Le blog de Fabrice ARNAUD

Euromillions : gagner au Loto grâce aux mathématiques

Pour dire merci….

Avant de commencer, mes CINQ conseils lecture…


Euromillions : gagner au Loto grâce aux mathématiques

Août 2022 : petite fierté personnelle, cet article est cité en référence dans le numéro 341 de Science &  Pseudo-Sciences publié par l’AFIS ( Association française pour l’information scientifique). Dans ce numéro, une série d’articles sont consacrés à l’addiction aux jeux d’argent et de hasard. Voici le lien vers le site de l’AFIS. Je vous rappelle que Science & Pseudo-Sciences est disponible chaque trimestre chez votre marchand de journaux. Les anciens numéros sont accessibles gratuitement sur le site de l’AFIS. Ce magazine, sans publicité, est parrainé par des scientifiques réputés. On trouve par exemple Gérald Bronner, Jean-Paul Delahaye, Guillaume Lecointre, Alan Sokal ou Hervé This…

Merci à Jean-Paul Krivine, rédacteur en chef, d’avoir cité mon article en référence de son dossier. Quelle fierté !

Ce blog cité en référence dans le numéro 341 de Science & Pseudo-Sciences

Les mathématiques peuvent certainement vous éclairer sur la meilleure façon de jouer à l’Euromillions ou au Loto de la française des jeux. La réponse va peut-être vous surprendre, mais voici la grille qui vous rapportera le plus d’argent :

32    38    39    40    41

Comment le blog d’un prof de mathématiques peut prétendre vous aider à gagner à l’Euromillions ?

Ce blog serait-il devenu un piège à naifs qui se propose de révéler l’avenir à l’aide de formules complexes, de termes abscons ou d’un pendule…

Lisez donc la suite…

Voici le plan de cet article

Calculons les chances de gains à l’Euromillions

Tout d’abord, sur une grille d’Euromillions vous devez cocher 5 numéros parmi 50 et 2 étoiles parmi 11. On va considérer que le tirage est parfaitement aléatoire, l’huissier de justice en témoignera. Ainsi en mathématiques on parle d’équiprobabilité des tirages.

Nombre de tirages à l’Euromillions

Il reste donc à déterminer combien de tirages sont possibles à l’Euromillions. Pour les compter, il suffit de s’imaginer à la place du hasard qui est entrain de constituer le prochain tirage. Il y a 50 boules, il y a donc 50 possibilités pour choisir la première boule. Il en reste alors 49, 49 possibilités pour la deuxième boule, 48 pour la troisième, 47 pour la quatrième et 46 possibilités pour la dernière.

Ainsi qu’il y a : $latex 50\times 49\times 48 \times 47\times 46=254~251~200$ tirages possibles.

Attention cependant, avec cette manière de faire nous avons compté le tirage 1 ; 2 ;  3 ; 4 ; 5 mais aussi le tirage 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 4 et le tirage 2 ; 1 ; 3 ; 4 ; 5…. Bref nous avons compté plein de fois le même tirage dans le désordre… Alors que l’ordre est sans importance au Loto contrairement au Tiercé.

Combien y a t-il de tirages de 5 numéros quelque soit l’ordre ? On appelle cela une permutation.

Calcul du nombre de permutations

Il suffit pour cela d’appliquer le même raisonnement. Par exemple si nous considérons le tirage 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5, et essayons de les placer dans un certain ordre. Alors il y a 5 possibilités pour choisir le premier ; 4 pour choisir le deuxième ; 3 pour le troisième ; 2 pour le quatrième et une possibilité pour le dernier.

En conclusion il y a $latex 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$ permutations d’un même tirage.

Le nombre de tirages possibles à l’Euromillions est donc :

$latex \dfrac{50 \times 49 \times 48 \times 47 \times 46}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}=2~118~760$

En mathématiques on appelle ce raisonnement le calcul de combinaisons. Le résultat précédent est le nombre de combinaisons de 5 nombres choisis parmi 50. On le note souvent $latex C_5^{50}$ ou encore $latex \begin{pmatrix} 50 \\ 5 \\ \end{pmatrix}$

La formule générale est $latex \begin{pmatrix} n \\ p\\ \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-p)!p!}$ où $latex n!$ désigne la factorielle de $latex n$ c’est à dire le produit de tous les nombres entiers inférieurs ou égaux à $latex n$  : $latex n!=n\times (n-1) \times … 2 \times 1$

Ensuite pour les étoiles, il faut choisir une combinaison de 2 étoiles parmi 11, il y a $latex \dfrac{11\times 10}{2\times 1}=55$ combinaisons.

Ainsi le nombre de tirages possibles à l’Euromillions est $latex 2~118~760 \times 55 =116~531~800$

Finalement, comme il n’y a qu’une bonne combinaison, mes chances de trouver le bon tirage sont d’une sur 116 531 800.

Avec un raisonnement semblable on trouve de même pour le Loto, une chance sur 19 068 840.

Mais une chance sur 116 531 800 ça représente quoi ?

