gagne quelque chose en grattant, il peut, s’il le souhaite augmenter son gain en le multipliant par un coefficient. Si le gain de départ est inférieur à 100 €, trois manches supplémentaires sont possibles avec un coefficient multiplicateur à chaque manche gagné et une perte totale si une manche est perdue. Pour les gains supérieurs à 100 €, une seule manche pour augmenter le gain de 50 % ou le diminuer de 50 % en cas de perte.

Nous étudierons quatre situations : le jeu simple sans étape supplémentaire, le jeu suivi d’une manche, le jeu suivi de deux manches, le jeu suivi de trois manches.

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement-du-jeu-de-grattage-maxi-blackjack.pdf

Ticket d’or

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement-particulier-jeu-de-grattage-ticket-dor-pdv.pdf

Astro

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement-particulier-du-jeu-de-grattage-astro-pdv.pdf

Crescendo

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement-crescendo-pdv.pdf

As de coeur

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/2023%20R%C3%A8glement%20%20As%20de%20Coeur%20PDV%20Vdef.pdf

Super 5 ou 50

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement-particulier-du-jeu-de-grattage-denomme-super-5-ou-50.pdf

Numéro fétiche

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement-numero-fetiche-pdv.pdf

Mini Jackpot

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement-mini-jackpot-pdv.pdf

Carré Or

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_carre-or-pdv.pdf

Black Jack

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_black-jack_pdv.pdf

X 20

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_x20_pdv.pdf

X 10

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_x10_pdv.pdf

Cash

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_cash_pdv.pdf

Banco

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_banco_pdv.pdf

Méga Goal

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_mega-goal_pdv.pdf

Méga Mots Croisés

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_mega-mots-croises_pdv.pdf

Maxi Mots Croisés

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_maxi-mots-croises_pdv.pdf

Mots Croisés

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_motscroises_pdv.pdf

Super 10 ou 200

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_super10ou200_pdv.pdf

Solitaire

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_solitaire_pdv.pdf

Jackpot

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_jackpot_pdv.pdf

Maxi Goal

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_maxi-goal_pdv.pdf

Vegas

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_vegas_pdv.pdf

Mini Mots Croisés

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_minimotscroises_pdv.pdf

Pactole

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_pactole_pdv.pdf

Goal

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_goal_pdv.pdf

Solitaire

Source : https://cdn-media.fdj.fr/static/contrib/files/pdf/reglement_millionnaire_pdv.pdf

Conclusion et conseils : et alors, on fait quoi avec tout cela ?

La réponse me semble évidente, aucune espérance n’est positive, il n’est pas rationnel de jouer à un jeu de hasard qui en moyenne fait perdre le joueur. Mais nous sommes bien d’accord, cette réponse n’a rien de surprenant ! En revanche, si on veut être un peu plus fin et que l’on accepte l’idée que certains d’entre nous vont jouer à ces jeux de hasard, alors voici la liste de ces jeux dans l’ordre croissants des pertes. Quitte à perdre de l’argent, autant jouer à celui qui fait perdre le moins…

Attention cependant aux probabilités, les gains les plus importants ont une probabilité bien faible. Ce sont ces gains qui attirent le client, et l’observation de l’analyse ci-dessus montre clairement qu’il est peu probable de les gagner !

En bref, il faut jouer au Solitaire et éviter le Ticket d’Or. Même comme cela vous perdrez de l’argent.

Voici le classement détaillé dans l’ordre croissant des pertes moyennes. En premier, les jeux avec lesquelles vous perdrez le moins…

