Les nombres relatifs au collège

Mise à jour du 2 janvier 2019

À faire :

histoire de la notion de relatifs
… et tellement encore

Dans cet article je me propose de collecter toutes les informations pédagogiques utiles à l’enseignement des nombres relatifs pour le cycle 4 (cinquième, quatrième et troisième) du collège.

Quelques éléments de connaissances pour le prof et les élèves

On suppose connu l’arithmétique des nombres entiers et des nombres décimaux.

L’idée qui guide la construction des nombres relatifs est la nécessité de rendre possible certaines opérations arithmétique pour l’instant impossible. Je pense bien sur aux soustractions du type $8-9$ où le modèle soustractif sur les nombres entiers est mis en défaut : on ne peut pas retirer neuf unités à huit !

Pour cela nous allons en quelque sorte symétriser l’ensemble des entiers naturels pour créer les entiers négatifs. Mathématiquement en langage moderne cela consiste à partir du monoïde commutatif $(\mathbb{N},+)$ pour en faire un groupe abélien $(\mathbb{Z},+)$ par symétrisation. Pour les détails mathématiques, l’existence et l’unicité de cette construction je vous invite à vous documenter sur internet.

Voilà maintenant une proposition de construction adaptable pour des collégiens.

Définition de l’opposé d’un nombre entier naturel

On commence par définir sur un exemple numérique l’opposé d’un entier positif de la manière suivante :

L’opposé du nombre entier $2$ est le nombre $opp(2)$ vérifiant l’égalité $2+opp(2)=0$

En retirant $2$ à cette égalité on arrive à $opp(2)=0-2$.

En retirant $opp(2)$ on arrive à 2=0-opp(2)$.

Si on convient de ne pas écrire le nombre $0$ on obtient $opp(2)=-2$ et $2=-opp(2)$.

Il semble donc raisonnable d’abandonner la notation $opp(2)$ pour opposé de $2$ au profit de la notation $-2$. L’opposé de l’opposé de $2$ devient alors $–2$ et on utilise ainsi les parenthèses $-(-2)=2$.

Le symbole $-$ utilisé ici ne désigne donc plus le symbole opératoire de la soustraction mais un signe qui indique l’opposé. De manière symétrique on écrira dorénavant $(+2)=2$ pour indiquer l’usage du nombre entier naturel habituel $2$. $(+2)$ et $(-2)$ sont situés à la même

Définition

$a$ un entier naturel

L’opposé du nombre $a$ est le nombre $-a$ vérifiant l’égalité $a+(-a)=0$

On note $a=(+a)$ et $-a=(-a)$ pour désigner les nombres relatifs.

On dit que $(+a)$ est un nombre positif et que $(-a)$ est un nombre négatif.

$a$ est la distance à $0$ du nombre $(+a)$ et du nombre $(-a)$

Remarque

L’opposé du nombre $0$ est $0$ donc $(+0)=(-0)$ et $0$ est à la fois positif et négatif !

Addition des nombres relatifs

Sur des exemples génériques nous allons étudier quatre situations d’addition des nombres relatifs :

$(+7)+(+11)$ : on souhaite que l’addition des nombres naturels se prolonge aux nombres relatifs.

Ainsi comme $7+11=18$ alors $(+7)+(+11)=(+18)$

$(-7)+(-11)$ : la somme de deux nombres négatifs

On sait que $(+7)+(-7)=0$ et que $(+11)+(-11)=0$

$(+7)+(-7)+(+11)+(-11)=0$

$(+11)+(+7)+(-7)+(-11)=0$

$(+18)+(-7)+(-11)=0$

On arrive donc au fait que $(-7)+(-11)$ est l’opposé de $(+18)$

$(-7)+(-11)=(-18)$

On remarque en passant que l’addition des nombres négatifs est symétrique de l’addition des positifs. Cela paraît normal dans la mesure où on peut considérer que l’ensemble des nombres négatifs forme comme l’ensemble des nombres positifs un monoïde commutatif.

