Euromillions : gagner au Loto grâce aux mathématiques

Publié par Fabrice ARNAUD le

Les mathématiques peuvent certainement vous éclairer sur la meilleure façon de jouer à l’Euromillions ou au Loto de la française des jeux. La réponse va peut-être vous surprendre, mais voici la grille qui vous rapportera le plus d’argent :

32    38    39    40    41

Comment le blog d’un prof de mathématiques peut prétendre vous aider à gagner à l’Euromillions ?

Ce blog serait-il devenu un piège à naifs qui se propose de révéler l’avenir à l’aide de formules complexes, de termes abscons ou d’un pendule…

Lisez donc la suite…

Voici le plan de cet article

  • Calculons les chances de gains à l’Euromillions
    • Nombre de tirage à l’Euromillions
    • Calcul du nombre de permutations

Calculons les chances de gains à l’Euromillions

Tout d’abord, sur une grille d’Euromillions vous devez cocher 5 numéros parmi 50 et 2 étoiles parmi 11. On va considérer que le tirage est parfaitement aléatoire, l’huissier de justice en témoignera. Ainsi en mathématiques on parle d’équiprobabilité des tirages.

Nombre de tirages à l’Euromillions

Il reste donc à déterminer combien de tirages sont possibles à l’Euromillions. Pour les compter, il suffit de s’imaginer à la place du hasard qui est entrain de constituer le prochain tirage. Il y a 50 boules, il y a donc 50 possibilités pour choisir la première boule. Il en reste alors 49, 49 possibilités pour la deuxième boule, 48 pour la troisième, 47 pour la quatrième et 46 possibilités pour la dernière.

Ainsi qu’il y a : 50\times 49\times 48 \times 47\times 46=252~251~200 tirages possibles.

Attention cependant, avec cette manière de faire nous avons compté le tirage 1 ; 2 ;  3 ; 4 ; 5 mais aussi le tirage 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 4 et le tirage 2 ; 1 ; 3 ; 4 ; 5…. Bref nous avons compté plein de fois le même tirage dans le désordre… Alors que l’ordre est sans importance au Loto contrairement au Tiercé.

Combien y a t-il de tirages de 5 numéros quelque soit l’ordre ? On appelle cela une permutation.

Calcul du nombre de permutations

Il suffit pour cela d’appliquer le même raisonnement. Par exemple si nous considérons le tirage 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5, et essayons de les placer dans un certain ordre. Alors il y a 5 possibilités pour choisir le premier ; 4 pour choisir le deuxième ; 3 pour le troisième ; 2 pour le quatrième et une possibilité pour le dernier.

En conclusion il y a 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120 permutations d’un même tirage.

Le nombre de tirages possibles à l’Euromillions est donc :

\dfrac{50 \times 49 \times 48 \times 47 \times 46}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}=2~118~760

En mathématiques on appelle ce raisonnement le calcul de combinaisons. Le résultat précédent est le nombre de combinaisons de 5 nombres choisis parmi 50. On le note souvent C_5^{50} ou encore \begin{pmatrix} 50 \\ 5 \\ \end{pmatrix}

La formule générale est \begin{pmatrix} n \\ p\\ \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-p)!p!}n! désigne la factorielle de n c’est à dire le produit de tous les nombres entiers inférieurs ou égaux à n  : n!=n\times (n-1) \times ... 2 \times 1

Ensuite pour les étoiles, il faut choisir une combinaison de 2 étoiles parmi 11, il y a \dfrac{11\times 10}{2\times 1}=55 combinaisons.

Ainsi le nombre de tirages possibles à l’Euromillions est 2~118~760 \times 55 =116~531~800

Finalement, comme il n’y a qu’une bonne combinaison, mes chances de trouver le bon tirage sont d’une sur 116 531 800.

Avec un raisonnement semblable on trouve de même pour le Loto, une chance sur 19 068 840.

Mais une chance sur 116 531 800 ça représente quoi ?