La presse essaie sans cesse de donner des comparaisons avec des situations réelles. Cependant elles sont rarement parlante car difficilement vérifiable. Voici néanmoins un exemple de jeu comparable à l’Euromillions.

J’ai lu qu’il y avait environ 35 000 grains de riz dans 1 kg et que cette masse correspond environ à 1,18 L.

$latex 116~531~800 \div 35~000 \simeq 3~329$.

Il y a donc environ 116 531 800 grains de riz dans 3 329 kg de riz. De plus $latex 3~329 \times 1,18~L=3~928~L$.

Ainsi vous avez donc autant de chance de gagner à l’Euromillions que de trouver du premier coup les yeux bandé et une main dans le dos un grain de riz peint en rose caché dans une piscine pleine de grains de riz qui ferait 2m de long, 2m de large et 1m de profondeur !!!

Cette piscine se trouve dans mon jardin en ce moment…. Combien de fois me donneriez-vous 2 euros pour jouer à mon super RizoMillions ?

Et finalement comme au Loto on a environ 6 fois plus de chance de gagner, il faut refaire le jeu précédent dans une mini-pataugeoire pleine de riz de 1m de long sur 1m de large et de 60 cm de profondeur…

Mais pourquoi y-a-t-il quand même des gagnants ?

Évidemment, quelqu’un ajoutera : « mais il y a quand même des gagnants ! « . Et heureusement pour le gentil organisateur, car sans gagnant pas de joueur et la probabilité de gain à l’Euromillions comme celle du Loto national n’est pas issue du hasard. Bien au contraire : il y a 9 pays qui jouent à l’Euromillions ( France, Suisse, Luxembourg, Portugal, Irlande, Royaume-Unis, Espagne, Autriche, Belgique ) qui représentent environ 220 000 000 d’habitants, donc des joueurs possibles.

Cependant en enlevant les enfants, les couples qui comptent doubles et les athées qui ne croient pas en la chance on arrive à environ 45 000 000 de grilles jouées ( en réalité entre 20 et 60 millions de grilles en fonction du montant de la cagnotte ) ce qui permet d’avoir des gagnants de manière régulière mais pas systématiquement pour stimuler la demande. En piochant 45 000 000 de grains dans ma piscine il y a moins d’une chance sur 3 de tomber sur le bon grains rose !!! ( mais ces grilles ne sont pas toutes différentes contrairement à mes grains de riz !!! )

Le Loto National et ses 1 chance sur 19 000 000 pour 65 000 000 d’habitants voit 1 à 10 millions de grilles jouées chaque semaine en fonction du gros lot !

Quelle stratégie adopter pour gagner plus à l’Euromillions?

Le hasard n’a pas de mémoire

Une mauvaise nouvelle pour commencer : le hasard n’a pas de mémoire ! Même si les mathématiciens connaissent parfaitement les lois de probabilités qui régissent un tirage de l’Euromillions il n’y a aucune méthode pour déterminer un tirage plus probable qu’un autre : car tous les tirages ont la même probabilité de sortir, une chance sur 116 531 800.

Ainsi le tirage qui est sorti la semaine dernière peut ressortir cette semaine avec autant de chance que les autres. Il peut même sortir dix fois de suite… Le tirage 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 à la même chance de sorti que le tirage 32 ; 38 ; 39 ; 40 et 41   !!!

Attention cependant, en probabilité il faut être précis. Ainsi le tirage de la semaine dernière à la même chance que tous les autres de réapparaître mais la probabilité que deux tirages identiques arrivent successivement ne correspond pas à la même question. Cette probabilité est très faible, de l’ordre d’une chance sur $latex 116~531~800^2$, soit dix millionièmes de milliardièmes… Mais cette probabilité très faible est la même que celle que deux tirages quelconques que nous aurions choisi au hasard se réalise dans lors des deux prochains tirages… Et oui, l’être humain n’a pas une intuition naturelle des probabilités, heureusement que les mathématiques sont là pour nous aider à y voir plus clair !

La loi des grands nombres

Il y a aussi la loi des grands nombres, cette fameuse loi qui permet à certains sites de vous conseiller à l’aide d’arguments statistiques les numéros les moins sortis récemment. Cependant la connaissance des derniers tirages, et même de tous les tirages n’est d’aucune aide pour choisir sa grille. En effet la loi des grands nombres affirment que les résultats statistiques d’une expérience aléatoire tendent à l’infini vers la loi de probabilité de l’expérience.

En clair, comme à l’Euromillions chaque numéro à une chance sur 50 de sortir, à l’infini, la fréquence de sorti d’un numéro est égale à $latex \frac{1}{50}$. Mais l’infini c’est long… Long… Et si un numéro n’est pas sorti lors des 200 derniers tirages… il se passera peut-être quelques milliers de tirages ( ce qui est peu devant l’infini ! ) avant que cela ne se rétablisse.

