Les contre-exemples en mathématiques

Bertrand HAUCHECORNE

1950

★★★★☆

79/100

Éditeur / Collection : ELLIPSE
Date de publication : 13 juin 2007
Nombre de pages : 365
ISBN : 978-2729834180
Masse : 610g
Dimensions : 16.5cm x 2.5cm x 24 cm

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Mon avis

Ce livre est un indispensable pour tout étudiant qui prépare un concours demandant une forme de maturité en mathématiques. Quoi de mieux qu’un contre-exemple pour tester sa compréhension d’une notion ? Ainsi, connaissez-vous un corps que l’on peut ordonner de plusieurs manières, ou une fonction continue nulle part dérivable, ou encore une série de fonctions qui converge uniformément mais pas normalement… Une succession d’exemples qui favorisent la réflexion et permettent aussi de préparer efficacement les oraux des concours. Un must have !

Table des matières

→ Chapitre 1 — Logique, ensembles, arithmétique
→ Logique des prédicats du premier ordre
→ Paradoxes de la théorie « naïve » des ensembles
→ Image directe et image réciproque d'une partie
→ Ensembles équipotents
→ Relations binaires fondamentales
→ Ensembles ordonnés
→ Treillis
→ Bon ordre et axiome du choix
→ Arithmétique
→ Chapitre 2 — Groupes
→ Lois de composition interne
→ Axiomes de la structure de groupe
→ Centre d'un groupe
→ Sous-groupes
→ Ordre d'un élément dans un groupe
→ Morphismes et isomorphismes de groupes
→ Groupes simples et groupes résolubles
→ Chapitre 3 — Anneaux et corps
→ Propriétés générales
→ Éléments inversibles et diviseurs de zéro
→ Anneau des polynômes à coefficients dans un anneau commutatif
→ Caractéristique d'un anneau non nul
→ Idéaux d'un anneau non nul
→ Divisibilité dans un anneau intègre
→ Autres types d'anneaux
→ Corps
→ Corps ordonnés
→ Chapitre 4 — Espaces vectoriels
→ Nécessité des axiomes
→ Sous-espaces vectoriels
→ Endomorphismes d'un espace vectoriel
→ Valeurs propres et vecteurs propres, polynôme caractéristique et polynôme minimal
→ Matrices
→ Modules
→ Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
→ Chapitre 5 — Nombres réels
→ Écriture décimale des nombres réels
→ Différents ensembles de nombres réels
→ Ordre canonique de E
→ Topologie de E
→ Distance d'un point à une partie et distance entre deux parties
→ Endomorphismes du groupe additif (E, +) de E
→ Mesurabilité de parties de E
→ Chapitre 6 — Suites numériques
→ Convergence et divergence
→ Convergence au sens de Cesàro
→ Limite supérieure et limite inférieure
→ Valeurs d'adhérence
→ Chapitre 7 — Séries numériques
→ Convergence et convergence absolue
→ Mise en défaut de certains critères de convergence
→ Séries à termes positifs
→ Règles de convergence
→ Comparaison série-intégrale
→ Modification de l'ordre des termes
→ Séries doubles et produit de Cauchy
→ Équivalence des suites des sommes partielles et équivalence des suites des restes
→ Autres types de convergence
→ Chapitre 8 — Fonctions d'une variable réelle : continuité et limites
→ Continuité
→ Théorème des valeurs intermédiaires
→ Limites
→ Continuité uniforme, continuité absolue et fonctions lipschitziennes
→ Continuité de l'application réciproque d'une fonction continue
→ Continuité et topologie
→ Chapitre 9 — Fonctions d'une variable réelle : dérivabilité
→ Dérivabilité locale et globale
→ Discontinuité de la fonction dérivée
→ Sens de variation d'une fonction dérivable
→ Dérivées et limites
→ Dérivées et extremums
→ Fonctions indéfiniment dérivables
→ Développements limités
→ Dérivées supérieures et inférieures
→ Équations différentielles
→ Chapitre 10 — Fonctions d'une variable réelle monotones, périodiques, convexes, bornées
→ Monotonie et continuité
→ Fonctions périodiques
→ Fonctions convexes
→ Fonctions bornées
→ Fonctions à variation bornée
→ Chapitre 11 — Intégration
→ Intégrale de Riemann
→ Convergence des intégrales
→ Primitives et intégrales
→ Intégrales dépendant d'un paramètre
→ Sommes de Riemann
→ Intégration des relations de comparaison
→ Chapitre 12 — Suites de fonctions
→ Convergence simple
→ Convergence uniforme
→ Dérivation
→ Intégration
→ Convergence en moyenne
→ Chapitre 13 — Séries de fonctions
→ Différents types de convergence
→ Discontinuité de la somme d'une série de fonctions
→ Interversions de sommations et de limites
→ Séries entières
→ Série de Taylor
→ Séries de Fourier
→ Chapitre 14 — Fonctions de plusieurs variables
→ Continuité
→ Différent iabilité
→ Théorèmes d'inversion
→ Dérivées partielles secondes
→ Extremums
→ Intégration
→ Chapitre 15 — Topologie générale
→ Séparation
→ Suites convergentes, limites de suites, continuité
→ Connexité
→ Compacité
→ Chapitre 16 — Espaces métriques
→ Boules
→ Équivalences de distances
→ Complétude
→ Distance d'un point à une partie et distance entre deux parties
→ Chapitre 17 — Espaces vectoriels normés
→ Nécessité des axiomes
→ Somme de deux parties
→ Comparaison des normes
→ Continuité des applications linéaires
→ Parties compactes et parties fermées et bornées
→ Parties convexes d'un espace vectoriel normé
→ Points internes à une partie
→ Isométries
→ Espaces vectoriels euclidiens et hilbertiens
→ Chapitre 18 — Courbes planes
→ Tangentes et points d'inflexion
→ Directions asymptotiques et asymptotes
→ Longueur d'une courbe
→ Courbes remarquables
→ Chapitre 19 — Probabilités
→ Événements indépendants
→ Espérance mathématique et variance
→ Convergence des suites de variables aléatoires