La presse essaie sans cesse de donner des comparaisons avec des situations réelles. Cependant elles sont rarement parlante car difficilement vérifiable. Voici néanmoins un exemple de jeu comparable à l’Euromillions.

J’ai lu qu’il y avait environ 35 000 grains de riz dans 1 kg et que cette masse correspond environ à 1,18 L.

116~531~800 \div 35~000 \simeq 3~329.

Il y a donc environ 116 531 800 grains de riz dans 3 329 kg de riz. De plus 3~329 \times 1,18~L=3~928~L.

Ainsi vous avez donc autant de chance de gagner à l’Euromillions que de trouver du premier coup les yeux bandé et une main dans le dos un grain de riz peint en rose caché dans une piscine pleine de grains de riz qui ferait 2m de long, 2m de large et 1m de profondeur !!!

Cette piscine se trouve dans mon jardin en ce moment…. Combien de fois me donneriez-vous 2 euros pour jouer à mon super RizoMillions ?

Et finalement comme au Loto on a environ 6 fois plus de chance de gagner, il faut refaire le jeu précédent dans une mini-pataugeoire pleine de riz de 1m de long sur 1m de large et de 60 cm de profondeur…

Mais pourquoi y-a-t-il quand même des gagnants ?

Évidemment, quelqu’un ajoutera : « mais il y a quand même des gagnants ! « . Et heureusement pour le gentil organisateur, car sans gagnant pas de joueur et la probabilité de gain à l’Euromillions comme celle du Loto national n’est pas issue du hasard. Bien au contraire : il y a 9 pays qui jouent à l’Euromillions ( France, Suisse, Luxembourg, Portugal, Irlande, Royaume-Unis, Espagne, Autriche, Belgique ) qui représentent environ 220 000 000 d’habitants, donc des joueurs possibles.

Cependant en enlevant les enfants, les couples qui comptent doubles et les athées qui ne croient pas en la chance on arrive à environ 45 000 000 de grilles jouées ( en réalité entre 20 et 60 millions de grilles en fonction du montant de la cagnotte ) ce qui permet d’avoir des gagnants de manière régulière mais pas systématiquement pour stimuler la demande. En piochant 45 000 000 de grains dans ma piscine il y a moins d’une chance sur 3 de tomber sur le bon grains rose !!! ( mais ces grilles ne sont pas toutes différentes contrairement à mes grains de riz !!! )

Le Loto National et ses 1 chance sur 19 000 000 pour 65 000 000 d’habitants voit 1 à 10 millions de grilles jouées chaque semaine en fonction du gros lot !

Quelle stratégie adopter pour gagner plus à l’Euromillions?

Le hasard n’a pas de mémoire

Une mauvaise nouvelle pour commencer : le hasard n’a pas de mémoire ! Même si les mathématiciens connaissent parfaitement les lois de probabilités qui régissent un tirage de l’Euromillions il n’y a aucune méthode pour déterminer un tirage plus probable qu’un autre : car tous les tirages ont la même probabilité de sortir, une chance sur 116 531 800.

Ainsi le tirage qui est sorti la semaine dernière peut ressortir cette semaine avec autant de chance que les autres. Il peut même sortir dix fois de suite… Le tirage 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 à la même chance de sorti que le tirage 32 ; 38 ; 39 ; 40 et 41   !!!

Attention cependant, en probabilité il faut être précis. Ainsi le tirage de la semaine dernière à la même chance que tous les autres de réapparaître mais la probabilité que deux tirages identiques arrivent successivement ne correspond pas à la même question. Cette probabilité est très faible, de l’ordre d’une chance sur 116~531~800^2, soit dix millionièmes de milliardièmes… Mais cette probabilité très faible est la même que celle que deux tirages quelconques que nous aurions choisi au hasard se réalise dans lors des deux prochains tirages… Et oui, l’être humain n’a pas une intuition naturelle des probabilités, heureusement que les mathématiques sont là pour nous aider à y voir plus clair !