Ainsi il ne faut donc pas se laisser abuser par des sites ou de revues très sérieuses qui vous présentent la probabilité se sortie d’un numéro pour le prochain tirage en tenant compte de l’historique de sortie de ce numéro. Je le répéte : le hasard n’a pas de mémoire ! Il n’y a pas de numéros à l’écart et d’autres plus en forme ! J’ai lancé 100 fois une pièce de 2 euros, j’ai fait 73 piles et 27 faces, quelle est la probabilité de faire face au prochain lancé ? Une chance sur deux… évidemment ! A l’infini… dans très longtemps… plusieurs millénaires n’y suffiraient pas… la pièce sera tombé exactement le même nombre de fois côté pile et côté face.

Jouer plusieurs grilles ou plus de 5 numéros

Certains auteurs mathémato-statistico-astrologues proposent d’augmenter les chances de gagner à l’Euromillions en proposant des systèmes de grilles multiples. Le principe consiste à se dire par exemple qu’en choisissant 9 numéros on augmente sa chance d’avoir parmi eux les 5 bons ( ou moins en fonction de ce que ces sites appellent la garantie !!! ). Par contre il faut jouer toutes les grilles possibles contenant ces 9 numéros. C’est là que l’on vous propose ces fameuses grilles magiques, gratuitement ou pas.

Augmente t’on ses chances ? Allez, encore un peu de maths …

Imaginez que je sois convaincu que les 5 bons numéros sont dans la liste 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9.

Combien y-a t-il de grilles de 5 numéros parmi ces 9 numéros ?

C’est à nouveau une combinaison de 5 numéros parmi 9, il y en a $latex \begin{pmatrix} 9 \\ 5 \\ \end{pmatrix} = \frac{9\times 8\times 7 \times 6 \times 5}{5 \times 4 \times 3 \times 2}=126$. Il faut donc jouer 126 grilles à 2 euros…. C’est long et cher.

De combien a-t-on amélioré nos gains ? Nous jouons une grille de 9 numéros. Combien y a t-il de grilles de 9 numéros parmi 50 numéros ? Bien sur $latex \begin{pmatrix} 50\\ 9\\ \end{pmatrix}=2~505~433~700$. Combien y a t-il de grilles gagnantes ?

Pour constituer ces grilles on place d’abord les 5 numéros gagnants et reste à choisir les 4 derniers numéros parmi les 45 restants. Il y a donc $latex \begin{pmatrix} 45\\ 4\\ \end{pmatrix}=148~995$ grilles gagnantes.  La probabilité de gagner avec nos 126 grilles de 9 numéros est donc $latex \dfrac{148~995}{2~505~433~700}=\dfrac{9}{151~340}$. Il faut comparer avec la probabilité de gagner avec une grille de 5 numéros qui est $latex \dfrac{1}{2~118~760}=\dfrac{9}{19~068~840}$. Mais $latex 19~068~840 \div 151~340=126$….

Finalement en jouant 126 grilles de 9 numéros on a multiplié ses chances de gains par … 126 !!!!

Génial comme astuce ! En jouant 3 fois plus on multiplie par 3 ses chances de gains. Voilà qui mérite de vous faire payer une petite obole…

La seule stratégie gagnante

La seule stratégie qui est efficace repose sur le secret le mieux gardé de la Française des Jeux : les statistiques qui concernent les numéros les plus joués. En effet comme toutes les combinaisons ont la même probabilité d’apparaître, le seul moyen d’optimiser ses gains et de jouer les numéros les moins joués par les autres de telle manière à être moins nombreux à se partager les gains en cas de tirage gagnant.

Vendredi 17 octobre 2014, dans La tête au carré sur France Inter, le mathématicien statisticien Aver Bar -Hen a donné la liste de ce six numéros cités en début de cet article. Ils sont d’après lui les numéros les moins joués sans qu’il précise comment il avait obtenu ce résultat. Il a rappelé que le numéro 7 était le plus joué pour des raisons très irrationnelles, ainsi que les numéros inférieurs à 31 pour des raisons de dates anniversaire.

Alors quitte à jouer mieux vaut jouer une grille peu jouée par les autres. Attention cependant, si tout le monde se met à jouer cette grille cette seule astuce mathématique tombe à l’eau. S’il vous plait, laissez-moi seul jouer cette grille !

Combien gagne-t-on en moyenne à l’Euromillions et au Loto ?

Cette question porte le nom d’espérance mathématiques en probabilité. L’espérance mathématique consiste à calculer la moyenne des gains pondérées par les probabilités de réalisation de chaque gain. Wikipédia donne les gains moyens à l’Euromillions ainsi que les probabilité de gagner à chaque rang.

D’ailleurs on découvre à cette occasion que la probabilité de ne rien gagner du tout en jouant à l’Euromillions est d’environ 92 % !! Je comprends mieux ma malchance perpétuelle.

J’ai ainsi rapidement calculé l’espérance de gain moyenne à l’Euromillions, environ -1 euro. En clair malgré le tintamarre des super méga cagnottes, on perd en moyenne 1 euro en jouant 2 euros à Euromillions.

