Le cours d’analyse de Terence Tao

Terence TAO

1975

★★★★★

83/100

Éditeur / Collection : DUNOD
Date de publication : 8 juin 2022
Nombre de pages : 608
ISBN : 978-2100830299
Masse : 1070g
Dimensions : 17,5cm x 3,1cm x 25cm

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Mon avis

Quand le plus grand mathématicien actuellement en activité vous propose un cours universitaire de niveau Licence, il ne faut pas hésiter un instant ! Terence Tao né en 1975, Médaille Fields en 2006, plus jeune professeur d’université de l’histoire, enfant prodige qui apprend à compter à 2 ans en regardant Rue Sésame, participe aux olympiades internationales de mathématiques à 10 ans… est un des génies de notre époque. Il reste très actif et multiplie les récompenses et les démonstrations. Son cours universitaire est absolument génial. J’aime beaucoup les ouvrages universitaires où l’auteur vous parle et détaille les raisons et l’histoire des concepts. Dans ce livre d’analyse, Terence Tao reprend les mathématiques au départ avec les axiomes de Peano et des démonstrations simples, mais fondamentales sur la construction des nombres entiers, rationnels et réels. Il vous prend par la main, vulgarise les résultats les plus complexes, les démontre avec rigueur. J’aurais adoré assister à ses cours, ce livre est une grande chance d’y assister. Et en français !

Table des matières

→ 1. Introduction
→ 1.1 Qu’est-ce que l’analyse ?
→ 1.2 Pourquoi faire de l’analyse ?
→ 2. Commencer par le début : les entiers naturels
→ 2.1 Les axiomes de Peano
→ 2.2 L’addition
→ 2.3 La multiplication
→ 3. Théorie des ensembles
→ 3.1 Notions fondamentales
→ 3.2 Le paradoxe de Russell (Optionnel)
→ 3.3 Fonctions
→ 3.4 Images et images réciproques
→ 3.5 Produits cartésiens
→ 3.6 Cardinalité des ensembles
→ 4. Les entiers relatifs et les rationnels
→ 4.1 Les entiers relatifs
→ 4.2 Les rationnels
→ 4.3 Valeur absolue et exponentiation
→ 4.4 « Trous » dans les nombres rationnels
→ 5. Les nombres réels
→ 5.1 Suites de Cauchy
→ 5.2 Suites de Cauchy équivalentes
→ 5.3 La construction des nombres réels
→ 5.4 Ordonner les réels
→ 5.5 La propriété de la borne supérieure
→ 5.6 Exponentiation réelle, partie I
→ 6. Limites de suites
→ 6.1 Convergence et propriétés des limites
→ 6.2 Le système des nombres réels étendus
→ 6.3 Suprema et infima de suites
→ 6.4 Limsup, Liminf, et points limites
→ 6.5 Quelques limites usuelles
→ 6.6 Sous-suites
→ 6.7 Exponentiation réelle, partie II
→ 7. Séries
→ 7.1 Séries finies
→ 7.2 Séries infinies
→ 7.3 Sommes de nombres positifs ou nuls
→ 7.4 Réarrangement de séries
→ 7.5 Les règles de Cauchy et de d’Alembert
→ 8. Ensembles infinis
→ 8.1 Dénombrabilité
→ 8.2 Sommations sur des ensembles infinis
→ 8.3 Ensembles non dénombrables
→ 8.4 L’axiome du choix
→ 8.5 Ensembles ordonnés
→ 9. Fonctions continues sur ℝ
→ 9.1 Sous-ensembles de la droite réelle
→ 9.2 L’algèbre des fonctions à valeurs réelles
→ 9.3 Limites de fonctions
→ 9.4 Fonctions continues
→ 9.5 Limite à droite et limite à gauche
→ 9.6 Le principe du maximum
→ 9.7 Le théorème des valeurs intermédiaires
→ 9.8 Fonctions monotones
→ 9.9 Continuité uniforme
→ 9.10 Limites à l’infini
→ 10. Dérivation
→ 10.1 Définitions de base
→ 10.2 Dérivées et maxima, minima locaux
→ 10.3 Dérivées et fonctions monotones
→ 10.4 Dérivées et fonctions réciproques
→ 10.5 La règle de L’Hôpital
→ 11. L’intégrale de Riemann
→ 11.1 Partitions
→ 11.2 Fonctions constantes par morceaux
→ 11.3 Intégrales supérieure et inférieure
→ 11.4 Propriétés basiques de l’intégrale de Riemann
→ 11.5 Riemann-intégrabilité des fonctions continues
→ 11.6 Riemann-intégrabilité des fonctions monotones
→ 11.7 Une fonction non intégrable au sens de Riemann
→ 11.8 L’intégrale de Riemann-Stieltjes
→ 11.9 Les deux théorèmes fondamentaux de l’analyse
→ 11.10 Conséquences des théorèmes fondamentaux
→ 12. Espaces métriques
→ 12.1 Définitions et exemples
→ 12.2 Topologie générale des espaces métriques
→ 12.3 Topologie induite
→ 12.4 Suites de Cauchy et espaces métriques complets
→ 12.5 Espaces métriques compacts
→ 13. Continuité dans les espaces métriques
→ 13.1 Fonctions continues
→ 13.2 Continuité et espaces produits
→ 13.3 Continuité et compacité
→ 13.4 Continuité et connexité
→ 13.5 Espaces topologiques (Optionnel)
→ 14. Convergence uniforme
→ 14.1 Valeurs limites de fonctions
→ 14.2 Convergence simple et convergence uniforme
→ 14.3 Convergence uniforme et continuité
→ 14.4 La métrique de la convergence uniforme
→ 14.5 Séries de fonctions ; la règle de Weierstrass
→ 14.6 Convergence uniforme et intégration
→ 14.7 Convergence uniforme et dérivées
→ 14.8 Approximation uniforme par des polynômes
→ 15. Séries entières
→ 15.1 Séries entières formelles
→ 15.2 Fonctions analytiques réelles
→ 15.3 Le théorème d’Abel
→ 15.4 Multiplication de séries entières
→ 15.5 L’exponentielle et le logarithme
→ 15.6 Une digression sur les nombres complexes
→ 15.7 Fonctions trigonométriques
→ 16. Séries de Fourier
→ 16.1 Fonctions périodiques
→ 16.2 Produit scalaire de fonctions périodiques
→ 16.3 Polynômes trigonométriques
→ 16.4 Convolutions périodiques
→ 16.5 Les théorèmes de Fourier et Plancherel
→ 17. Calcul différentiel à plusieurs variables
→ 17.1 Applications linéaires
→ 17.2 Dérivées de fonctions de plusieurs variables
→ 17.3 Dérivées partielles et directionnelles
→ 17.4 Dérivation en chaîne en dimension supérieure
→ 17.5 Dérivées secondes et théorème de Clairaut
→ 17.6 Le théorème de point fixe de Banach-Picard
→ 17.7 Le théorème d’inversion locale en dimension supérieure
→ 17.8 Le théorème des fonctions implicites
→ 18. La mesure de Lebesgue
→ 18.1 Le but : la mesure de Lebesgue
→ 18.2 Un premier essai : la mesure extérieure
→ 18.3 La mesure extérieure n’est pas additive
→ 18.4 Ensembles mesurables
→ 18.5 Fonctions mesurables
→ 19. Intégration de Lebesgue
→ 19.1 Fonctions étagées
→ 19.2 Intégration de fonctions mesurables positives ou nulles
→ 19.3 Intégration des fonctions absolument intégrables
→ 19.4 Comparaison avec l’intégrale de Riemann
→ 19.5 Le théorème de Fubini
→ Annexes
→ A. Annexe : les bases de la logique mathématique
→ A.1 Énoncés mathématiques
→ A.2 Implication
→ A.3 La structure des preuves
→ A.4 Variables et quantificateurs
→ A.5 Quantificateurs imbriqués
→ A.6 Exemples de preuves et de quantificateurs
→ A.7 Égalité
→ B. Annexe : le système décimal
→ B.1 La représentation décimale des entiers naturels
→ B.2 La représentation décimale des nombres réels