La loi des grands nombres

Il y a aussi la loi des grands nombres, cette fameuse loi qui permet à certains sites de vous conseiller à l’aide d’arguments statistiques les numéros les moins sortis récemment. Cependant la connaissance des derniers tirages, et même de tous les tirages n’est d’aucune aide pour choisir sa grille. En effet la loi des grands nombres affirment que les résultats statistiques d’une expérience aléatoire tendent à l’infini vers la loi de probabilité de l’expérience.

En clair, comme à l’Euromillions chaque numéro à une chance sur 50 de sortir, à l’infini, la fréquence de sorti d’un numéro est égale à \frac{1}{50}. Mais l’infini c’est long… Long… Et si un numéro n’est pas sorti lors des 200 derniers tirages… il se passera peut-être quelques milliers de tirages ( ce qui est peu devant l’infini ! ) avant que cela ne se rétablisse.

Ainsi il ne faut donc pas se laisser abuser par des sites ou de revues très sérieuses qui vous présentent la probabilité se sortie d’un numéro pour le prochain tirage en tenant compte de l’historique de sortie de ce numéro. Je le répéte : le hasard n’a pas de mémoire ! Il n’y a pas de numéros à l’écart et d’autres plus en forme ! J’ai lancé 100 fois une pièce de 2 euros, j’ai fait 73 piles et 27 faces, quelle est la probabilité de faire face au prochain lancé ? Une chance sur deux… évidemment ! A l’infini… dans très longtemps… plusieurs millénaires n’y suffiraient pas… la pièce sera tombé exactement le même nombre de fois côté pile et côté face.

Jouer plusieurs grilles ou plus de 5 numéros

Certains auteurs mathémato-statistico-astrologues proposent d’augmenter les chances de gagner à l’Euromillions en proposant des systèmes de grilles multiples. Le principe consiste à se dire par exemple qu’en choisissant 9 numéros on augmente sa chance d’avoir parmi eux les 5 bons ( ou moins en fonction de ce que ces sites appellent la garantie !!! ). Par contre il faut jouer toutes les grilles possibles contenant ces 9 numéros. C’est là que l’on vous propose ces fameuses grilles magiques, gratuitement ou pas.

Augmente t’on ses chances ? Allez, encore un peu de maths …

Imaginez que je sois convaincu que les 5 bons numéros sont dans la liste 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9.

Combien y-a t-il de grilles de 5 numéros parmi ces 9 numéros ?

C’est à nouveau une combinaison de 5 numéros parmi 9, il y en a \begin{pmatrix} 9 \\ 5 \\ \end{pmatrix} = \frac{9\times 8\times 7 \times 6 \times 5}{5 \times 4 \times 3 \times 2}=126. Il faut donc jouer 126 grilles à 2 euros…. C’est long et cher.

De combien a-t-on amélioré nos gains ? Nous jouons une grille de 9 numéros. Combien y a t-il de grilles de 9 numéros parmi 50 numéros ? Bien sur \begin{pmatrix} 50\\ 9\\ \end{pmatrix}=2~505~433~700. Combien y a t-il de grilles gagnantes ?

Pour constituer ces grilles on place d’abord les 5 numéros gagnants et reste à choisir les 4 derniers numéros parmi les 45 restants. Il y a donc \begin{pmatrix} 45\\ 4\\ \end{pmatrix}=148~995 grilles gagnantes.  La probabilité de gagner avec nos 126 grilles de 9 numéros est donc \dfrac{148~995}{2~505~433~700}=\dfrac{9}{151~340}. Il faut comparer avec la probabilité de gagner avec une grille de 5 numéros qui est \dfrac{1}{2~118~760}=\dfrac{9}{19~068~840}. Mais 19~068~840 \div 151~340=126….

Finalement en jouant 126 grilles de 9 numéros on a multiplié ses chances de gains par … 126 !!!!