Quatrième de couverture

À l’aide de plus de 500 contre-exemples choisis dans tous les domaines des mathématiques, cet ouvrage montre, au-delà de ses côtés divertissants, la valeur mathématique et la vertu pédagogique du contre-exemple.
Cette nouvelle édition est très largement enrichie. L’aspect définitions et théorèmes a pris du corps ; de nombreux graphiques, des références bibliographiques et des notes historiques ont été ajoutés. En outre l’amélioration de la qualité de la mise en page et de l’impression facilite sa lecture.
Cet ouvrage permettra aux étudiants d’approfondir l’enseignement de mathématiques qu’ils reçoivent, à ceux qui préparent le concours du CAPES ou de l’agrégation d’enrichir une leçon, aux enseignants de trouver des thèmes d’exercices ou de problèmes. Plus généralement il intéressera tous ceux qui veulent approfondir leur réflexion sur les notions de définition, d’hypothèse ou de théorème. Il apportera surtout bien du plaisir à ceux dont la curiosité mathématique est toujours en éveil.

Biographie de l’auteur

Bertrand Hauchecorne, né à Alger en 1950, est un mathématicien, enseignant et auteur français. Sa famille s’installe à Orléans en 1962, au moment de l’indépendance de l’Algérie. Il poursuit des études de mathématiques à l’Université d’Orléans, puis à Paris VI et Paris VII. Il obtient l’agrégation de mathématiques en 1974 et se spécialise ensuite dans les probabilités et les statistiques, domaine dans lequel il obtient un DEA en 1976.

En 1977, Bertrand Hauchecorne devient professeur de mathématiques en classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques au lycée Pothier d’Orléans. Il y exerce pendant une grande partie de sa carrière, jusqu’à sa retraite en 2015. Son activité d’enseignant s'accompagne d'un important travail de vulgarisation et de transmission de la culture mathématique.

Il se fait notamment connaître par son ouvrage Les Contre-exemples en mathématiques, publié initialement en 1988 chez Ellipses et réédité dans une version largement enrichie en 2007. Le livre rassemble plus de 500 contre-exemples issus de différents domaines des mathématiques et met en évidence leur intérêt pédagogique pour comprendre les définitions, les hypothèses et les théorèmes.

Bertrand Hauchecorne est également l’auteur ou le coauteur de nombreux ouvrages consacrés aux mathématiques et à leur histoire. Parmi ses travaux figurent Les mots et les maths, consacré à l’histoire et à l’étymologie du vocabulaire mathématique, ainsi que Dictionnaire décalé des mathématiques, écrit avec Élisabeth Busser et préfacé par Cédric Villani. En 2023, il publie Biographie des grands théorèmes, dans lequel il raconte l’histoire de grands résultats mathématiques, de Thalès au lemme de Zorn.

Parallèlement à son activité scientifique et pédagogique, Bertrand Hauchecorne s'est fortement investi dans la vie locale. Il est élu maire de Mareau-aux-Prés, dans le Loiret, en 1995 et exerce cette fonction pendant plus de trente ans. Il annonce en 2026 qu'il ne se représente pas aux élections municipales, mettant ainsi fin à une longue carrière d'élu municipal.

Son engagement dépasse le cadre communal. Il a notamment participé à différentes instances représentant les collectivités locales et s'est particulièrement intéressé aux finances des communes rurales. Il a ainsi animé la commission Finances de l'Association des maires ruraux de France et a exercé diverses responsabilités dans le domaine des collectivités territoriales.

Bertrand Hauchecorne se distingue donc par un double parcours : celui d'un pédagogue et vulgarisateur des mathématiques, et celui d'un élu local engagé dans la défense des communes rurales. Ses ouvrages cherchent à rendre les mathématiques plus accessibles en les replaçant dans leur contexte historique et en montrant, au-delà des formules, la richesse du raisonnement mathématique.

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