L’analyse au fil de l’histoire

Ernst HAIRER

1949

Gerhard WANNER

1942

★★★★☆

74/100

Éditeur / Collection : SPRINGER
Date de publication : 26 janvier 2001
Nombre de pages : 388
ISBN : 978-3540674634
Masse : 522g
Dimensions : 15,5cm x 2,3cm x 23,5cm

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Mon avis

L’analyse au fil de l’histoire montre avec minutie et précision, comment l’analyse a évolué pour atteindre son niveau actuel de sophistication. On découvre la manière dont les équations différentielles, les fonctions, la notion de continuité, ont été utilisées, avant le formalisme rigoureux du XIXe siècle. Une plongée stimulante et très fine dans l’histoire des mathématiques. De nombreux extraits des calculs originaux pour découvrir comment Euler, Gauss et les autres, manipulaient ces notions difficiles. Une source de découverte pour les enseignants et les passionnés de mathématiques.

Table des matières

→ Chapitre I Introduction à l’analyse infinitésimale
→ I.1 Coordonnées cartésiennes, fonctions polynomiales
→ Algèbre
→ Algèbre nova
→ Géométrie des Descartes
→ Fonctions polynomiales
→ Exercices
→ I.2 Théorème du binôme et fonction exponentielle
→ Théorème du binôme
→ Fonction exponentielle
→ Exercices
→ I.3 Logarithmes et aires
→ Calcul des logarithmes
→ Calcul d’aires
→ Aire de l’hyperbole et logarithmes naturels
→ Exercices
→ I.4 Fonctions trigonométriques
→ Les relations fondamentales et leurs conséquences
→ Séries infinies
→ Fonctions trigonométriques inverses
→ Calcul de Pi
→ Exercices
→ I.5 Nombres et fonctions complexes
→ Les formules d’Euler et ses conséquences
→ Un regard neuf sur les fonctions trigonométriques
→ Produit d’Euler pour la fonction sinus
→ Exercices
→ I.6 Fractions continues
→ Origines
→ Réduites
→ Irrationalité
→ Exercices
→ Chapitre II Calcul différentiel et intégral
→ II.1 La dérivée
→ La dérivée
→ Règles de différentiation
→ Représentation paramétriques et équations implicites
→ Exercices
→ II.2 Dérivées d’ordre supérieur et série de Taylor
→ La deuxième dérivée
→ De convergence fonctionnum in series
→ Exercices
→ II.3 Enveloppes et courbure
→ Enveloppe d’une famille de droites
→ La caustique d’un cercle
→ Enveloppe de courbes balistiques
→ Courbure
→ Exercices
→ II.4 Calcul intégral
→ Primitives
→ Applications
→ Techniques d’intégration
→ Formule de Taylor avec reste
→ Exercices
→ II.5 Intégration de certaines fonctions élémentaires
→ Intégration de fonctions rationnelles
→ Substitutions importantes
→ Exercices
→ II.6 Calcul approché d’intégrales
→ Développement en série
→ Méthodes numériques
→ Développements asymptotiques
→ Exercices
→ II.7 Équations différentielles ordinaires
→ Quelques types d’équations intégrables
→ Équations différentielles d’ordre 2
→ Exercices
→ II.8 Équations différentielles linéaires
→ Équation homogène à coefficients constants
→ Équation linéaire inhomogène
→ Équation de Cauchy
→ Exercices
→ II.9 Résolution numérique des équations différentielles
→ Méthode d’Euler
→ Méthode basée sur la série de Taylor
→ Équations d’ordre 2
→ Exercices
→ II.10 La formule d’Euler-Maclaurin
→ Découverte de la formule par Euler
→ De Usu Legitimo Formulae Summatoriae Maclaurinianae
→ Formule de Stirling
→ La série harmonique et la constante d’Euler
→ Exercices
→ Chapitre III Les fondements de l’analyse classique
→ III.1 Suites infinies et nombres réels
→ Convergence d’une suite
→ Construction des nombres réels
→ Suites monotones et le supremum
→ Points d’accumulation
→ Exercices
→ III.2 Séries infinies
→ Critères de convergence
→ Convergence absolue
→ Séries doubles
→ Le produit de Cauchy de deux séries
→ Échange d’une série infinie avec une limite
→ Exercices
→ III.3 Fonctions réelles et continuité
→ Fonctions continues
→ Théorème des valeurs intermédiaires
→ Le théorème du maximum
→ Fonctions monotones et fonctions inverses
→ Limite d’une fonction
→ Exercices
→ III.4 Convergence uniforme et continuité uniforme
→ La limite d’une suite de fonctions
→ Critère de Weierstrass pour la convergence uniforme
→ Continuité uniforme
→ Exercices
→ III.5 L’intégrale de Riemann
→ Définitions et critères d’intégrabilité
→ Fonctions intégrables
→ Inégalités et théorèmes de la moyenne
→ Intégration de séries infinies
→ Exercices
→ III.6 Fonctions différentiables
→ Le théorème fondamental du calcul différentiel
→ Les règles de l’Hospital
→ Dérivées de séries infinies
→ Exercices
→ III.7 Séries entières et série de Taylor
→ Détermination du rayon de convergence
→ Continuité
→ Différentiation et intégration
→ Série de Taylor
→ Exercices
→ III.8 Intégrales impropres
→ Fonctions bornées sur des intervalles infinis
→ Fonctions non bornées sur un intervalle fini
→ Fonction gamma d’Euler
→ Exercices
→ III.9 Deux théorèmes sur les fonctions continues
→ Fonctions sommes, mais nulle part différentiables
→ Théorème d’approximation de Weierstrass
→ Exercices
→ Chapitre IV Calcul différentiel et intégral à plusieurs variables
→ IV.1 Topologie de l’espace de dimension n
→ Distances et normes
→ Convergence de suites de vecteurs
→ Voisinages, ensembles ouverts et fermés
→ Ensembles compacts
→ Exercices
→ IV.2 Fonctions continues
→ Fonctions continues et compacité
→ Continuité uniforme et convergence uniforme
→ Applications linéaires
→ Caractérisation des fonctions continues par Hausdorff
→ Intégrales dépendant de paramètres
→ Exercices
→ IV.3 Fonctions différentiables de plusieurs variables
→ Différentiabilité
→ Contre-exemples
→ Une interprétation géométrique du gradient
→ Le théorème des accroissements finis
→ Le théorème des fonctions implicites
→ Différentiation d’une intégrale par rapport à un paramètre
→ Exercices
→ IV.4 Dérivées d’ordre supérieur et séries de Taylor
→ Série de Taylor pour deux variables
→ Série de Taylor pour n variables
→ Problèmes d’extremum
→ Minimum conditionnel (multiplicateurs de Lagrange)
→ Exercices
→ IV.5 Intégrales multiples
→ Intégrale double sur un rectangle
→ Ensembles négligeables et fonctions discontinues
→ Domaines bornés arbitraires
→ La formule de changement de variables pour les intégrales doubles
→ Intégrales sur un domaine non borné
→ Exercices
→ Bibliographie
→ Index des notations
→ Index

