Nombres et calculs

Quatrième – Les puissances de 10 et les exposants


Mes conseils de lecture


Voici quelques ressources pour les cours de mathématiques de sur les puissances et les puissances de 10. Vous trouverez sur cette page :

Fiche de synthèse sur les puissances
Des évaluations
Ressources vidéos
Une proposition d’introduction aux puissances de 10

 

Fiche de synthèse sur les puissances

Je fais pour chaque chapitre une fiche de synthèse au format pdf pour le cahier et au format svg pour l’écran.

Cette fiche traite des puissances conformément au programme de mathématiques de la classe de quatrième.

Voici les thèmes abordés :

  • définition des puissances d’exposant entier ;
  • les puissances de 10 ;
  • les opérations sur les puissances de 10 ;
  • l’écriture scientifique.

Je vous propose ci-dessous la fiche au format svg et au format pdf

Puissances

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Évaluations sur les puissances

Voici un contrôle final corrigé sur les puissances de 10, assez difficile, proposant d’évaluer les thèmes suivants :

  • écriture décimale ;
  • règles de calcul sur les exposants ;
  • écriture scientifique des nombres ;
  • problèmes

Télécharger le fichier au format PDF

Ressources vidéo sur les puissances

J’aime bien montrer cette vidéo pour illustrer les puissances de 10. C’est une vidéo du CERN qui montre le monde de l’infiniment petit à l’infini grand.

Une proposition d’activité pour introduire l’écriture sous forme de puissances

Les ancêtres

Nous avons tous deux parents, quatre grands-parents, huit arrière-grands-parents… Ce nombre double à chaque génération.

$2$ parents

$2 \times 2=4$ grands-parents

$2 \times 2 \times 2=8$ arrière-grands-parents.

$2 \times 2 \times 2 \times 2=16 arrière-arrière-grands-parents

Cela oblige à l’introduction d’une nouvelle notation pour exprimer les multiplications successives.

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=32=2^5$ arrière-arrière-arrière-grands-parents… la cinquième génération !

Mais cela va très vite ensuite.

À la dixième génération nous en sommes à $2^{10}=1~024$ ancêtres !!

Si on fait l’hypothèse qu’une génération correspond à 25 ans, en effet l’âge moyen pour avoir un enfant correspond environ à 25 ans, alors on peut se demander combien d’ancêtres nous avions dans le passé.

Par exemple en 1789. C’était il y a 227 ans, soit $227=25 \times 9+2$, 9 générations.

À cette date nous avions donc $2^9=512$ ancêtres !

En 1431, année de la mort de Jeanne d’Arc, on arrive à $2019-1431=588$.

$588=25 \times 23+12$ soit 23 générations !

Nous avions donc à cette date : $2^{23}=8~388~608$ ancêtres à cette époque !

Il y avait environ $500~000~000$ d’êtres humains à cette époque ! Beaucoup étaient nos ancêtres !!

En 800, année du sacre de Charlemagne, il y a 1218 ans, soit 48 générations, nous avions $2^{48}=281~474~976~710~656$ ancêtres !

Bien plus que l’humanité n’en a jamais porté !

Serions-nous tous cousins ?

 

 

 

Les bactéries

 

Voici une idée pour démarrer le cours de mathématiques de quatrième sur les puissances.

Bacteria Cells with selective focus
Escherichia Coli
Le problème

Un laboratoire fait des recherches sur une population de Escherichia Coli, une bactérie intestinale appelé aussi collibacille qui compose 80% de notre flore intestinale mais qui peut aussi être responsable d’infections urinaires, de gastro-entérite et de méningites.

On a observé que le nombre de bactérie a été multiplié par 3 toutes les heures à partir du moment où l’étude a commencé.

Par combien le nombre de bactéries a-t-il été multiplié au bout de 24 heures ?

3030250-4316920

Extensions du problème

La bactérie Escherichia Coli entérohémorragique (EHEC) est une population plus virulente qui se multiplie par 4 toutes les 40 minutes. Elle peut provoquer la mort dans 3 à 5% des cas.

Par combien le nombre de bactérie EHEC est-il multiplié au bout de 24 heures ?

Un antibiotique adapté à cette bactérie divise la population de Escherichia Coli EHEC par 5 toutes les heures.

Par combien le nombre de bactéries a-t-il été divisé au bout de 24 heures ?

Cet antibiotique est-il efficace contre cette forme virulente de la bactérie ?

Si on suppose que le patient prend cet antibiotique 3 jours après le début de l’infection par la bactérie Escherichia Coli entérohémorragique (EHEC), combien de jours faut-il pour être complétement débarrassé de cette bactérie ?

Une proposition de solution

Chaque heure le nombre de bactéries est multiplié par 3.

Au bout d’une heure, il y en a 3 fois plus.

Au bout de 2 heures, 3 times 3 fois plus.

Au bout de 24 heures il faut multiplier 3 par lui même 24 fois de suite.

On va écrire ce nombre 3^{24}.

Ce nombre correspond à  282 429 536 481 fois. Mais la calculatrice affiche 282 429 536 5 e 11, il faudra comprendre cette écriture dans la suite du chapitre !

Dans le cas de la bactérie plus virulente, il faut chercher combien de fois 40 min dans une journée. Une journée est constituée de 1440 minutes ce qui correspond à 36 fois 40 min. Il y aura donc 4^{36} fois plus de bactéries.

En 24h l’antibiotique divise le nombre de bactérie par 5^{24}.

Le nombre de bactéries en une journée est donc multiplié par dfrac{4^{36}}{5^{24}} approx 79 228

Cet antibiotique limite quand même beaucoup la multiplication quotidienne, est-ce suffisant ?

Ce modèle est très grossier mais permet au moins de jouer avec les exposants !

La fiche à distribuer en classe

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Pour réviser le brevet des collèges, préparer un contrôle, se remettre à niveau, ou faire cours, voici quelques fiches de synthèse sur le cours de mathématiques du collège :

 

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