$(-7)+(+11)$ : la somme d’un nombre positif et d’un négatif où le nombre positif est plus éloigné de 0

$(+7)+(-7)=0$

Ajoutons la différence entre 11 et 7 dans cette égalité :

$(+7)+(-7)+(+4)=(+4)$

$(-7)+(+11)=(+4)$

$(+7)+(-11)$ : la somme d’une nombre positif et d’un négatif où le négatif est plus éloigné de 0

$(+11)+(-11)+(+7)+(-7)=0$

$(+7)+(-11)+(-7)+(+11)=0$

Ainsi $(+7)+(-11)$ est l’opposé du nombre $(-7)+(+11)$

$(+7)+(-11)=(-4)$

Bilan :

Voici les résultats que nous avons obtenus :

$(+7)+(+11)=(+18)$
$(-7)+(-11)=(+18)$ car 7+11=18
$(-7)+(+11)=(+4)$
$(+7)+(-11)=(-4)$ car 11-7=4

Propriété

La somme de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif dont la distance à zéro est égale à la somme des deux distances à zéro et dont le signe est le signe commun aux deux nombres.

La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif dont la distance à zéro est égale à l’écart entre les deux distances à zéro et dont le signe est celui des deux nombres le plus éloigné de zéro.

Remarque :

Il me semble important de ne s’appuyer que sur cette règle de calcul durant la phase d’apprentissage. Les images à base d’ascenseur qui monte ou qui descend, de bonus et de pénalités… laissent entendre une connaissance en rapport avec l’écriture algébrique où l’addition serait sous-entendue… ce qui à mon avis ajoute une difficulté supplémentaire à ce stade.

Soustraction des nombres relatifs

Sur quelques exemples génériques nous allons mettre en place cette opération.

En reprenant le sens de la soustraction sur les nombres entiers naturels nous allons étendre cette opération aux nombres relatifs.

Comme $7+4=11$ on en déduit que $11-7=4$ : la différence de 11 et 7 est définie comme le nombre dont la somme avec 7 est 11.

La cohérence avec la soustraction des entiers naturels donne ainsi que $(+11)-(+7)=(+4)$

On peut proposer un raisonnement plus alambiqué :

$(+11)=(+11)+0$

$(+11)=(+11)+(-7)+(+7)$

On enlève $(+7)$ dans chaque membre :

$(+11)-(+7)=(+11)+(-7)+(+7)-(+7)$

$(+11)-(+7)=(+11)+(-7)

$(+11)-(+7)=(+4)$

Ouf !

$(-11)-(+7)$ : cette différence correspond au nombre qui ajouté à $(+7)$ est égale à $(-11)$

Or $(+7)+(-18)=(-11) donc $(-11)-(+7)=(-18)$

On peut aussi proposer ce raisonnement :

$(-11)=(-11)+0$

$(-11)=(-11)+(-7)+(+7)$

$(-11)-(+7)=(-11)+(-7)+(+7)-(+7)$

On enlève $(+7)$ dans chaque membre.

$(-11)-(+7)=(-11)+(-7)$

$(-11)-(+7)=(-18)$

Ce second raisonnement est intéressant puisqu’il montre que soustraire $(+7) revient à ajouter $(-7)$

$(+11)-(-7)$ : cette différence correspond au nombre qui ajouté à $(-7)$ est égale à $(+11)$

Or $(-7)+(+18)=(+11)$ donc $(+11)-(-7)=(+18)$

Reprenons le raisonnement précédent :

$(+11)=(+11)+0$

$(+11)=(+11)+(+7)+(-7)$

On enlève $(-7)$ dans chaque membre

$(+11)-(-7)=(+11)+(+7)+(-7)-(-7)$

$(+11)-(-7)=(+11)+(+7)$

$(+11)-(-7)=(+18)$

Enfin testons $(-11)-(-7)$ : cette différence correspond au nombre qui ajouté à $(-7)$ est égale à $(-11)$

Or $(-7)+(-4)=(-11)$ donc $(-11)-(-7)=(-4)$

Ou encore :

$(-11)=(-11)+0$

$(-11)=(-11)+(+7)+(-7)$

On enlève $(-7)$ dans chaque membre :

$(-11)-(-7)=(-11)+(+7)+(-7)-(-7)$

$(-11)-(-7)=(-11)+(+7)$

$(-11)-(-7)=(-4)$

On déduit de ces exemples génériques la propriété fondamentale suivante.