Génial comme astuce ! En jouant 3 fois plus on multiplie par 3 ses chances de gains. Voilà qui mérite de vous faire payer une petite obole…

La seule stratégie gagnante

La seule stratégie qui est efficace repose sur le secret le mieux gardé de la Française des Jeux : les statistiques qui concernent les numéros les plus joués. En effet comme toutes les combinaisons ont la même probabilité d’apparaître, le seul moyen d’optimiser ses gains et de jouer les numéros les moins joués par les autres de telle manière à être moins nombreux à se partager les gains en cas de tirage gagnant.

Vendredi 17 octobre 2014, dans La tête au carré sur France Inter, le mathématicien statisticien Aver Bar -Hen a donné la liste de ce six numéros cités en début de cet article. Ils sont d’après lui les numéros les moins joués sans qu’il précise comment il avait obtenu ce résultat. Il a rappelé que le numéro 7 était le plus joué pour des raisons très irrationnelles, ainsi que les numéros inférieurs à 31 pour des raisons de dates anniversaire.

Alors quitte à jouer mieux vaut jouer une grille peu jouée par les autres. Attention cependant, si tout le monde se met à jouer cette grille cette seule astuce mathématique tombe à l’eau. S’il vous plait, laissez-moi seul jouer cette grille !

Combien gagne-t-on en moyenne à l’Euromillions et au Loto ?

Cette question porte le nom d’espérance mathématiques en probabilité. L’espérance mathématique consiste à calculer la moyenne des gains pondérées par les probabilités de réalisation de chaque gain. Wikipédia donne les gains moyens à l’Euromillions ainsi que les probabilité de gagner à chaque rang.

D’ailleurs on découvre à cette occasion que la probabilité de ne rien gagner du tout en jouant à l’Euromillions est d’environ 92 % !! Je comprends mieux ma malchance perpétuelle.

J’ai ainsi rapidement calculé l’espérance de gain moyenne à l’Euromillions, environ -1 euro. En clair malgré le tintamarre des super méga cagnottes, on perd en moyenne 1 euro en jouant 2 euros à Euromillions.

Qui ose dire maintenant que les mathématiques ne sont pas de précieuses alliées pour jouer à l’Euromillions ou au Loto. Que chacun choisisse de jouer ou de ne pas jouer, mais en connaissance des lois les plus simples des probabilités.

Je vous conseille de tester mon simulateur de tirages du Loto sur ce même excellent blog, ce qui vous permettra de vérifier tous les calculs présentés dans cet article.

Lire à ce sujet deux articles de Aver Bar-Hen :

Ce que les maths disent sur l’Euromillions et autres Lotos

Combien rapporte un numéro gagnant au Loto


14 commentaires

brigitte03380 · samedi 19 novembre 2016 à 22:53

LA METHODE ULTIME PRONOMILLIONS : Mieux Jouer (EuroMillions et Loto)
La Méthode Ultime avec les 5 secrets d’un grand professionnel du jeu pour gagner plus souvent et avec des mises minimes à l’Euromillions et au Loto. Plus un livre sur l’équilibre du hasard en cadeau !
L’Euro Millions c’est 17 000 000 Euros MINIMUM à se partager entre gagnants du premier rang, c’est rare de gagner le Jackpot (une chance sur 140 millions) mais comme c’est un jeu de hasard, tout est possible…

    Fabrice ARNAUD · dimanche 20 novembre 2016 à 12:25

    Je publie ce commentaire sans le lien publicitaire juste parce que cela me fait rire…

Pierre · jeudi 16 février 2017 à 09:27

Et si la solution était chez eux ? http://www.bidon.com

    Fabrice ARNAUD · jeudi 16 février 2017 à 12:09

    J’adore les sites qui proposent de gagner au loto comme ce http://www.bidon.com... oups… j’ai du me tromper d’adresse…
    Bref, je suis allé sur ce site que je ne partagerai pas avec vous pour ne pas leur faire de la publicité.
    Mais quand même, voici quelques extraits amusants :