Qui ose dire maintenant que les mathématiques ne sont pas de précieuses alliées pour jouer à l’Euromillions ou au Loto. Que chacun choisisse de jouer ou de ne pas jouer, mais en connaissance des lois les plus simples des probabilités.

Je vous conseille de tester mon simulateur de tirages du Loto sur ce même excellent blog, ce qui vous permettra de vérifier tous les calculs présentés dans cet article.

Lire à ce sujet deux articles de Aver Bar-Hen :

Ce que les maths disent sur l’Euromillions et autres Lotos

Combien rapporte un numéro gagnant au Loto

Je vous conseille également une note de lecture  disponible sur ce blog « Hasard et intuition, quand les probabilités nous piègent…« 

Le blog de Fabrice ARNAUD — Licence CC BY-NC-SA 4.0


Mes calculatrices préférées au collège et au lycée

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Mes casse-tête mathématiques

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43 réponses à “Euromillions : gagner au Loto grâce aux mathématiques”

  1. Avatar de brigitte03380
    brigitte03380

    LA METHODE ULTIME PRONOMILLIONS : Mieux Jouer (EuroMillions et Loto)
    La Méthode Ultime avec les 5 secrets d’un grand professionnel du jeu pour gagner plus souvent et avec des mises minimes à l’Euromillions et au Loto. Plus un livre sur l’équilibre du hasard en cadeau !
    L’Euro Millions c’est 17 000 000 Euros MINIMUM à se partager entre gagnants du premier rang, c’est rare de gagner le Jackpot (une chance sur 140 millions) mais comme c’est un jeu de hasard, tout est possible…

    1. Avatar de Fabrice ARNAUD

      Je publie ce commentaire sans le lien publicitaire juste parce que cela me fait rire…

  2. Avatar de Pierre

    Et si la solution était chez eux ? http://www.bidon.com

    1. Avatar de Fabrice ARNAUD

      J’adore les sites qui proposent de gagner au loto comme ce http://www.bidon.com... oups… j’ai du me tromper d’adresse…
      Bref, je suis allé sur ce site que je ne partagerai pas avec vous pour ne pas leur faire de la publicité.
      Mais quand même, voici quelques extraits amusants :

      Je cite :

      « Un Bidon100 c’est une liste qui regroupe 100 combinaisons pour l’Euro Millions et qui donnent des résultats étonnants !  »

      « Il y a au total 10.000 Bidon100 pour un maximum de 10.000 privilégiés. Ensuite il y a une liste d’attente. »

      « Si vous avez un numéro fétiche il se retrouvera obligatoirement dans votre Bidon100. Ce sera d’ailleurs une très bonne idée de jouer les combinaisons qui le contiennent.  »

      « Nous nous engageons à vous rembourser toutes vos mises dans le cas ou votre Bidon100 ne contiendrait pas au minimum 20 (vingt) combinaisons gagnantes lors des 10 tirages pré-définis. Dans ce cas, toutes vos mises relatives à votre Bidon100 seraient alors remboursées sans la moindre discussion.  »

      « De nombreuses recherches ont été nécessaire pour réaliser nos 10.000 Bidon100 que nous réactualisons régulièrement.
      Vous verrez par vous-même, c’est vraiment étonnant le nombre de fois que nous avons les 5 bons numéros avec ou sans étoile dans nos Bidon100.  »

      Ahhhh

      J’adore !!

    2. Avatar de 50 derniers résultats loto

      Mdr tu m’as tué.
      S’il y avait une recette miracle je crois que l’on serait tous millionnaire ou les règles auraient déjà changé…
      Pensez vous par contre que l’on ai moins de chance de gagner avec un loto flash ?

      1. Avatar de Fabrice ARNAUD

        Les nombres choisis par la machine semblent moins sympathiques que les dates de naissances de nos proches… et pourtant… même chance de gain !
        Le tirage aléatoire du loto flash évite donc de se questionner inutilement sur nos numéros fétiches…
        Souvenons-nous que 1,2,3,4,5,6 est aussi probable que 2,43,7,18,29,31 !

  3. Avatar de badboystony
    badboystony

    des escros ceux qui dise donner des bon prono mdr des tocard et meme la francaise des jeux son des menteur faire de la pub il y a 25 gagnant pour le my million ce jour la 5 on gagner tout ça pour que les peronnes joue et ceux qui gagne des grosse somme joue en famille il mise 1000euros il joue 10 numero 9 etoile je crois pas que un gagnant a joue 2euros50 et gagne les grosse somme truke en plus toujour ces pd english portugais belg qui gagne ces grosse somme moi je joue et jamais gagne meme le my million jamais eux je joue 10 euros alors au chiotte la francaise des jeux qu il ailles ce faire enculer

    1. Avatar de Fabrice ARNAUD

      Je comprends pas tout mais vous avez beaucoup d’humour… donc je publie !!!