Propriété

Soustraire un nombre entier relatif revient à ajouter son opposé.

Plus généralement, soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

Remarque importante :

On vient donc de faire disparaître la soustraction en tant qu’opération arithmétique ayant une définition autonome.

Soustraire revient à ajouter l’opposé, donc dorénavant nous ne soustrairons plus !

De plus l’addition étant commutative, on peut l’effectuer dans l’ordre de notre choix, la soustraction devenue addition de l’opposé va enfin permettre de changer l’ordre des termes dans une successions d’additions et de soustractions.

Les sommes algébriques

Nous venons de voir que $(-11)-(+7)=(-11)+(-7)$

Nous allons donc convenir que l’écriture $-11-7$ correspond à la somme de $(-11)$ et $(-7)$.

Comme la soustraction peut s’écrire comme une addition, nous décidons de nous passer du symbole opératoire d’addition +. Cela signifie qu’avec cette convention l’addition est sous-entendue et que les symboles + et – indiquent le signe de l’expression.

On convient aussi d’écrire $(+11)-(-7)=(+11)+(+7)$ sous la forme $11+7$ comme avec les entiers naturels. $11$ sans signe + signifie bien quand il est en premier dans une expression $(+11)$

Voyons ce que nous pouvons faire sur une succession d’additions et de soustractions :

$(-6)+(+3)-(-4)+(-5)-(+7)$

$(-6)+(+3)+(+4)+(-5)+(-7)$

$-6+3+3-5-7$

Convention

Une succession d’additions et de soustractions de nombres relatifs peut s’écrire sans utiliser les parenthèses et les signes opératoires d’addition ou de soustraction. Les signes + et – indiquent alors le signe du nombre qui les succède. Le signe + peut être omis quand il est en première position d’une expression.

Remarque :

Il peut paraître tentant d’indiquer à l’occasion du passage à l’écriture algébrique d’indiquer une règle simplificatrice du type :

+ et + ou – et – donne +
+ et – ou – et + donne –

Cette simplification, visuellement exacte, est particulièrement dangereuse en intention initiale. Elle conduit à donner une règle qui par la suite va faire perdre son sens au produit des nombres relatifs. Le sens du mot et dans + et + ne signifie rien ! Pire encore quand on dit que – – donne – : il yy aurait une arithmétique des symboles opératoires ?

Ces expressions à éviter sont un moyen mnémotechnique sans contenu de connaissances comme le sont les moyens mnémotechnique en général (mais où est donc Ornicar… ne veut rien dire, non ?).

Il convient plutôt de revenir au sens de la soustraction et dire par exemple que $(-11)-(-7)$ revient à soustraire $(-7)$ donc ajouter $7$ d’où l’écriture finale $-11-7$ comme somme de $-11$ et $-7$. Pour utiliser le moyen mnémotechnique il faut être en très bonne maîtrise de la soustraction des relatifs !

Le produit des nombres relatifs

Le produit des nombres positifs ne pose bien sûr pas de difficulté ! $5 \times 6=30$ donc $(+5)\times (+6)=(+30)$

Un second cas est assez simple à régler puisqu’il repose sur la définition de la multiplication sur les entiers naturels :

$(+5) \times (-6)=5 \times (-6)=\underbrace_{5\ fois}{(-6)+(-6)+(-6)+(-6)+(-6)}=(-30)$

Une troisième situation demande à être précis :

$(-6) \times (+5)$

Ajouter $(-6)$ fois de suite le nombre $(+5)$ ne signifie rien !

Il va falloir admettre que nous souhaitons construire une multiplication commutative sur l’ensemble des entiers relatifs pour atteindre notre objectif puisque c’est déjà le cas sur les entiers naturels.

Ainsi $(-6) \times (+5)=(+5) \times (-6)=(-30)$

Reste le cas le plus intéressant : le produit de deux nombres négatifs.