    Je cite :

    « Un Bidon100 c’est une liste qui regroupe 100 combinaisons pour l’Euro Millions et qui donnent des résultats étonnants !  »

    « Il y a au total 10.000 Bidon100 pour un maximum de 10.000 privilégiés. Ensuite il y a une liste d’attente. »

    « Si vous avez un numéro fétiche il se retrouvera obligatoirement dans votre Bidon100. Ce sera d’ailleurs une très bonne idée de jouer les combinaisons qui le contiennent.  »

    « Nous nous engageons à vous rembourser toutes vos mises dans le cas ou votre Bidon100 ne contiendrait pas au minimum 20 (vingt) combinaisons gagnantes lors des 10 tirages pré-définis. Dans ce cas, toutes vos mises relatives à votre Bidon100 seraient alors remboursées sans la moindre discussion.  »

    « De nombreuses recherches ont été nécessaire pour réaliser nos 10.000 Bidon100 que nous réactualisons régulièrement.
    Vous verrez par vous-même, c’est vraiment étonnant le nombre de fois que nous avons les 5 bons numéros avec ou sans étoile dans nos Bidon100.  »

    Ahhhh

    J’adore !!

badboystony · dimanche 4 mars 2018 à 11:21

des escros ceux qui dise donner des bon prono mdr des tocard et meme la francaise des jeux son des menteur faire de la pub il y a 25 gagnant pour le my million ce jour la 5 on gagner tout ça pour que les peronnes joue et ceux qui gagne des grosse somme joue en famille il mise 1000euros il joue 10 numero 9 etoile je crois pas que un gagnant a joue 2euros50 et gagne les grosse somme truke en plus toujour ces pd english portugais belg qui gagne ces grosse somme moi je joue et jamais gagne meme le my million jamais eux je joue 10 euros alors au chiotte la francaise des jeux qu il ailles ce faire enculer

    Fabrice ARNAUD · dimanche 4 mars 2018 à 12:56

    Je comprends pas tout mais vous avez beaucoup d’humour… donc je publie !!!

Patrick Hodge · mercredi 18 avril 2018 à 05:09

Bonjour Arnaud, blog très intéressant je vais avec le temps lire un peu tout, si vous avez d’autres démonstrations mathématiques dans bien d’autres domaines (ce qui est sur et certains en vous lisant) je prends. Bonne continuation

MaxBlaster · mardi 18 juin 2019 à 17:12

Les mathématiques pour l’euro-millions ? pourquoi faire… C’est un problème de physique quantique, pas de mathématique. Les boules s’entrechoque pas forcément par hasard, mais selon des lois quantiques qui font intervenir des éléments physique.

    Fabrice ARNAUD · mardi 18 juin 2019 à 22:45

    Évidemment… il n’y a donc que le chat de Schrodinger qui a une petite chance de gagner au loto !

Christophe · mardi 27 août 2019 à 16:02

Bonjour,

A la lecture de votre article, je comprends bien que jouer x grilles pour un même tirage multiplie purement et simplement par x la probabilité (quasi nulle) d’avoir le tirage complet… tout en multipliant d’autant le coût de l’opération.
Autrement dit que l’on joue x grilles pour un même tirage, ou que l’on joue une seule grille sur x tirages successifs, la chance de gagner le gros lot est la même.

Mais si l’on met cela de côté, jouer plusieurs grilles pour un même tirage ne pourrait-il pas permettre néanmoins d’améliorer légèrement l’espérance de gain (négative) de chaque grille ?
Par exemple si on ne regarde que les étoiles, jouer 6 grilles permet de jouer les 12 étoiles possibles, donc même si l’on ne fait que 6 combinaisons sur les 66 possibles (et que l’on n’a donc que 6x plus de chances d’avoir les 2 étoiles qu’avec une grille simple), on a en revanche 100% de chances d’avoir au moins 1 étoile.