  4. Avatar de Patrick Hodge
    Patrick Hodge

    Bonjour Arnaud, blog très intéressant je vais avec le temps lire un peu tout, si vous avez d’autres démonstrations mathématiques dans bien d’autres domaines (ce qui est sur et certains en vous lisant) je prends. Bonne continuation

  5. Avatar de MaxBlaster
    MaxBlaster

    Les mathématiques pour l’euro-millions ? pourquoi faire… C’est un problème de physique quantique, pas de mathématique. Les boules s’entrechoque pas forcément par hasard, mais selon des lois quantiques qui font intervenir des éléments physique.

    1. Avatar de Fabrice ARNAUD

      Évidemment… il n’y a donc que le chat de Schrodinger qui a une petite chance de gagner au loto !

      1. Avatar de Hello
        Hello

        MaxBlaster, pas dénué de sens mais à accorder avec d’autres arguments 😉

  6. Avatar de Christophe
    Christophe

    Bonjour,

    A la lecture de votre article, je comprends bien que jouer x grilles pour un même tirage multiplie purement et simplement par x la probabilité (quasi nulle) d’avoir le tirage complet… tout en multipliant d’autant le coût de l’opération.
    Autrement dit que l’on joue x grilles pour un même tirage, ou que l’on joue une seule grille sur x tirages successifs, la chance de gagner le gros lot est la même.

    Mais si l’on met cela de côté, jouer plusieurs grilles pour un même tirage ne pourrait-il pas permettre néanmoins d’améliorer légèrement l’espérance de gain (négative) de chaque grille ?
    Par exemple si on ne regarde que les étoiles, jouer 6 grilles permet de jouer les 12 étoiles possibles, donc même si l’on ne fait que 6 combinaisons sur les 66 possibles (et que l’on n’a donc que 6x plus de chances d’avoir les 2 étoiles qu’avec une grille simple), on a en revanche 100% de chances d’avoir au moins 1 étoile.

    Si mon intuition est correcte, et que l’espérance de gain (négative) pour un jeu de 6 grilles (par ex) peut varier selon les grilles jouées, existe-t-il un simulateur permettant de déterminer l’espérance de gain d’une série de 6 grilles données ? (un peu sur le principe du simulateur que vous avez réalisé pour une grille simple) ?

  7. Avatar de Boubacar
    Boubacar

    Bonjour. Un grands MERCI pour ces super details. On y apprend des details pas degligeables.
    Je consulte regulièrement vos articles et je les trouve très instructifs.
    Pour les novices comme moi, je vous met le lien d’un livre qui m’a permis de mettre en place une strategie avec laquelle je m’en sors pas mal avec le loto (8/10 en general) et dont je vous recommande largement

    Lien publicitaire supprimé

    1. Avatar de Fabrice ARNAUD

      Merci pour votre remarque… le sens de mon article est justement de préciser que la SEULE martingale possible au loto consiste à jouer les numéros les moins joués par les autres, ainsi en cas de gain, le partage de la mise se fait entre moins de personnes. Le hasard n’a pas de mémoire et les statistiques sur les numéros déjà sortis ne servent à rien pour choisir sa grille.

      Désolé

      1. Avatar de Christophe
        Christophe

        Donc vous confirmez bien que l’espérance de gain (que vous aviez estimé à -1€ par grille jouée) est constante peu importe la combinaison jouée. J’ai compris votre explication pour les 5 numéros (« Finalement en jouant 126 grilles de 9 numéros on a multiplié ses chances de gains par … 126 »)… mais pour les gains intermédiaires je ne suis pas convaincu.

        Accepteriez-vous de détailler le calcul de l’espérance de gain pour une grille simple d’une part, et d’autre part pour une combinaison de 6 grilles (sans aucun numéro commun) totalisant les 12 étoiles (par ex étoiles 1 et 2 sur la première grille, 3 et 4 sur la seconde, etc.) ?

        Un grand merci pour vos éclaircissements mathématiques qui permettent de balayer les croyances et préjugés (je suis persuadé que votre réponse finira de me convaincre 😉 )

        1. Avatar de Fabrice ARNAUD

          Pour un tirage donné, l’espérance de gain est constante et ne dépend pas de la grille jouée. Elle ne dépend que du gain possible à chaque rang. On ne peut donc calculer l’espérance de gain pour un tirage que lorsque l’on connaît le nombre de gagnant à chaque rang et par conséquent le gain à chaque rang. Il faut ensuite faire la somme des produits de chaque gain par la probabilité du rang donné. Sachant cela, une fois qu’un tirage a eu lieu et que les gagnants ont fait payer leur gains il est possible de calculer l’espérance de gain. Les probabilités de chaque tirage sont calculables dès la connaissance des règles du jeu. Donc je ne calculerai pas l’espérance de gain pour un tirage donné puisqu’il manque forcément des statistiques. Mon -1 euros d’espérance pour une grille à 2 euros fait référence au fait que l’état empoche la moitié de votre mise quoi qu’il arrive !