Quatrième de couverture

Présenter l'analyse de base en suivant grosso modo l'ordre suivant laquelle elle a été découverte, voici le fil conducteur de cet ouvrage. Complété par un grand nombre de dessins, d'exemples et de contre-exemples, cet ouvrage est rédigé avec un véritable souci de pédagogie. Il est truffé de remarques historiques et de commentaires explicitant la motivation profonde des développements exposés.

Biographie de l’auteur

Ernst HAIRER

Ernst Hairer est un mathématicien autrichien né en 1949 à Nauders, dans le Tyrol. Il est surtout connu pour ses travaux en analyse numérique, notamment sur la résolution numérique des équations différentielles ordinaires.

Il étudie les mathématiques à l'Université d'Innsbruck et obtient son doctorat en 1972 sous la direction de Gerhard Wanner.
Il rejoint ensuite l'Université de Genève, où il devient professeur et mène l'essentiel de sa carrière.
Avec Gerhard Wanner et Syvert Nørsett, il écrit Solving Ordinary Differential Equations, ouvrage de référence mondial sur les méthodes numériques pour les équations différentielles.
En 2003, il reçoit avec Gerhard Wanner le prix Peter Henrici de la SIAM et de l'ETH Zurich. Il est également docteur honoris causa de l'Université de Lund.
Il est le père de Martin Hairer, lui-même grand mathématicien et médaillé Fields en 2014.

En une phrase : Ernst Hairer est l'un des grands spécialistes de l'analyse numérique, ayant contribué à rendre possible la résolution efficace par ordinateur d'équations décrivant des phénomènes physiques complexes.

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Gerhard WANNER

Gerhard Wanner est un mathématicien autrichien, né en 1937 à Vienne. Il est principalement connu pour ses travaux en analyse numérique, en particulier sur les équations différentielles ordinaires.

Il étudie les mathématiques à l’Université de Vienne, puis obtient son doctorat en 1965.
Il fait une grande partie de sa carrière à l’Université de Genève, où il devient professeur.
Avec Ernst Hairer, il est l’auteur de Solving Ordinary Differential Equations, l’un des ouvrages de référence dans le domaine des méthodes numériques pour les équations différentielles.
Ses recherches portent notamment sur les méthodes de Runge-Kutta, les méthodes multipas et l'analyse de leur stabilité.
Il reçoit avec Ernst Hairer le prix Peter Henrici en 2003, récompensant leurs contributions à l'analyse numérique.
Il est également connu pour son travail d'enseignement et pour avoir contribué à rendre l'analyse numérique des équations différentielles accessible à plusieurs générations de mathématiciens.

En bref : Gerhard Wanner est une figure importante de l'analyse numérique, notamment grâce à ses travaux sur les méthodes permettant de résoudre des équations différentielles avec des ordinateurs.

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