Si mon intuition est correcte, et que l’espérance de gain (négative) pour un jeu de 6 grilles (par ex) peut varier selon les grilles jouées, existe-t-il un simulateur permettant de déterminer l’espérance de gain d’une série de 6 grilles données ? (un peu sur le principe du simulateur que vous avez réalisé pour une grille simple) ?

Boubacar · dimanche 12 janvier 2020 à 16:12

Bonjour. Un grands MERCI pour ces super details. On y apprend des details pas degligeables.
Je consulte regulièrement vos articles et je les trouve très instructifs.
Pour les novices comme moi, je vous met le lien d’un livre qui m’a permis de mettre en place une strategie avec laquelle je m’en sors pas mal avec le loto (8/10 en general) et dont je vous recommande largement

Lien publicitaire supprimé

    Fabrice ARNAUD · mercredi 15 janvier 2020 à 16:17

    Merci pour votre remarque… le sens de mon article est justement de préciser que la SEULE martingale possible au loto consiste à jouer les numéros les moins joués par les autres, ainsi en cas de gain, le partage de la mise se fait entre moins de personnes. Le hasard n’a pas de mémoire et les statistiques sur les numéros déjà sortis ne servent à rien pour choisir sa grille.

    Désolé

      Christophe · mercredi 15 janvier 2020 à 17:05

      Donc vous confirmez bien que l’espérance de gain (que vous aviez estimé à -1€ par grille jouée) est constante peu importe la combinaison jouée. J’ai compris votre explication pour les 5 numéros (« Finalement en jouant 126 grilles de 9 numéros on a multiplié ses chances de gains par … 126 »)… mais pour les gains intermédiaires je ne suis pas convaincu.

      Accepteriez-vous de détailler le calcul de l’espérance de gain pour une grille simple d’une part, et d’autre part pour une combinaison de 6 grilles (sans aucun numéro commun) totalisant les 12 étoiles (par ex étoiles 1 et 2 sur la première grille, 3 et 4 sur la seconde, etc.) ?

      Un grand merci pour vos éclaircissements mathématiques qui permettent de balayer les croyances et préjugés (je suis persuadé que votre réponse finira de me convaincre 😉 )

        Fabrice ARNAUD · mercredi 15 janvier 2020 à 17:30

        Pour un tirage donné, l’espérance de gain est constante et ne dépend pas de la grille jouée. Elle ne dépend que du gain possible à chaque rang. On ne peut donc calculer l’espérance de gain pour un tirage que lorsque l’on connaît le nombre de gagnant à chaque rang et par conséquent le gain à chaque rang. Il faut ensuite faire la somme des produits de chaque gain par la probabilité du rang donné. Sachant cela, une fois qu’un tirage a eu lieu et que les gagnants ont fait payer leur gains il est possible de calculer l’espérance de gain. Les probabilités de chaque tirage sont calculables dès la connaissance des règles du jeu. Donc je ne calculerai pas l’espérance de gain pour un tirage donné puisqu’il manque forcément des statistiques. Mon -1 euros d’espérance pour une grille à 2 euros fait référence au fait que l’état empoche la moitié de votre mise quoi qu’il arrive !

        Je ne connais pas bien les règles du jeu pour 6 grilles mais qu’importe ce qu’elles contiennent l’espérance de gain est le produit de l’espérance de gain d’une grille par 6. Et comme cette espérance de gain est négative (sinon en moyenne l’état perdrait de l’argent à chaque tirage, ce que les comptes de la Française de Jeux ne confirme pas… lol.. ) en jouant 6 fois vous multipliez votre espérance… et donc votre perte … par 6… Oui je sais c’est un peu triste ! Par contre vous multipliez vos chances de gains par 6 aussi… mais vous perdez 6 fois plus… ah oui… cela revient au même, pardon !

Répondre à Pierre Annuler la réponse

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur comment les données de vos commentaires sont utilisées.