          Je ne connais pas bien les règles du jeu pour 6 grilles mais qu’importe ce qu’elles contiennent l’espérance de gain est le produit de l’espérance de gain d’une grille par 6. Et comme cette espérance de gain est négative (sinon en moyenne l’état perdrait de l’argent à chaque tirage, ce que les comptes de la Française de Jeux ne confirme pas… lol.. ) en jouant 6 fois vous multipliez votre espérance… et donc votre perte … par 6… Oui je sais c’est un peu triste ! Par contre vous multipliez vos chances de gains par 6 aussi… mais vous perdez 6 fois plus… ah oui… cela revient au même, pardon !

          1. Avatar de Christophe
            Christophe

            Bonjour,

            Pourtant, si je joue 6 grilles, et qu’on compare les deux situations suivantes :
            – Situation 1, je ne fais changer qu’un seul numéro entre les grilles, tous les autres y compris les étoiles sont identiques.
            – Situation 2, je fais en sort qu’il n’y ait aucun numéro commun entre les grilles

            Bien entendu, la probabilité de tirer le gros lot est la même dans la situation 1 et dans la situation 2. En revanche, il me semble que la probabilité d’avoir un gain inférieur est nettement plus importante dans la situation 2 que dans la situation 1.

            Ne serait-ce que pour les étoiles, dans la situation 1 j’ai 30,3% de chances d’avoir exactement 1 bonne étoile et 1,52% de chances d’avoir 2 étoiles (mais si par bol j’ai les 2 étoiles je les ai sur les 6 grilles jouées).
            A l’inverse dans la situation 1 j’ai 100% de chances d’avoir au moins 1 bonne étoile (vu que les 12 étoiles possibles sont jouées au travers des 6 grilles), et par conséquent 1 chance sur 11 d’avoir 2 étoiles (mais si ça arrive ce sera sur une seule des grilles jouées, les autres n’ayant alors aucune étoile).

            Cette comparaison entre les situations 1 et 2 me fait dire que, lorsqu’on joue plusieurs grilles pour 1 seul tirage, le nombre de numéros communs entre les différentes grilles jouées a une influence sur les probabilités d’obtenir l’un des différents intermédiaires (et a donc de facto une incidence sur l’espérence de gain, même si cette influence est probablement minime).

            Qu’en pensez-vous ? Y a-t-il une erreur dans mon raisonnement ? Si oui pouvez-vous svp m’aider à la déceler ?

    2. Avatar de Nikos Aligot
      Nikos Aligot

      Intéressant. Si j’en crois la démonstration, on n’a pas plus de chance d’avoir les bons numéros lorsqu’on jour toujours la même grille.

  8. Avatar de Caruc
    Caruc

    J’aimerai bien savoir comment calcule-t-on la « chance » d’obtenir un rang 5 + 1, car 5 + 2 je n’ai aucun problème, mais 5 + 1 je n’arrive pas à obtenir le résulta de 6 991 908, je sais que c’est 139 838 160 / 20, mais d’où sort ce 20?

    Merci beacuoup d’avantage si vous vous décider a résoudre mon doute, et sinon, aumoins, mes félicitation pour votre site!

  9. Avatar de micho
    micho

    Fabrice vous indiquez que les stats ne servent à rien,mais perso je tiens à jour les miennes qui concernent la parution des finales retard et forme ainsi que pairs et impairs qui donnent de bonnes indications pour jouer moins au hasard,au final c’est pas si mal,car on s’aperçoit sur les tirages que certaines fréquences finissent par s’équilibrer,je me base souvent sur un laps de 10 tirages.

    1. Avatar de Fabrice ARNAUD

      Vous ne devriez pas vous contenter des pairs et impairs… Pourquoi choisir le reste de la division par 2 ? Il faudrait aussi tester les restes dans les divisions par 3, 4, 5…. comme disent les matheux, étudier tout cela dans Z/pZ !!!
      Et puis la répartition des tirages des nombres premiers ???
      Et la répartition des tirages solution d’un certaine équation algébrique du degré de votre choix !
      Tout cela pour vous dire qu’un examen statistique des tirages du loto laisse entendre que le hasard aurait une mémoire… et ce n’est pas ce que dit la loi des grands nombres même si souvent on l’interprète ainsi dans un cadre non scientifique. Et si le hasard avait une mémoire il faudrait étudier des critères mathématiques nombreux et pas seulement la parité.
      Bref, je comprends le plaisir que vous prenez à étudier les tirages du loto et je ne veux pas gâcher l’énergie de que vous devez mettre dans ces calculs amusants… même s’ils sont inutiles

      Bien cordialement

  10. Avatar de Ariart
    Ariart

    Petite question : on part du principe que les tirages sont uniquement hasardeux, or ils se font de manière physique :

    les boules sont fabriquées dans une certaine matière, sont lâchées d’une certaines hauteur, avec un certain poids, dans une machine qui tourne à une certaine vitesse, etc.

    Est-ce que la manière dont est fait le tirage n’induit pas des probabilités de tirage différentes en fonction des numéros, justement ? Parce qu’on ne tire pas virtuellement des numéro au hasard, au final. Est-ce que l’impact des conditions du jeu peut-être pris en compte dans le raisonnement, que ce soit en faveur ou en défaveur du joueur, et donc faire que certaines conditions sont plus probables que d’autre dans les faits ?