  1. Solitaire
    • Prix du ticket : 10 €
    • Gain maximal : 1 000 000 € avec un probabilité d’1 chance sur 1 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 26,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 29,88 %
  2. Méga Mots Croisés
    • Prix du ticket : 10 €
    • Gain maximal : 600 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 3 000 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 28 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 34,05 %
  3. Méga Goal
    • Prix du ticket : 10 €
    • Gain maximal : 750 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 3 000 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 28 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 31,29 %
  4. Jackpot
    • Prix du ticket : 5 €
    • Gain maximal : 500 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 7 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 29 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 18,34 %
  5. Super 10 ou 200
    • Prix du ticket : 5 €
    • Gain maximal : 200 € avec une probabilité d’1 chance sur 107
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 29 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 17,88 %
  6. X 20
    • Prix du ticket : 5 €
    • Gain maximal : 500 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 4 000 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 29 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 25,91 %
  7. Carré Or
    • Prix du ticket : 5 €
    • Gain maximal : 500 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 4 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 29 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 26,32 %
  8. Cash
    • Prix du ticket : 5 € avec une probabilité d’1 chance sur 6 000 000
    • Gain maximal : 500 000 €
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 29,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 26,31 %
  9. Maxi BlackJack
    • Prix du ticket : 5 €
    • Gain maximal : 600 000 ou 900 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 4 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 29 €, 29,90 ou 30,55 (suivant le mode de jeu)
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 26,62 %, 17,51 %,8,75 % ou 2,89 % (suivant le mode de jeu)
  10. Maxi Mots Croisés
    • Prix du ticket : 5 €
    • Gain maximal : 500 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 2 250 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 30 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 26,52 %, plus d’1 chance sur 4
  11. Vegas
    • Prix du ticket : 3 €
    • Gain maximal : 50 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 1 000 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 30 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 26,24 %, plus d’1 chance sur 4
  12. Maxi Astro
    • Prix du ticket : 5 €
    • Gain maximal : 500 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 4 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 30 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 29,32 %, moins d’1 chance sur 3
  13. Maxi Goal
    • Prix du ticket : 3 €
    • Gain maximal : 40 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 1 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 30,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 26,13 %, plus d’1 chance sur 4
  14. Club Color
    • Prix du ticket : 5 €
    • Gain maximal : 500 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 4 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 30,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 25,11 %, plus d’1 chance sur 4
  15. Mots Croisés
    • Prix du ticket : 3 €
    • Gain maximal : 40 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 1 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 30 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 26,07 %, plus d’1 chance sur 4
  16. Solitaire
    • Prix du ticket : 2 €
    • Gain maximal : 25 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 1 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 31,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 29,14 %, moins d’1 chance sur 3
  17. Star Max
    • Prix du ticket : 3 €
    • Gain maximal : 100 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 3 000 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 31,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 23,20 %, plus d’1 chance sur 5
  18. Astro
    • Prix du ticket : 2 €
    • Gain maximal : 25 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 1 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 31,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 31,23 %, moins d’1 chance sur 3
  19. Crescendo
    • Prix du ticket : 3 €
    • Gain maximal : 25 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 2 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 31,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 25,25 %, plus d’1 chance sur 4
  20. Super 5 ou 50
    • Prix du ticket :2 €
    • Gain maximal : 50 € avec une probabilité d’1 chance sur 96
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 31,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 18,10 %, moins d’1 chance sur 5
  21. Mini Jackpot
    • Prix du ticket :2 €
    • Gain maximal : 50 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 3 000 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 31,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 21,52 %, plus d’1 chance sur 5
  22. Numéro fétiche
    • Prix du ticket :2 €
    • Gain maximal : 20 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 2 250 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 31,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 33,29 %, moins d’1 chance sur 3
  23. Black Jack
    • Prix du ticket :2 €
    • Gain maximal : 40 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 1 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 31,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 22,43 %, plus d’1 chance sur 5
  24. X 10
    • Prix du ticket :2 €
    • Gain maximal : 20 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 1 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 31,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 26,09 %, plus d’1 chance sur 4
  25. Pactole
    • Prix du ticket : 2 €
    • Gain maximal : 200 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 4 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 32 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 23,49 %, moins d’1 chance sur 4
  26. X5
    • Prix du ticket : 1 €
    • Gain maximal : 10 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 2 000 0000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 32 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 25,54 %, plus d’1 chance sur 4
  27. As de coeur
    • Prix du ticket : 5 €
    • Gain maximal : 500 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 4 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 32 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 32,27 %, moins d’1 chance sur 3
  28. Mini Mots Croisés
    • Prix du ticket : 2 €
    • Gain maximal : 15 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 750 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 34 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 27,36 %, plus d’1 chance sur 4
  29. Bingo
    • Prix du ticket : 3 €
    • Gain maximal : 30 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 1 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 34 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 30,25 %, moins d’1 chance sur 3
  30. Mission Nature
    • Prix du ticket : 3 €
    • Gain maximal : 30 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 1 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 34 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 31 %, moins d’1 chance sur 3
  31. Goal
    • Prix du ticket : 1 €
    • Gain maximal : 4000 € avec une probabilité d’1 chance sur 1 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 35,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 25,17 %, plus d’1 chance sur 4
  32. Banco
    • Prix du ticket : 1 €
    • Gain maximal : 5000 € avec une probabilité d’1 chance sur 2 000 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 35,50 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 26,13 %, plus d’1 chance sur 4
  33. Ticket d’Or
    • Prix du ticket :5 €
    • Gain maximal : 500 000 € avec une probabilité d’1 chance sur 4 500 000
    • Perte moyenne pour 100 € joués : 43,90 €
    • Probabilité de gagner quelque chose ou d’être remboursé : 24,78 %, moins d’1 chance sur 4

Le blog de Fabrice ARNAUD — Licence CC BY-NC-SA 4.0



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