On veut calculer $(-5) \times (-6)$

On sait que $(-6)+(+6)=0$

Ainsi $(-5) \times \left ((-6)+(+6) \right )=0$

Pour poursuivre ce calcul il nous faut également admettre que nous souhaitons construire une multiplication qui soit distributive par rapport à l’addition comme pour les entiers naturels.

Dans ce cas nous pouvons poursuivre le calcul précédent :

$(-5) \times \left ((-6)+(+6) \right )=0$

$(-5) \times (-6)+(-5) \times (+6)=0$

Nous en déduisons que $(-5) \times (-6)$ est l’opposé de $(-5) \times (+6)$.

Donc $(-5) \times (-6)=(+30)$

Propriété

La distance à zéro du produit de deux nombres relatifs est égale au produit des distances à zéro des deux nombres.

Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif positif.

Le produit de deux nombres relatifs de signes différents est un nombre relatif négatif.

Quotient des nombres relatifs

Sur quelques exemples génériques nous allons voir comment la règle de la multiplication peut s’étendre à la division.

$(+56) \div (+7)$ est le nombre dont le produit par $(+7)$ est égal à $(+56)$.

Or $(+7) \times (+8)=(+56)$ donc $(+56) \div (+7)=(+8)$

$(+56) \div (-7)$ est le nombre dont le produit par $(-7)$ est égal à $(+56)$.

Or $(-7) \times (-8)=(+56)$ donc $(+56) \div (-7)=(-8)$

$(-56) \div (+7)$ est le nombre dont le produit par $(+7)$ est égal à $(-56)$.

Or $(+7) \times (-8)=(-56)$ donc $(-56) \div (+7)=(-8)$

$(-56) \div (-7)$ est le nombre dont le produit par $(-7)$ est égal à $(-56)$.

Or $(-7) \times (+8)=(-56)$ donc $(-56) \div (-7)=(+8)$

On obtient finalement un propriété proche de celle de la multiplication ce qui n’est pas étonnant sachant le lien entre multiplication et division.

Propriété

La distance à zéro du quotient de deux nombres relatifs est égale au quotient des distances à zéro des deux nombres.

Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif positif.

Le quotient de deux nombres relatifs de signes différents est un nombre relatif négatif.

Remarque

C’est un résultat important dont l’une des conséquences essentielles est de permettre un meilleur usage des fractions.

$\displaystyle \frac{-5}{3}=\frac{5}{-3}=-\frac{5}{3}$

En effet un quotient de deux nombres de signes différents est négatif. On peut ainsi écrire la fraction avec un dénominateur comme entier naturel et choisir de placer le signe soit au numérateur soit devant la fraction.

$\displaystyle \frac{-5}{-3}=\frac{5}{3}$

Comme le quotient de deux nombres négatifs est positif, on préfère utiliser une écriture avec des entiers naturels dans ce cas là.

On préfère avoir le signe au numérateur ou devant la fraction.

Les repères annuels de progression

Ils indiquent de manière très précises les notions à aborder chaque année et même à chaque période de l’année. Ils seront en vigueur à la rentrée 2019 et font l’objet d’une appropriation durant l’année 2018. C’est une des raisons de cet article !

Voici le lien Eduscol !

Cinquième

Le travail mené au cycle 3 sur l’enchaînement des opérations, les comparaisons et le repérage sur une droite graduée de nombres décimaux positifs est poursuivi.
Les nombres relatifs (d’abord entiers, puis décimaux) sont construits pour rendre possibles toutes les soustractions.
La notion d’opposé est introduite, l’addition et la soustraction sont étendues aux nombres décimaux (positifs ou négatifs).
Il est possible de mettre en évidence que soustraire un nombre revient à additionner son opposé, en s’appuyant sur des exemples à valeur générique du type :
- $3,1 – (-2) = 3,1 + 0 – (-2) = 3,1 + 2 + (-2) – (-2)$, donc $3,1 – (-2) = 3,1 + 2 + 0 = 3,1 + 2 = 5,1$