    1. Avatar de Fabrice ARNAUD

      Je vous invite à consulter cette page wikipédia sur les nombres pseudo-aléatoires.

      https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9n%C3%A9rateur_de_nombres_pseudo-al%C3%A9atoires

      Il n’existe pas de générateur de nombres aléatoires parfaits… car personne ne sait simuler le hasard puisque personne ne sait exactement ce que l’on entend par hasard.
      Il existe des simulateurs de nombres pseudo-aléatoires qui garantissent des niveaux de sécurité préalablement définis.

      Pour le tirage du loto, le phénomène physique qui consiste à mélanger des boules dans une sphère est certainement modélisable par des équations. Cependant, comme le lancer d’une pièce de monnaie, il est très sensible aux conditions initiales, ce qui rend l’analyse totalement chaotique. Je vous invite à vous renseigner sur la théorie du chaos dont l’effet papillon est un exemple très parlant.

      https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_du_chaos

      Cordialement

  11. Avatar de Armand
    Armand

    Tous rêve de gagner les plus grands mathématicien cherche une solution bien que c’est un jeu de hasard
    Mais on peut toujours essayer je ne suis pas mathématicien j’ai une solution qui peut tous nous faire gagner.
    Pour le tirage euromillion du 24/09/2021
    Sortie le 2-12-20-27-41
    Mon calcul était de mettre le nombre 1 avec le 11qui nous donnait 2-12 puisque que le 1 et le 2 appartient au 11 donc le 12 appartient au 22 si le 22 appartient au 12 donc le 20 appartient au 11 donc le 20 et le 27 appartient au 11 si le 20 et le 27 appartient au 11 le 41 appartient au 22 puisque que le 2 appartient aux 11 et 22 qui nous donnait 2 _12 _20-27-41

    1. Avatar de Fabrice ARNAUD

      Bravo,

      Je suis heureux de savoir que vous êtes dorénavant millionnaire et que grâce à votre méthode vous allez gagner tous les prochains tirages…
      Je ne vais cependant pas tester votre méthode car en plus de ne jamais jouer je suis profondément incroyant !

  12. Avatar de Christophe
    Christophe

    Fabrice Arnaud, pouvez-vous svp me faire part de votre avis et de votre analyse en réponse à mon message du 14 février 2021 ? Cela m’intéresse beaucoup.

    Bonne journée à tous !

    1. Avatar de Fabrice ARNAUD

      Bonsoir,

      Merci pour votre intérêt. Je n’ai pas de temps à accorder aux martingales proposées par mes lecteurs. L’article donne quelques bases qui relève de la fin du collège et du lycée. Je ne peux que vous inciter à consulter des ouvrages de mathématiques de niveau Terminale option maths qui vous donneront des éléments de réflexion pour analyser votre stratégie.

      Cordialement

      1. Avatar de Christophe
        Christophe

        Vous n’avez visiblement pas lu le message concerné, je n’y mentionne ni stratégie miracle ni autre martingale, je pose une question.

        Je comprends en revanche parfaitement que vous puissiez ne pas souhaiter prendre le temps d’y répondre.

        Je suivrai votre conseil et tâcherai d’y trouver la réponse par moi-même.

  13. Avatar de David Solito

    « En clair, comme à l’Euromillions chaque numéro à une chance sur 50 de sortir, à l’infini, la fréquence de sorti d’un numéro est égale à \frac{1}{50}. Mais l’infini c’est long… Long… Et si un numéro n’est pas sorti lors des 200 derniers tirages… il se passera peut-être quelques milliers de tirages ( ce qui est peu devant l’infini ! ) avant que cela ne se rétablisse. »

    -> Il serait peut-être bon de préciser qu’un numéro à 1 chance sur 10 de sortir à chaque tirage.

  14. Avatar de a000cus
    a000cus

    « Ainsi qu’il y a : 50X49X48X47X46=252 251 200 tirages possibles. »

    Quelqu’un peut m’expliquer ? parce que chez moi ça donne 254 251 200 sur 3 calculatrice différentes ?
    On est d’accord qu’il s’est planté ? (en plus le 1er calcul du calcul de nombres de permutations lui est bon…)

    Par contre merci pour l’explication du Calcul du nombre de permutations, je ne comprenais pas pourquoi sur 1er site que j’ai trouvé ils divisaient par (5x4x3x2x1) et par (12×11) (oui c’est 12 étoiles pas 11. dit-il 8 ans après la sortie de l’article alors qu’il vient d’apprendre les règles du Loto/EuroMillions il y a 30 min ^^’)

    Du coup si quelqu’un se pose la question comme moi, en 2022, avec 5 chiffres sur 50 chiffres et 2 étoiles sur 12 étoile ça donne :

    2 118 760 x 66 = 139 838 160 combinaisons.