Quatrième de couverture

Le cours d’analyse de Terence Tao, professeur à l’université de Californie à Los Angeles et médaillé Fields, s’adresse aux étudiants dès la première année des Licences scientifiques aussi bien qu’à ceux préparant le CAPES ou l'agrégation. Alliant pédagogie et exigence, il propose une mise en perspective inédite de l'ensemble de l'analyse mathématique. Conçu de façon à encourager l’étudiant à apprendre de manière active, il mêle de façon étroite cours et exercices, l’aidant ainsi à organiser et structurer progressivement les nouvelles connaissances et à acquérir la rigueur nécessaire pour réussir examens et concours.

Biographie de l’auteur

Terence Tao est un mathématicien australo-américain, né le 17 juillet 1975 à Adélaïde, en Australie. Considéré comme l'un des plus grands mathématiciens contemporains, il est célèbre pour l'étendue de ses contributions, notamment en analyse harmonique, équations aux dérivées partielles, théorie des nombres et combinatoire.

Enfant prodige, il manifeste très tôt des capacités exceptionnelles : il participe aux Olympiades internationales de mathématiques dès l'âge de 10 ans et devient, à 13 ans, le plus jeune médaillé d'or de leur histoire. Après avoir obtenu son diplôme à la Flinders University, il prépare un doctorat à Université de Princeton sous la direction d'Elias Stein.

Depuis 1999, il est professeur à l'Université de Californie à Los Angeles (UCLA), où il est devenu, à seulement 24 ans, le plus jeune professeur titulaire de l'histoire de l'université.

Terence Tao a reçu de très nombreuses distinctions, dont la prestigieuse Médaille Fields en 2006, la Bourse MacArthur en 2007 et le Breakthrough Prize in Mathematics en 2015. Il est également reconnu pour son goût de la collaboration, son blog très suivi et ses efforts de vulgarisation auprès des étudiants et du grand public.

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