    Ce qu’il faut retenir :

    La probabilité de remporter le jackpot EuroMillions est de 1 sur 139 838 160 de combinaisons uniques différentes.

    et la probabilité d’avoir le Jackpot (les 5 nombres et les 2 étoiles) est de : 0,000 000 715 %

    1. Avatar de Fabrice ARNAUD

      Merci pour votre commentaire… J’ai corrigé le produit, certainement une erreur de recopie.
      Cela fait bien longtemps que je ne me suis pas intéressé aux variations des règles de l’Euromillion.
      Je publie votre commentaire qui servira de mise à jour.

  15. Avatar de Madame Irma
    Madame Irma

    Moi je suis immensément riche ! Et mon but est de perdre de l’argent, parce que j’en ai justement trop. Alors je joue tous les mardi et les vendredi à l’euromillions. Et comme ça ne suffit pas, je joue aussi au loto le lundi, le mercredi et le samedi. Mais comme j’ai toujours trop de pognon, je fais un keno tous les midi. Et vous savez quoi ? Ça marche ! Je parviens à atteindre mes objectifs : je perds toutes mes mises !!!! Chaque semaine je perds ! C’est génial, ça marche à tous les coups, garantie sur facture ! Tous les systèmes fonctionnent pour parvenir à ce résultat : alternance nombre paires/impaires, nombres premiers, nombre d’or, tous les chiffres du nombre pi, hasard, tarot, numérologie, astrologie, flash, pendule, marc de café… tout fonctionne je vous dis ! C’est garantie ! Jouez comme moi je le fais et vous aussi vous perdrez de l’argent. Je peux même vous aider à perdre toutes vos économies, si vous le voulez, et gratuitement ! Jouez par exemple cette suite de numéros : 1 2 3 4 et 5. Et comme étoiles 1 et 2. Vous verrez : vous allez perdre ! Je vous le garantie. Alors si comme moi vous pensez que nous ne payons pas assez d’impôts et que nous avons trop d’argent dans nos poches, jouez à la loterie ! Vous perdrez tout, petit à petit ! N’est-ce pas merveilleux ?

    1. Avatar de Fabrice ARNAUD

      Merci Madame Irma.
      J’adore votre conseil et je vais m’empresser de le suivre illico. Seul détail : l’axiome de départ est faux dans mon cas, je ne suis pas riche… pas du tout même !
      Je n’ai qu’un souhait : que mes lecteurs milliardaires, comme vous, suivent votre conseil à la lettre. Étant fonctionnaire, tous dons volontaires aux impôts nationaux contribuent à maintenir mon niveau de vie.
      Merci encore !

  16. Avatar de Semantia
    Semantia

    C’est extraordinaire. Votre article est très intéressant, évidemment, mais sans vouloir vous blesser, ce sont les commentaires qui sont les plus fascinants. Comme il y en a plus de 30, on pourrait probablement commencer à faire des stats. Pour un certain pourcentage de la population, quels que soient les efforts que vous déployiez, la volonté de croire à une vérité cachée est trop forte. On ne vous le dit pas, mais il y a forcément une pierre philosophale, une martingale, un philtre d’immortalité réservés aux seuls initiés (pardon : initié.e.s… ah ben non, justement ! On ne veut pas être inclusif.v.e.s. Plouf plouf. Je reprends : …réservé.e.s à moi).

    1. Avatar de Fabrice ARNAUD

      Je suis a 100% d’accord avec vous. Ce que je trouve le plus extraordinaire sur mon blog, ce sont les commentaires, plus d’un millier en 10 ans. On y trouve de tout : des passionnés de maths qui ont démontré enn secret le théorème de Fermat, des génies qui ont développé une martingale pour le loto et plein de gentils messages comme le votre. Merci d’avoir pris le temps de m’écrire…

  17. Avatar de Olé
    Olé

    Bonjour,

    Perso, j’ai trouvé une meilleure solution à chaque coup.

    Je laisse les gens jouer à l’euromillions et j’attends le dividende payé par FDJ. 100% de chance de victoire…

    Cdt,

  18. Avatar de Arthur33
    Arthur33

    Si tu veux gagner, comptes le nombre de jours ou tu n’as pas joué, multiplie le par le prix d’un ticket : le résulat = ce que tu n’as pas perdu.

  19. Avatar de sylvie
    sylvie

    bonjour faites vous toujours vos calculs j’essaye de comprendre votre technique
    merci

  20. Avatar de Roland
    Roland

    Bonjour,
    Je me pose la question qui est peut-être déjà dans les réponses de votre blog, mais pas évident de tout lire, donc je me pose la question pour 15 € par exemple, il y a deux propositions chez FDJ: un nombre de numéros plus important ou à un nombre d’étoiles plus important.
    Selon vous, pour la même somme dépensée, puisque la Française des jeux, sait ce qu’elle fait, ai-je théoriquement au mathématiquement plus de chance de gagner pour la même somme avec plus de Numéros ou plus d’étoiles ?
    Je vous remercie pour votre réponse.
    Cordialement.

    1. Avatar de Fabrice ARNAUD

      Il faut que je regarde cela de plus près…
      Le diable est dans les détails

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